1、高三第一轮复习数学-曲线方程一、教学目标：了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌握用定义法和直接法求曲线的方程的方法和步骤。二、教学重点：注意动点应满足的某些隐含条件；2、注意方程化简时的等价性，主要是在去分母和两边平方时的变形。3、注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值的讨论。三、教学过程：（一）主要知识：1、 曲线方程的意义：正如一个关于 的一元二次方程 一定表示一条直yx, 0cByAx线，一条直线必定可以用个关于 的一元二次方程 表示一样，直角坐标系内的曲线可以用一个关于 的二元方程 来表示，一个关于 的yx,yxf yx,二元方程 表示着坐标平面内的一条曲线。而函
2、数 亦为方程0,yxf f是 的特殊形式。f2、 方程 恰为曲线 C 的方程即曲线 C 恰为方程 的曲线的充要条件为：,yx 0,yxf（1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 的解；否则曲线 C 比比方程0,yxf所表示的曲线多点（纯粹性）0,yxf且（2）以方程 的解为坐标的点都在曲线 C 上；否则曲线 C 比方程,f所表示的曲线少点（完备性）,yxf即曲线 C= 0,|,yxf3、 已知曲线求方程：求动点的轨迹方程， 文字语言的几何条件 数学符号语言的等式 数学符号语言中含动点坐标 ， 的代数方程 简化了的 ， 的代数方程 最后除掉多余的点（加上遗漏的点）。4、 已知曲线方程求曲线：要做到
3、不多不少刚刚好。5、 曲线 与曲线 的交点坐标为：方程组0,:1yxfC0,:2yxgC的解（特别注意大括号的意义为交点坐标）,gf（二）例题分析：（一）曲线方程的意义：例1：（1）如果命题“坐标满足方程 的点都在曲线 上”不正确，那么以下正确的命题是（A）曲线 上的点的坐标都满足方程 （B）坐标满足方程 的点有些在 上，有些不在 上（C）坐标满足方程 的点都不在曲线 上（D）一定有不在曲线 上的点，其坐标满足方程 分析：举例，若方程为 ，曲线为第一、三象限角平分线，易知答案为D（2）求曲线 分别关于 直线 点2x3y直线 对称的曲线方程3,03yx解： ； ； 8212 048122yxy；
4、 05602yxyx 642x（二）已知曲线方程求曲线：例 2 （1） 表示什么曲线？12y（2）方程 表示什么曲线？ 0x解：（1）原方程等价于： 当 时为 x；当 时为y1x2y1；当 时为 （画图）xy12y（2）原方程等价于： 或 即： 或0x01x10xyx所以表示直线 和射线 （画图 01y点评：这多条图形为曲线 C；思考： 表示什么曲线？（曲线 C 为圆： 和直线042xy 42yx在此圆外面部份）1yx（三）已知曲线求方程：求动点的轨迹方程：例 3 过定点 任作互相垂直的两直线 与 ，且 与 轴交于点 M， 与 轴交于baA, 1l21lx2ly点 N，求线段 MN 的中点 P
5、 的轨迹方程。 解：法一（直译法）由 ，21l222 4babya化简得： 02byax法二（代入法）设 ， ，则 11,yNMxP,yxyx21因为 ，所以 21l2121212 yxbaxbya由 代入 可得： 2222 4例 4 （2000 年春季高考）已知抛物线 O 为顶点，A ，B 为抛物线上的,042pxy两动点，且满足 ，如果 于点 M，求点 M 的轨迹方程。OBAB解：（参数法）设 的方程为 ，点 M 的坐标为 ，则 OB 的kyx,0方程为 .1xky由 得 由 得 则p42,42kpAxkyp142,4,2pkB21kABkOM21XXANMO所以， ，消去参数得轨迹方程为
6、xkylkpxyl OMAB 2221:,14: 0422px即所求轨迹是以点 为圆心， 长为半径的圆除去原点 。,p20,O点评：直译法、代入法和参数法是求轨迹方程的三大基本方法。（四）曲线的交点：例 5、已知曲线 ，点 ，曲线1C0,yxF1,CbaP2，求 的交点个数。,bayxF21解：0 个。设点 是 上的点，则 ，而若0yxP10,0yxF这与 矛盾。,yxba1,CbaP例 6、求过点 的直线与曲线 有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和2Mxy为 ，求 的取值范围。a解：设直线方程为 ，由方程组 消去 得012kxy xayk12x，设其两个根为02kay 21,y则 ，a
7、kay,211042ka42a得 380,0k的取值范围是a38,2,（三）巩固练习：1和 y 轴相切并且和曲线 x2+y2=4 (0x2)相内切的动圆圆心的轨迹方程为（ ） 。A、y 2=-4(x-1) (x0) B、y 2=2(x+1) (00，设其半径为 r，则由相切条件， |MO|=2-|x|，即 ， ， ，又-4(x-1)=y 20, 所求方程为 y2=-4(x-1) (00)，求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解：设 MN 切圆 C 于 N，则|MN| 2=|MO|2-|ON|2，设点 M(x,y)，则 ，化简，得 ( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0 1）当 =1 时，方程为 ，表示一条直线。 2）当 1 时，方程化为 表示一个圆。 小结：本题是典型的直接（列方程化简）法。四、小结：曲线方程的意义；方程 恰为曲线 C 的方程即曲线 C 恰为方程 的曲0,yxf 0,yxf线的充要条件；已知曲线求方程：求动点的轨迹方程；已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好；曲线 与曲线 的交点坐标,:1fC0,:2yxg五、作业：
