1、1-集合与简易逻辑、极限与复数1已知集合 ，则 的非空真子集的个数是（ ）12|,0MxZNx且 MA30 个 B32 个 C62 个 D64 个2不等式 的解集为 ，且 ，则 的取值范围是（ ）1ax2aA B C D(,)41,)41(0,)1(0,23已知 ，则下列2|0,| PmMmxx对 一 切 实 数 都 成 立关系式中成立的是（ ）A B C D PPMP4已知 和 是两个不相等的正整数，且 ，则 =（ ）pq2q1()limpnqA0 B1 C Dp1pq5设 为复数集 的非空子集若对任意 ，都有 ，SC,xyS,xyS则称 为封闭集下列命题：集合 为封闭集；|, abii为
2、整 数 ， 为 虚 数 单 位若 为封闭集，则一定有 ； 封闭集一定是无限集；S0S若 为封闭集，则满足 的任意集合 也是封闭集TCT其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)6已知集合 至多有一个元素，则 的取值范围 ；023|2xaAa若至少有一个元素，则 的取值范围 7对任意两个集合 ，定义： ，MN、 |xMN且，设 ，N（ ） （ ） 2,yR，则 |3sin,yxRA8已知数列 的前 项和 ，其中 是与 无关的常数，且 ，a1()nnSbabn01b若 存在，则 limnSlin9 = 22(4)xx210如果 是虚数，则 中是虚数的有 (,R0)zabia且 22,|,|,|,|z
3、zzA个，是实数的有 个，相等的有 组11设 ， ，22|19Ax2|560Bx2|80Cx(1) ，求 的值；Ba(2) ，且 ，求 的值；C(3) ，求 的值12已知集合 10|1,|6ExmFxR（1）若 ，求 ；3m（2）若 ,求实数 的取值范围FR13设 为全集，集合 ， ,若2|10,AxaxR|1,ByxR,求实数 的取值范围RACBa14设集合 ，2 2()|,(,)|450yy(,)|xkb（1）当 时，求 ；0aAB（2）当 时，问是否存在正整数 和 ，使得 ，若存在，求出kb()()ACB、 的值；若不存在,说明理由kb15已知不等式 的解集中的最大解为 3，求实数 的值
4、2435xaxa16设 时，不等式 成立，求正数 的取值范围21a17设 方程 有两个不相等的正根； 方程:p20xm:q2()31x无实根，求使 或 为真， 且 为假的实数 的取值范围qpqm18试判断 是关于 的方程 在区间 上有解的什么条件？并给出ax210ax1,判断理由19已知不等式 ； ； 32320x（1）若同时满足、的 也满足，求实数 的取值范围；xm（2）若满足的 至少满足 、中的一个，求实数 的取值范围20已知数列 的各项都是正数，且满足： ， ，证明：na01,(4)2nnaaN， 1naN321试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 且 a、b、c 互
5、不1,Nn相等时，均有： 2nn22已知函数 ，数列 满足递推关系式： ，1()fxna1()nnaf且 1a（1）求 、 、 的值；234a（2）用数学归纳法证明：当 时， ；5n12na（3）证明：当 时，有 5n1k23已知数列 为等差数列，公差 ，由 中的部分项组成的数列 ，na0dna12,nbba，为等比数列，其中 ， ， 1b25317b（1）求数列 的通项公式；n（2）记 ，求 123nnTCbbC lim4nTb24已知公比为 的无穷等比数列 各项的和为 9，无穷等比数列 各项的和(0)qna2na为 815（1）求数列 的首项 和公比 ；na1q（2）对给定的 ，设 是首项
