1、高等数学复习公式 第 1 页 共 31 页 平方关系： sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=
2、coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函数： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 高等数学复习公式 第 2 页 共 31 页 辅助角公式： Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)
3、sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin3() cos(3)=4cos3()-3cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)
4、/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂 公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式： sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin
5、=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化积公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 高等数学复习公式 第 3 页 共 31 页 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导 公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos
6、+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算 编辑本段 公式一： 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系： sin（ ）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角 与 - 的
7、三角函数值之间的关系：sin（ ） sin cos（ ）cos 高等数学复习公式 第 4 页 共 31 页 tan（） tan cot（） cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系： sin（ ）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系： sin（2 ）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan si
8、n（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2 ）cos cos（3/2 ）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2 ）cos cos（3/2 ）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上 kZ) 部分高等内容 编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)： 高等数学复习公式 第 5 页 共 31 页 sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=ex
9、p(z)1z/1！ z2/2！ z3/3！z4/4！zn/n！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y;y=y，有通解 Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0考研数学高数定理定义总结第一章 函
10、数与极限 高等数学复习公式 第 6 页 共 31 页 1、函数的有界性在定义域内有 f(x)K1则函数 f(x)在定义域上有下界， K1 为下界；如果有 f(x)K2，则有上界， K2 称为上界。函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数 列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。 定理( 收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列 xn一定有界。 如果数列xn 无界，那么数列 xn一定发 散；但如果数列xn 有界，却不能断定数列xn一定收 敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛
11、的必要条件而不是充分条件。 定理( 收敛数列与其子数列的 关系)如果数列xn 收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1中子数列x2k-1收敛于 1，xnk收敛于-1 ，xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能 是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中 00(或 A0(或 f(x)0)，反之也成立。 函数 f(x)当 xx0 时极限存在的充分必 要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则 limf(x)不存在。 一般的说，如果 lim
12、(x)f(x)=c ，则直线 y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。如果 lim(xx0)f(x)=， 则直线 x=x0 是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法 则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是 无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果高等数学复习公式 第 7 页 共 31 页 F1(x)F2(x)，而 limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么 ab. 5、极限存在准 则两个重要极限 lim(x0)(sinx/x)=1；lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列 xn、yn、zn满足下列条件：y
13、nxnzn 且 limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数 y=f(x)在点 x0 的某一 邻域内有定义，如果函数 f(x)当xx0 时的极限存在，且等 于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数 f(x)在点 x0 处连续。 不连续情形：1、在 点 x=x0 没有定义；2、虽在 x=x0 有定义但 lim(xx0)f(x)不存在；3、虽在 x=x0 有定义且 lim(xx0)f(x)存在，但 lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在x0 处不连续或间断。
14、如果 x0 是函数 f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x0 为函数 f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称 为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点 和震荡间断点) 。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商( 分母不为 0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数 f(x)在区间 Ix 上单调增加或减少且 连续，那么它的反函数 x=f(y)在对应的区间 Iy=y|y=f(x)，xIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的 定义域内都是连续的。 定理( 最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如
15、果函数在开区间内连续或函数在闭区 间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理( 有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即 mf(x)M.定高等数学复习公式 第 8 页 共 31 页 理(零点定理) 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续 ，且 f(a)与 f(b)异号( 即 f(a)f(b)函数在该点处连续；函数 f(x)在点 x0 处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。 3、原函数可 导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。 4、函数 f(x)在点 x0 处可微=函数在该点处可导；函数 f(x)在点 x0 处
16、可微的充分必要条件是函数在该点处可导。 第三章 中值定理与导数的应用 1、定理 (罗尔定理)如果函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区 间(a ，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在 开区间(a，b)内至少有一点 (a0，那么函数 f(x)在a，b 上单调增加；(2) 如 果在(a ，b)内f(x)0 时，函 数 f(x)在 x0 处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。 7、函数的凹凸性及其判定设 f(x)在区间 Ix 上连续，如 果对任意两点 x1，x2 恒有f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2，那么称 f(x)在区间 Ix
17、 上图形是凸的。 定理设函数 f(x)在 闭区间 a，b上连续，在开区间(a ，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在 (a，b)内 f(x)0，则 f(x)在闭区间a ，b上的图形 是凹的；(2) 若在(a，b) 内 f(x)0，则 f(x)在闭区间 a，b上的图形是凸的。 判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤 (1)求出 f(x)；(2)令 f(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根 x0，检查 f(x)在 x0 左右两侧邻近的符号，如果 f(x)在 x0 左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0) 是拐点，当两 侧的符号 相同时，点(x0 ，f(x0)不是拐点。 在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。第四章 不定积分 1、原函数存在定理定理如果函数 f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数 F(x)，使对任一 xI 都有 F(x)=f(x)；简单 的说连续函数一定有原函数。 分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指 数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为 u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或 幂函数和反三角函数的
