1、阶段检测试题(二)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】知识点、方法 题号三角函数的化简、求值 1,7三角函数的图象与性质 2,8,11,15解三角形 5,13平面向量的线性运算 4平面向量基本定理及应用 9平面向量的数量积运算 3,6,10,12,14,16综合应用问题 17,18,19,20,21,22一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.sin 15cos 15等于( A )(A) (B) (C) (D)14 34 12 32解析:sin 15cos 15= sin 30= .12 142.(2016四川广元三模)下面四个函数中,以 为最小正
2、周期,且在区间( ,)上为减函数的是( B )2(A)y=cos2x (B)y=2|sin x|(C)y=( )cos x (D)y=tan x13解析:y=cos 2x= 在( ,)上为增函数,排除 A;由以 为最小1+22 2正周期,排除 C;由 y=tan x 在( ,)上为增函数 ,排除 D;由图象知2y=2|sin x|在( ,)上为减函数,故选 B.23.(2016湖南怀化二模)已知平面向量 a=(2,0),b=(-4,0),则向量b 在向量 a 方向上的投影为( B )(A)4 (B)-4 (C) (D)-14 14解析:设 a 与 b 的夹角为 ,因为 a=(2,0),b=(-
3、4,0),所以 =,且|b|=4,所以向量 b 在向量 a 方向上的投影为|b|cos =4cos =-4.故选 B.4.(2016山东潍坊一模)在ABC 中,P,Q 分别是 AB,BC 的三等分点,且 AP= AB,BQ= BC,若 =a, =b,则 等于( A )13 13 (A) a+ b (B)- a+ b13 13 13 13(C) a- b (D)- a- b13 13 13 13解析: = - =b-a.因为 AP= AB,BQ= BC,13 13所以 = = a, = = b- a.2323 1313 13所以 = + = a+ b.故选 A.13 135.在ABC 中,角 A
4、,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A= ,a= ,b=1,则3 3c 等于( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)3 3解析:由 a2=b2+c2-2bccos A 得3=1+c2-2c1cos =1+c2-c,3所以 c2-c-2=0,所以 c=2 或-1(舍去).6.(2016广东梅州二模)已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 a+b 与 a-2b 垂直,则实数 的值为( A )(A)- (B) (C)- (D)17 17 16 16解析:因为 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 a+b 与 a-2b 垂直,所以(a+b)(a-2b)=0,即(-3-1,2
5、)(-1,2)=0,所以 3+1+4=0,所以 =- .故选 A.177.(2016广西桂林、北海、崇左一模)已知 tan =2(0,),则cos( +2)等于( D )52(A) (B) (C)- (D)-35 45 35 45解析:因为 tan =2,(0,),则 cos( +2)=cos( +2)=-sin 2=-2sin cos =-52 2=- =- =- ,故选 D.22+2 22+1 44+1 458.(2016湖南郴州一模)函数 f(x)=sin(x+ )(0)相邻两个对3称中心的距离为 ,以下哪个区间是函数 f(x)的单调增区间( A )2(A)- ,0(B)0, 3 3(C
6、) , (D) , 122 256解析:因为函数 f(x)=sin(x+ )(0)相邻两个对称中心的距离3为 ,2所以 = ,解得 =2,12 22所以 f(x)=sin(2x+ ).3令- +2k2x+ +2k,kZ, 可得- +kx +k,kZ.2 3 2 512 12当 k=0 时,x- , ,且- ,0- , ,51212 3 51212所以区间- ,0是函数 f(x)的单调增区间. 故选 A.39.导学号 49612144 在ABC 中,点 D 满足 = ,P 为ABC 内一点,34且满足 = + ,则 等于( A )31025 (A) (B) (C) (D)310 920 635
7、935解析:如图,作 = , = ,以 AE,AF 为邻边作平行四边形 AEPF,31025因为 E 在 AB 上,AE= AB,PE= AC,且 PEAC,310 25所以 SAPE = SABC = SABC .31025 650又 AE= AB,AD= AB,310 34所以 ED= AB,920又 PE= AC,PEAC,25所以 SPDE = SABC = SABC ,92025 950所以 SAPD =( + )SABC = SABC ,650950 310所以 = .故选 A.31010.如图,在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2, = , = ,若 =-12 ,则 等于(
8、A ) 12 (A)- (B)43 43(C)- (D)32 32解析: = D 是 AC 的中点 = ( + ), 12 =- ( + )( - )=- , 12 12 12- =-1 =5| |= ,2 2 2 5cosABC= ,15 =( - ) =( - )(- )23 = - 232=2 - 551523=2-103=- .4311.(2016江西上饶一模)设函数 f(x)=sin(2x+ ),则下列结论正确3的是( A )f(x)的图象关于直线 x= 对称3f(x)的图象关于点( ,0)对称4f(x)的图象向左平移 个单位,得到一个偶函数的图象12f(x)的最小正周期为 ,且在0
