1、1趣味数学目录第 1 课时 集合中的趣题“集合”与“模糊数学 2第 2 课时 函数中的趣题 一份购房合同 3第 3 课时 函数中的趣题孙悟空大战牛魔王 4第 4 课时 三角函数的趣题直角三角形 6第 5 课时 三角函数的趣题月平均气温问题 7第 6 课时 数列中的趣题 柯克曼女生问题 9第 7 课时 数列中的趣题数列的应用 11第 8 课时 不等式性质应用趣题两边夹不等式的推广及趣例 13第 9 课时 不等式性质应用趣题均值不等式的应用 15第 10 课时 立体几何趣题正多面体拼接构成新多面体面数问题 16第 11 课时 立体几何趣题球在平面上的投影 1912 课时 解析几何中的趣题神奇的莫比
2、乌斯圈 2113 课时 解析几何中的趣题最短途问题 2214 课时 排列组合中的趣题抽屉原理 2315 课时 排列组合中的趣题摸球游戏 24第 16 课时 概率中的趣题 25第 17 课时 简易逻辑中的趣题 28第 18 课 时 解 数 学 题 的 策 略 312第 1 课时 集合中的趣题“集合”与“模糊数学”教学要求：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；教学过程：一、 情境引入1965 年，美国数学家扎德发表论文模糊集合 ，开辟了一门新的数学分支模糊数学。二、 实例尝试，探求新知模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都必须由确定的元
3、素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：来描述。扎德将特征函数 改成所谓的“隶属函数”)(,10AxA )(xA，这里 A 称为“模糊函数” ， 称为 x 对 A 的“隶属度” 。,:)A经典集合论要求隶属度只能取 0，1 二值，模糊集合论则突破了这一限制，=1 时表示百分之百隶属于 A； =0 时表示不属于 A 还可以有百分之二十隶xA x属于 A，百分之八十不隶属于 A等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分支，从而出现
4、了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学， 模糊数学是 20 世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。例 1、学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参加，又举办了一次球类运动会，这个班有 12 名同学参加，那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？如果有 5 名同学两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？如果每一位同学都只参加一次运动会, 问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？解析：可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题。（1） 因
5、为这 5 名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减去8 + 12 5 = 15（2） 8 + 12 = 20.这两次运动会这个班共有 20 名同学参赛.三、 本课小结3通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神而进步的。四、 作业下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级全体高个子男生；（3）所有数学难题；（4）不等式 的解；02x第 2 课时 函数中的趣题一份购房合同教学要求：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.教学过程：一、 情境引入最早把“函数“（function）这个词用作数学术语的数学家
6、是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德国数学家） ，但其含义和现在不同，他把函数看成是“像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量“. 1718 年，瑞士数学家约翰。贝努利（John Bernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了“变量“这个词。他写到：“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。“他的学生，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler，1707-1783，被称为历史上最“多产“的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在无限小分析
7、引论中将函数定义为：“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式“，欧拉的函数定义在 18 世纪后期占据了统治地位。二、 实例尝试，探求新知例 1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购买安居工程集资房 72m2,单价为每平方米 1000 元，一次性国家财政补贴28800 元，学校补贴 14400 元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付 10 次，10 年后付清，年利率为 7.5%, 房地产开发公司要求陈老师每年付款 4200 元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？解析：陈
8、老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为 a 元,那么10 年后第一年付款的本利和为 1.0759a 元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.0758a 元、第三年为 1.0757a 元，第十年为 a 元，然后把这 10 个本利和加起来等于余额部分按年利率为 7.5%计算 10 年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+a =(721000-28800-14400)1.07510,解得的 a 的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，
9、且 10 年中一次都不付款，那么第一年应付的款额 a 元到第 10 年付款时，你不仅要付本金 a 元，还要付 a 元所产生的利息，共为 1.0759a 元，同样，第二年应付的款额 a 元到第 10 年付款时应付金额为 1.0758a 元，第三年为1.0757a 元，第十年为 a 元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款721000-28800-14400 在 10 年后一次付清时的本息是相等的。仍得到41.0759a+1.0758a+1.0757a+a =(721000-28800-14400)1.07510用这种方法计算的 a 值即为你每年应付的款额。例 2、经调查得知，若我们把每日租金定
10、价为 160 元，则可客满；而租金每涨 20 元，就会失去 3 位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计 40 元。我们该如何定价才能赚最多的钱？解析：日租金 360 元。虽然比客满价高出 200 元，因此失去 30 位客人，但余下的 50 位客人还是能给我们带来 360*50=18000 元的收入；扣除 50 间房的支出40*50=2000 元，每日净赚 16000 元。而客满时净利润只有 160*80-40*80=9600 元三、 本课小结通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考四、 作业家用冰箱使用
11、的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层臭氧含量 呈指数函Q数型变化，满足关系式 ，其中 是臭氧的初始量， 是所经过的时teQ025.0t间1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？2）多少年后将会有一半的臭氧消失？第 3 课时 函数中的趣题孙悟空大战牛魔王教学要求：体会数学在实际问题中的应用价值教学过程：一、 故事引入孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟空一见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠
12、闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！立即身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜
13、照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天取经5二、 实例尝试，探求新知这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地” ，也可变成一个小虫儿。当然，这些都是神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在变化，表示它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的呢？不是的。研究问题的某个特定过程
