1、1第一讲: 极限与连续1. 数列函数:1. 类型:(1)数列: * ; *()naf1()nnaf(2)初等函数: (3)分段函数: * ; * ;*012()(),xfFx0(),xfFxa(4)复合(含 )函数: f,()yfu(5)隐式(方程 ): (,)0x(6)参式(数一 ,二): ()ty(7)变限积分函数: ,xaFftd(8)级数和函数(数一,三): 0(),nSx2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); ( 单调 定号)fx00,()(fx(2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()yffyf二. 极限性质:1. 类型: * ; * (含
2、 ); * (含 ) limnali)xfx0lim)xf0x2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型: 00,1,4. 性质: *有界性, *保号性 , *归并性三. 常用结论: , , , 1n1(0)na1()max()nnabcbc0!na2, , , ,1(0)x0lim1xli0nxelnim0x, 0limnx,xe四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当 时,()0ux; ; ;sin()xtan()ux:211cos()()ux:; ; ;()1uel1(); arcsi()x:arctx2. 泰勒公式:(1) ; 21()!xeox(2) ;2ln()(3) ; 3
3、4si()!xx(4) ;251coo(5) .2(1)() ()!xx五. 常规方法:前提: (1)准确判断 (其它如: ); (2)变量代换(如: )0,M0, 1tx1. 抓大弃小 , ()2. 无穷小与有界量乘积 ( ) (注: )1sin,x3. 处理( 其它如 : )10,4. 左右极限(包括 ):x(1) ; (2) ; ; (3)分段函数: , , )()e1(0)xexma()fx5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小 )(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则( 最后方法); (注意对比: 与 )01lnimx0li1x3(2)幂指型处理: (如: )()
4、()lnvxuxue11(xxee(3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小8. 极限函数: ( 分段函数)()lim,nfxF六. 非常手段1. 收敛准则:(1) ()li()nxaff(2)双边夹: * , *?nnbac?nba(3)单边挤: * * *1()f21nM()0?fx2. 导数定义(洛必达?): 00lim()xfx:3. 积分和: ,10li()()nffffxdn4. 中值定理: ()lix xa5. 级数和(数一三):(1) 收敛 , (如 ) (2) ,1nalim0n2!lin121lim()nnnaa(3) 与
5、同敛散n11()n七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): * (),(0)?nfxk:(1) (1)()0)(nf fa ()()!nnafxx:(2) 00xxtdkt:2. 渐近线(含斜):(1) ()lim,li()xxfabfax()faxb:(2) ,( )f103. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, 连续性)(fx八. 上连续函数性质,ab41. 连通性: (注: , “平均”值: )(,),fabmM010()1()fafbx2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: (根的个数 );()f0)fx(2) .()0x
6、afd第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: ; ()fx0()(limfxf: 0()fx00()limxf(1) (注: 连续) )0()lixf0lixfAf(,(ffA(2)左右导: ;0(),ff(3)可导与连续; (在 处, 连续不可导; 可导 )x2. 微分与导数: )()fxfodfx:(1)可微 可导; (2)比较 与 的大小比较(图示);,d“0二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: )fx2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数 1dxy三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1) 与 ; (2
7、)分段函数左右导; (3)()faxaf 0()()limhfxfh(注: , 求: 及 的连续性)0),Ffx0(),ffx(f2. 初等导(公式加法则):(1) , 求: (图形题);()ufg0)ux(2) , 求: (注: )xaFtdF(,)(,)(xbbaaaftdfxtdft(3) ,求 及 (待定系数)012(),fy0),fxf0f53. 隐式( )导: ,0fxy2,dyx(1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导(数一,二): , 求:()xty2,dyx5. 高阶导 公式:()nf; ;()axnaxe ()11!)nnb
8、axx; ()sisi()2nn()coscos()2na()()1()(2)“nuvCuv注: 与泰勒展式: ()0nf 201() nfxaxa ()0!nf四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别 : 上点 和过点 的切线)()yf0M02. 物理: (相对)变化率 速度; 3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心 , 曲率圆)23“)(1fx4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)五. 单调性与极值(必求导)1. 判别(驻点 ):0)fx(1) ; ;(:()0()fxfx:(2)分段函数的单调性(3) 零点唯一; 驻点唯一(必为极值 ,最值)