6、为 ，公差为 的等差数列，求数列(,2)kn ()kTka21ka的前 10 项之和；(2)T（3）设 为数列 的第 项， ，求 ，并求正整数 ，使得ib()i 12nnSb nS()m存在且不等于零lmnS25当 时，函数 的极限是否存在？若存在，求出其极限x()(,N)nmxfb26设 是虚数， 是实数，且 z1z1（1）求 的值及 的实部的取值范围；|（2）设 ，求证： 为纯虚数；1zuu（3）求 的最小值24集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）1C 解：因为 ，又 且 ，所以12634xZ120Nx，故 ，所以它的非空真子集有 个0,346,x9,87,M62故选 C2B 解：
7、当 时，不等式的解集为 ，不符合题意，所以 ，由0a|0xR且 0a不等式 得： 或 ，即 或 ，则有1x1xaa1x1a或 ，又 ，所以 ，即有 ，故选 B2a243A 解：当 时， ，对一切实数 ，不等式 恒成立；当0m1210mx时，要使不等式恒成立，则 且 ，即 ，所以0020，故选 |4MA4C 解：特殊值法 由题意取 ，则 ，可见选 C1,2pq211()limlilim2pnnnq1pq5解：集合 为复数集，而复数集一定为封闭集，是真命题S由封闭集定义知为真命题是假命题如 符合定义，但是 为有限集0S是假命题如 ， 为整数和虚数构成集合，满足 ，但 不是封闭集，SZTSTC如 都
8、在 中，但 ，所以正确的是32,ii(32)()23ii56 ，9|,08a或 9|8a解：当 中仅有一个元素时， ，或 ；A0a当 中有 个元素时， ；0当 中有两个元素时， ；所以 ， 98a9|,8或 9|8a7 3,0)(,)解：依题意有 ， ，所以 ， ，M3,N(3,)MN3,0)M故 0)(,)NA（ ） （ ）81 解：因为 ，11(01)()n nn nSbabSb所以 ，1lim(lilimli()nn nn得 ，则 ，故 ，所以 li1li()nnSb0b12blim1nS9 52解：= 2lim(4)xx225lim4xx5li14xx2104，5，3解： 四个为虚数；
9、 五个为实数；2,z 2|,|,|zzA三组相等2,|,|zzA11解：(1)因为 ，所以 ，又由对应系数相等可得 和BB5a同时成立，即 ；2196a5a(2)由于 ， ，且 ， ，故只可能 .此时,34,CAC3A，即 或 ，由(1)可知，当 时， ，此时025a2,AB，与已知矛盾，所以 舍去，故 ；A2(3)由于 ， ，且 ，此时只可能 ，即2,B,B，也即 ，或 ，由(2)可知 不合题意，故 215a5a33a12解：（1）当 时， ，3m|1|4Exx或，0|64Fx；|2|62Exxx或（2）因为 ，|1当 时， ,满足条件；0m,REF6当 时， ，由 ， ，得：0m|1Exm
10、x或 EFR|64x解得 .综上，实数 的取值范围为 1643(,313解：因为 ，所以 又 ，所以 所以RACBRACB0,)(,0)A方程 或者无实根，或者只有负实数根所以， 或 ，即210xa a或 ，得 故实数 的取值范围为 4242aa(2,)14解：（1） ，则 ，由方程组 解0a(,)|1,AxyR21450xy得：，即 72xy7(1,)2B（2） ，则 中的方程为 .因为 都是非空集合，由已知必有1aA0yxABC、 、且 ，此即方程组 和方程组 均无C21kb2450xyykb解，消去 整理得 和 ，y22(1)kxb()2(1)所以 ，21()440b，将其看做关于 的二
11、元一次不等22465(89)kk式，从而 ， ，所以 且 成立.又3104(1b21b5，所以 ,此时 ，且 ，由此得bNb2230k，由 ,得 ，即所求 ， 2kkNk15解：将 代入 ，得 ，即 3x2435xa5a8当 时，原不等式可化为 ，解得 ，即 ，所以8a24x032x23x满足要求16解：因为 ，所以由 得 ，由 ，得：0xaa41x或 ，故 ，解得 ，35x3235527又 ，所以 ，又 ，无解0a52a530a综上，正数 的取值范围是 |52a17解：令 ，则由 ，且 ，2()1fxmx(0)f0ba且 ，求得 ， ，0:,1p，2:4()(3)23q m由 或 为真， 且