9、, 上为增函数6(A) (B) (C) (D)解析:因为 2 + =,x= 不是正弦函数的对称轴,故错误;33 3因为 2 + = ,( ,0)不是正弦函数的对称中心,故错误;4356 4f(x)的图象向左平移 个单位,得到 y=sin2(x+ )+ =sin(2x+ )12 123 2=cos 2x 的图象,y=cos 2x 为偶函数,故正确;由 x0, ,得 2x+ , ,6 3 323因为 , 不是正弦函数的单调递增区间,故错误;故选 A.32312.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A,D 分别在 x 轴,y 轴正半轴上移动,则 的最大值是( A ) (A)2 (B)1+
10、2(C) (D)4解析:令OAD=,由于 AD=1,故 OA=cos ,OD=sin ,BAx= -,AB=1,2故 xB=cos +cos( -)2=cos +sin ,yB=sin( -)=cos ,2故 =(cos +sin ,cos ),同理可求得 C(sin ,cos +sin ),即 =(sin ,cos +sin ),所以 =(cos +sin ,cos )(sin ,cos +sin ) =1+sin 2, =1+sin 2 的最大值是 2. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.(2016山东菏泽一模)a,b,c 分别是ABC 角 A,B,C 的
11、对边,ABC 的面积为 ,且 b=2,sin C= ,则 c= . 312解析:因为 S= absin C,12所以 = 2a ,312 12所以 a=2 .3由 sin C= 得 cos C= .12 32由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=12+4-22 2( )=4 或 28.332即 c=2 或 2 .7答案:2 或 2 714.(2016江西南昌一模)已知向量 a=(1, ),向量 a,c 的夹角3是 ,ac=2,则|c|等于 . 3解析:|a|= =2,12+( 3)2ac=|a|c|cos =2,3即 2|c| =2,所以|c|=2.12答案:215.函数 f(x)
12、=Asin(x+ )(A, 为常数,A0,0,0 )的图象如图所示,则 A= ,= ,f( )= . 3解析:由题图可得 A=2,T= - = ,34 1112634所以 T= ,2所以 =2,由五点作图相对应可知,2 + = ,62所以 = ,6所以 f(x)=2sin(2x+ ),6f( )=2sin(2 + )=1.3 36答案:2 2 116.(2015辽宁沈阳高三一模)已知 a,b 是单位向量,ab=0,若向量c 满足|c-2a-2b|=1,则|c|的取值范围是 . 解析:依题意设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则 c-2a-2b=(x-2,y-2),又|c-2a-
13、2b|=1,所以(x-2) 2+(y-2)2=1,所以向量 c 的终点在以(2,2)为圆心,半径为 1 的单位圆上,又圆心到原点的距离为 2 ,2所以|c|的最大值为 2 +1,最小值为 2 -1,2 2所以|c|的取值范围是2 -1,2 +1.2 2答案:2 -1,2 +12 2三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)(2015江西一模)在平面直角坐标系 xOy 中,角 的终边经过点P(3,4).(1)求 sin(+ )的值;4(2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q,求 的值. 解:(1)因为角 的终边经过点 P(3,4),所以 sin = ,cos =
14、 ,45 35所以 sin(+ )=sin cos +cos sin 4 4 4= + 45 22 35 22= .7102(2)因为 P(3,4)关于 x 轴的对称点为 Q,所以 Q(3,-4).所以 =(3,4), =(3,-4), 所以 =33+4(-4)=-7. 18.(本小题满分 12 分)(2016陕西西安三模)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 b=acos C+3bsin (B+C).(1)若 = ,求角 A; 3(2)在(1)的条件下,若ABC 的面积为 ,求 a 的值.3解:(1)在ABC 中,过 B 作 BDAC,则 b=AD+CD=acos
15、C+ccos A.因为 b=acos C+3bsin (B+C)=acos C+3bsin A,所以 3bsin A=ccos A,所以 =3tan A= , 3所以 tan A= ,A= .33 6(2)因为 SABC = bcsin A= bc= ,12 14 3所以 bc=4 ,3因为 c= b,3所以 b=2,c=2 .3由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=4+12-12=4.所以 a=2.19.(本小题满分 12 分)导学号 49612145 已知向量 a=(2,sin )与 b=(1,cos )互相平行,其中 (0, ).2(1)求 sin 和 cos 的值;(2)若 sin(- )= ,0 ,求 cos 的值.1010 2 解:(1)因为向量 a=(2,sin )与 b=(1,cos )互相平行,
