1、求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。例 1. 已知 x2)1x(f，求 )(f。解：因为 )1x()(f,1x,122所 以二、换元法已知 )(g,f)(gf把求 看成一个整体 t，进行换元，从而求出 )x(f的方法。例 2. 同例 1。解：令 2)1t(x,t,t,x则 ，所以 )1(2)t(f2，所以 x。评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即 )x(f的定义域。三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。例 3. 已知定义在 R
2、 上的函数 )x(f满足 1x)(f2(f，求 )(f的解析式。解： 1)x(f2(f， )x 得 3)(f，所以1)(f。评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。例 4. 已知函数 )x(f的定义域为 R，并对一切实数 x，y 都有)1y2x()f3x()y(f2，求 )x(f的解析式。解：令 0f302得 ，令 )(f)(2得 ，所以 0)(f，所以 )Rx(2五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。例 5. 已知二次函数 )x(
3、f的二次项系数为 a，且不等式 x2)(f的解集为（1，3），方程 0a6)x(f有两个相等的实根，求 )x(f的解析式。解：因为 的x2)(f解集为（1，3），设 0a),(a且 ，所以 x23)1x()fa42a由方程 06)x(f得 a942a因为方程有两个相等的实根，所以 0)(2，即 ,01a452解得 5或又a,0所 以，将 51得 53x6)x(f2。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例 6. 已知函数 )x(fy是 R 上的奇函数，当 )x(f,13)x(f,0求时 的解析式。解析：因为 是 R 上的奇函数，所以 )x(f),x(f)(f
4、 即 ，当 0,x时 ， 13)()f)( xx所以 0,13xx函数值域的八大求法方法一：观察法例 1. 求函数 2x4y的值域。解析：由 2,0x4,002 知及 。故此函数值域为 ,。评注：此方法适用于解答选择题和填空题。方法三：反函数法例 3. 求函数)4x(21y的值域。解析：由 得 y。由 4x，得41y2，解得125或。此函数值域为),),(。评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于 x 为一次的情形。方法四：分离常数法注意形如)adbc,0(axdcy的值域为),ac(),(。方法五：判别式法例 5. 求函数 12的值域。解析：原式整理可得 0)1y(x)1y(2。当 01y即
5、时， 原式成立。当 即 时， 0)1y(4y2，解得 52y或。综上可得原函数值域为 ),5,(。评注：此方法适用于 x 为二次的情形，但应注意 01y时的情况。方法六：图象法例 6. 求函数 1y)0(的值域。解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为 ),1(2,(。评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。 y 0 1 2 x -1 (,-1) -2 方法七：中间变量法例 7. 求函数 5x3y2的值域。解析：由上式易得 1y。由 53,035,0x2 或解 得知。故此函数值域为),1(,(。评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。方法八：配方法例 8. 求函数 3x2y的值域。解析：因为 )1(，故此函数值域为 ),2。评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。