12、 为假知， 、 一真一假pqq当 真 假时， ，即 ；123m或 当 假 真时， 即 pq 的取值范围是 或 213答案： (,3)18解：令 ，则方程在区间 上有解的充要条件是：2)0fxa1,或 ，由于第一个不等式的解集是 ，而第二个不等式的2401()0af(1)f2,解集是 ，所以关于 的方程 在区间 上有解的充要|2a或 x210ax1,条件是 ，因为集合 ，故而可得结论： 是关于 的方|3|a3ax程 在区间 上有解的充分不必要条件210x1,19解：由题意知，解得 ；解得 或 x01x24（1）设同时满足、的集合 ，满足的集合为 ，因为 ，所,)(2,3ABA以：，所以 为所求(
13、3)0f173m8（2） ，所以 ，即方程 的两根在(1,3)0,(2,4B(1,4B210xm内，所以： ，所以 为所求,4()14fm320证明：用数学归纳法证明当 时， ， ，0n0a103()22a所以 ，命题正确012假设当 时，有 ，则当 时，(N)nk12ka1nk1114(4)22kkkka 111()()()kkkaa，11()(kkaa而 ，所以 110,40kk10ka又 ，所以当 时，命题正确21()()22kkkaa1nk由知，对一切 ，有 Nn1na21证明：（1）设 a、b、c 为等比数列， ，,(01)bacq且所以 ()2nnnnacqq（2）设 a、b、c
14、为等差数列，则 ，猜想 bac()2N)2nnac且下面用数学归纳法证明：当 时，由 ，n22()()c所以 22ac假设 时成立，即 ，nk()2kkac则当 时，1111()24kkkaccc1()4kkaccaA)ka()2kA1)2k922解：（1）由 及 计算得： ， ， 1a21nna23a18427a（2）证明：（） ，25717391()()8856A即当 时，结论成立n（）假设结论对 成立，即 ()k21ka因为 ，函数 在 上递增，213nna23()fx(,)则 ，所以 ，()kff121ka211()kk即当 时结论也成立由（） （）知，不等式 对一切 都成立n5n（3
15、）因为当 时， ，所以 5n12na12na又由 ，即 ，21nna1()n即 ，得 ，且 1nnna 12nna1a所以 11()2kkk1112nn23解：（1）由题意知 ，即 2517aA2 2111(4)(6)adad因为 ，所以 ，数列 的公比 ，0d1dnb5143q所以 又 13nbaA1()2n nbnada由得 因为 ，所以 112n1013nbA（2） 1nnnTCbCb 211(3)()(2)nnCCA1212(33)nA A 3n，4n所以 1243limli4nnTbA12()234lim3()nnnA1024解：（1）由题设可得 ，解得12985aq132aq所以数
16、列 的首项 为 3，公比 为 na1q3（2）由（1）知， ，所以， 是首项为 ，公差 的等差数12()nn(2)T2a213da列，它的前 10 项之和为 ，即数列 的前 10 项之和为 1551009315S(2)T（3）因为 为数列 的第 项， 是首项为 ，公差为 的等差数列，ib()iT()iTia1ia所以 ，(1)2(1)()iii iaa所以 12nnSb 123521)2(1)nan 令 1235()naa因为 ，1211(2)nnSq所以 ，2()(naq2458)(3n故 2(45(18)3nnS所以 1)limli45(nnm因为 ，且 存在，所以当 时， ；1linS2lim2nS当 时， ，由题设， 不等于 02li0nmlin因此 不合题意，舍去，故满足题设的正整数 的值为 225解：（1）当 时 ；1li()li()xxmfbA（2）当 时 ；nm()li()li01mnxxfbA（3）当 时 li()li1()nmxxf不 存 在所以 0lim()1x nf m（ ）（ ）不 存 在 （ ）