9、.()0fx“()f2. 极值点:(1)表格( 变号); (由 的特点)f0002()()()lim,li,lim0xxxfffx(2)二阶导( )0f注(1) 与 的匹配( 图形中包含的信息);,“f6(2)实例: 由 确定点“ ”的特点.()()fxfgx0x(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)3. 不等式证明( )(0f(1)区别: *单变量与双变量? * 与 ?,xab,)(,)x(2)类型: * ; *,()fa0()f* ; *“00fb00“,()xffx(3)注意: 单调性 端点值 极值 凹凸性. (如: )ma)M4. 函数的零点个数: 单调 介值六
10、. 凹凸与拐点(必求导!):1. 表格; ( )“y0“fx2. 应用: (1)泰勒估计; (2) 单调; (3)凹凸.f七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)1. 结论: ()(0Fbaf2. 辅助函数构造实例:(1) ()f()xaftd(2) 0()()gFxfgx(3) ()() ()ff(4) ; ()()0ff()xdFef3. 有 个零点 有 个零点nx1n(1)n24. 特例: 证明 的常规方法 :令 有 个零点( 待定)()nfa()nxfPx1(nPx5. 注: 含 时,分家!( 柯西定理 )126. 附(达布定理): 在 可导, , ,使:()fxb(),c
11、faba()fc八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ; ( )()()fbaf)(,(072. 估计: ()fx:九. 泰勒公式(连接 之间的桥梁),“f1. 结论: ; 23000 011)()“()“()2!3!fxxfxfx2. 应用: 在已知 或 值时进行积分估计a)fb十. 积分中值定理(附:广义): 注:有定积分(不含变限)条件时使用第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数 :()Fx(1) ; (2) ; (3)f()()fxdF()()fxdFc注(1) (连续不一定可导 );()xatd(2) ( 连续)xxafftfx2. 不定积分性质:(1) ; ()()fdf
12、()()dffd(2) ; xcxc二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212( ()()kfxgdxkfxkgdx3. 凑微法(基础): 要求巧,简 ,活( )sinco如: 2(),l,xdxabxdd2xd221,(ln)(ln)1x4. 变量代换:(1)常用(三角代换 ,根式代换 ,倒代换): 1si,xxtaxbtet(2)作用与引伸(化简): 2185. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如 ); ln,arct,()xaxftd(2)“反对幂三指”: led(3)特别: (*已知 的原函数为 ; *已知 )()xf()fx()F
13、x(fxF6. 特例: (1) ; (2) 快速法; (3)11sincosabd ,sinkxpedad()nvxdu三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件 :有界, 充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性 ,周期性,积分中值)* ; *220(08axda ()02baxd(3)附: , )()bafMb()bafxgdMg(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分 的处理(重点)()xaftd(1) 可积 连续, 连续 可导f(2) ; ; ()xatd()fx()()xxaatfdft()(xafdtafx(3)由函数 参与的求导, 极
14、限, 极值, 积分( 方程)问题aFt3. 公式: ( 在 上必须连续!)NL()()bafxdFba)x,b注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性(2)有理式, 三角式, 根式(3)含 的方程.)baft4. 变量代换: ()xdfutdt(1) , 00()aaffa(2) (如: )0()()aafxdfxdtfxdx 41sindx(3) ,2201sinnnII9(4) ; ,2200(sin)(cos)fxdfxd 200(sin)(sin)fxdfxd(5) ,in5. 分部积分(1)准备时“凑常数”(2)已知 或 时, 求()fxxaf()bafxd6. 附: 三角函
15、数系的正交性 :222000sincossinco0ddm()xmxd2200sics四. 反常积分: 1. 类型: (1) ( 连续)(),(),)aafxdfxfxdf(2) : ( 在 处为无穷间断)b ,bcab2. 敛散; 3. 计算: 积分法 公式 极限( 可换元与分部 )NL4. 特例: (1) ; (2)1pdx10pdx五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1) (2) ;();baSfxg 1()dcSfy(3) ; (4)侧面积:21rd 221()bafxfdx2. 体积:(1) ; (2)22()bxaVfxgx 12()()dbycaVfyf(3) 与00
16、y3. 弧长: 2()dsxd(1) ,yfab21()basfxd(2) 12(),xtt212tyt10(3) : (),r22()srd4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理):(1) ;1,()baffxd(2) , ( 以 为周期: )00)limxtffT0(Tftd第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解 (注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令 (如欧拉方程)()“xtyD(2)令 (如伯努利方程),uxuy3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1) ; (2) ; (3)(,)yfx(,)(,)0MxydNxy()yab2. 变量分离型: g(1)解法: ()()()dyfxGyFxC(2)“偏”微分方程 : ;,zf3. 一阶线性(重点): ()ypxq(1)解法(积分因子法 ): 0 0() 01()()xpdxMeyMqdxy(2)变化: ; ()xpyq(3)推广: 伯努利( 数一) ()pxyq4. 齐次方程: y(1)解法: (),duxuxu
