1、高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组第十二章 无穷级数教学目的： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和 p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。 。 7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念，了解函数项级数和函数的性质。8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基
2、本性质。 9、会利用幂级数的性质求和 10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。13、掌握将定义在区间( ，) 上的函数展开为傅里叶级数的方法。14、会将定义在区间0，上的函数展开为正弦或余弦级数。15、会将定义在区间(l ，l )上的函数展开为傅里叶级数。教学重点 ：1、级 数 收 敛 的 定 义 及 条 件2、判 定 正 项 级 数 的 收 敛 与 发 散 3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰 勒 级 数5、函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数 。教学
3、难点：1、 级 数 收 敛 的 定 义 及 条 件2、 判 定 正 项 级 数 的 收 敛 与 发 散 3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组4、 泰 勒 级 数 ；5、 函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组12 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项无穷级数 一般地，给定一个数列 u1 u2 u3 un 则由这数列构成的表达式u1 u2 u3 un 叫做（常数项)无穷级数 简称（常数项 )级数 记为 即1nu 321nnuu其中第
4、 n 项 u n 叫做级数的一般项 级数的部分和 作级数 的前 n 项和1nunnis 321称为级数 的部分和 1nu级数敛散性定义 如果级数 的部分和数列 有极限 s 1nun即 snlim则称无穷级数 收敛 这时极限 s 叫做这级数的和 1nu并写成 321nnuus高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组如果 没有极限 则称无穷级数 发散 ns1nu余项 当级数 收敛时 其部分和 s n 是级数 的和 s 的近似值 它们之间的差值1nu1nurnssnun1un2 叫做级数 的余项 例 1 讨论等比级数(几何级数 )20 nnaqaq的敛散性 其中 a0
5、q 叫做级数的公比 解： 如果 q1 则部分和 qaqas nnnn 11 2当|q| 1 时 因为 所以此时级数 收敛 其和为 snlimn0qa1当|q|1 时 因为 所以此时级数 发散 nli naq0如果|q| 1 则当 q1 时 sn na 因此级数 发散 n0当 q1 时 级数 成为na0aaaa 时|q| 1 时 因为 sn 随着 n 为奇数或偶数而等于 a 或零 高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组所以 sn 的极限不存在 从而这时级数 也发散 naq0综上所述 如果|q| 1 则级数 收敛 其和为 如果|q| 1 则级数 发散 n0a1naq
6、0仅当|q| 1 时 几何级数 a0)收敛 其和为 nq0例 2 证明级数135 （2n-1） 是发散的 证 此级数的前 n 项部分和为 135 (21)()nsn显然 因此所给级数是发散的 lim例 3 判别无穷级数)1( 412n的收敛性 解 由于 1)(nun因此)( 4321sn11 )( n从而 )1(limlinsn所以这级数收敛 它的和是 1 高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组提示 1)(nun二、收敛级数的基本性质性质 1 如果级数 收敛于和 s 则它的各项同乘以一个常数 k 所得的级数 也收敛 1nu 1nku且其和为 ks 证明： 设 与
7、 的部分和分别为 sn 与 n 则1nunk ) (limli2u ksuknnn lim) (lim21这表明级数 收敛 且和为 ks 1nku表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。性质 2 如果级数 、 分别收敛于和 s、 则级数 也收敛 且其和为1nunv )(1nvus 证明： 如果 、 、 的部分和分别为 sn、 n、 n 则1nunv)(1nvu )(limli 2n ) ( 121 nnvvu snn)(li表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 比如 级数 是收敛的 )1( 4312n高等
8、数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组加一项后级数 也是收敛的 11985234()n减一项后级数 也是收敛的 )1( 43n性质 4 如果级数 收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变 1nu注意 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛 例如 级数（11)+（11) + 收敛于零 但级数 1111 却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 级数收敛的必要条件 性质 5 如果 收敛 则它的一般项 un 趋于零 即 1nu 0limnu证 ： 设级数 的部分和为 sn 且 则1n snli 0lilim
9、)(lilim10 sunn注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例如 调和级数1 321nn尽管它的一般项 ，但它是发散的 lim0n因为 假若级数 收敛且其和为 s sn 是它的部分和 1n显然有 及 于是 snli2li 0)(lim2n但另一方面 高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 2121212 nnnsn故 矛盾 这矛盾说明级数 必定发散 0)(limn 112 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论： 定理 1 正项级
10、数 收敛的充分必要条件它的部分和数列s n有界 1nu证 设级数u1 u2 un 是一个正项级数。其部分和为 sn 显然 sn 是一个单调增加数列，若部分和数列 sn 有界 则根据单调有界数列必有极限的准则，可知级数 un 收敛；反之 若级数 un 收敛，则部分和数列 sn 有极限，根据有极限的数列是有界数列的性质可知s n有界 定理 2 (比较审敛法) 设 和 都是正项级数 且 unvn (n1 2 ) 若级数 收1nv 1nv敛 则级数 收敛 反之 若级数 发散 则级数 发散 1nu1nu1n证 设级数 收敛于和 则级数 的部分和1nv1nsnu1u2 unv1 v2 vn (n1, 2,
11、 ) 即部分和数列s n有界 由定理 1 知级数 收敛 1u反之 设级数 发散 则级数 必发散 1nu1nv高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组因为若级数 收敛 由上已证明的结论 将有级数 也收敛 与假设矛盾1nv 1nu推论 设 和 都是正项级数 如果级数 收敛 且存在自然数 N 使当 nN 时有1nu1nvunkvn(k0)成立 则级数 收敛 如果级数 发散 且当 nN 时有 unkvn(k0)成立 1nu1n则级数 发散 1n例 1 讨论 p级数1 4321 ppn n的收敛性 其中常数 p0 解 设 p1 这时 而调和级数 发散 由比较审敛法知 n1n
12、当 p1 时级数 发散 pn1设 p1 此时有(n2, 3, ) 1)(11 pnpnpndx对于级数 其部分和)(2n 11111 )()( 3 ppppp nns因为 )(limli n所以级数 收敛 从而根据比较审敛法的推论 1 可知 级数 当 p112pn n1高等数学教案 第十二章 无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组时收敛 综上所述 p级数 当 p1 时收敛 当 p1 时发散 n1提示 级数 的部分和为)(2pn 11111 )()( 3 pppp nns因为 )(limli pn所以级数 收敛 1)(2pnp级数的收敛性 p级数 当 p1 时收敛 当 p1 时发散 n1例 2 证明级数 是发散的 1)(n证 因为 1)()(2n而级数 是发散的 31n根据比较审敛法可知所给级数也是发散的 定理 3 (比较审敛法的极限形式 )设 和 都是正项级数 1nunv(1)如果 (0l) 且级数 收敛 则级数 收敛 vnlim1nv1nu