14、中，在一定的范围内，有的数量是保持不变的。或者，虽然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一个“变量” ；把一定范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量” 。例 1、1202 年，意大利比萨的数学家斐波那契(约 1170 年约 1250 年)在他所著的算盘书里提出了这样一个有趣的问题：假定 1 对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的 1 对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有 1 对
15、小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1 年后将有多少对兔子？解析：第一个月时，有小兔 1 对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是 1 对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下 1 对小兔，这时兔子数是 2 对；第四个月时，原来的兔子又生了 1 对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是 3 对；第五个月时，原来的兔子又生了 1 对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了 1 对小兔，因此共有兔子 5 对；一直这样推算下去，可以得到下面的表：如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和。表中兔子对数构成的一列数
16、1，1，2，3，5，8就称为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。例 2、某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子. 解析：假设果园增种 x 棵橙子树,果园橙子的总产量为 y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子. y=(100+x)(600-5x) =-5x+100x+60000. =-5(x-10)2+60500即种：100+10=110 棵时，产量最高是：605
17、00三、本课小结通过本课学习我们知道了，不仅西游记和我们的数学还很有关系其实，只要我们留意，到处都充满着数学的原理。四、作业某市 20 名下岗职工在近郊承包 50 亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值 蔬菜 1/2 1100 元 烟叶 1/3 750 元 小麦 1/4 600 元 6请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20 名职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。（设工人数） 第 4 课时 三角函数的趣题直角三角形 教学要求：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的
18、应用。教学过程：一、 情境引入直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股” 、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.二、 例题分析例 1、海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?解析：过 A 作 BC 的垂线
19、，交 BC 于点 D.得到 RtABD 和 RtACD，从而 BD=ADtan55，CDADtan25，由 BD-CDBC，又 BC20 海里.得ADtan55-ADtan2520.AD(tan55-tan25)20，AD= 20.79(海里).25tant0这样 AD20.79 海里10 海里，所以货轮没有触礁的危险例 2、如图，某货船以 20 海里时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里时的速度由 A 向北偏西 60方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域(包括边界)均受到影响
20、.(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?7解析：(1)过点 B 作 BDAC.垂足为 D.依题意，得BAC30，在 RtABD 中，BD= AB= 2016=160200，21B 处会受到台风影响.(2)以点 B 为圆心，200 海里为半径画圆交 AC 于 E、F，由勾股定理可求得DE=120.AD=160 .3AE=AD-DE=160 -120， =3.8(小时).40126因此，陔船应在 3.8 小时内卸完货物.练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬 40的山坡 300 m，再爬 30的山坡 100 m，求山高.(结果精确到
21、0.01 m)三、 本课小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力.四、 作业如图，RtABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为 12 m，它的坡角为45，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 1：1.5 的斜坡 AD，求DB 的长.(结果保留根号)第 5 课时 三角函数的趣题月平均气温问题教学要求：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习8数学、学好数学的欲望.教学过程：一、 谈话导入数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个方面， “数学已无处不在” 。下面我们看看三角函数在
22、生活中有哪些应用。二、典例分析例 1、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度 y（米）是时间 t（ ，单位：时）的函数，记作 y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。t（时）0 3 6 12 15 18 21 24y（米）10.0 13.0 9.9 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0根据数据求出 y=f(t)的拟合函数， ，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为 6.5
23、米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）解析：依题意，该船进出港时，水深应不小于 5+6.5=11.5 米，3 ，2 ，得 12 ，在同一天内，取 k=0或 1， 或 ，所以该船最早能在凌晨 1 时进港，下午 17 时退出，在港口内最多停留 16 小时。例 2、某工厂因生产需要，要生产 1200 个如图形状的三角形铁片，已知在中， ，问要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积（精确到 1cm2）.解析： sin+cos= ， （sin+cos） . sincos . 0， sin，cos0.9 （sin-cos） =1-sincos= ， sin-c
24、os . +，得 sin= ， 要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：答：所以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约 3477cm2.三、本课小结三角函数不但应用于数学的各个分支,也广泛应用于其他的学科及社会生产实践中, .在实际生活中,也会经常碰到一些需要运用三角函数来解决的问题,特别是一些线段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用四、 作业把一段半径为 R 的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？第 6 课时 数列中的趣题柯克曼女生问题教学要求: 通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性教学过程：一、问题引入：有一个学校有 15 个女生，她们每天要做三
25、人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？二、 典例分析例 1、大楼共 n 层，现每层指定一人，共 n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会，问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。 （假定相邻两层楼梯长相等）分析：设相邻两层楼梯长为 a，则 )1(2)1( )(02nknkkaS 10分 n 为奇数和 n 为偶数两类讨论.例 2、某地区荒山 2200 亩，从 1995 年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100 亩，以后每一年比上一年多植树 50 亩.（1）若所植树全部都成活，
26、则到哪一年可将荒山全部绿化?（2）若每亩所植树苗、木材量为 2 立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为 S，求 S 的表达式.（3）若 1.2 4.3，计算 S（精确到 1 立方米）.8分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，成等差数列 三、本课小洁：下面回到课前问题，设位女生用下面个符号表示：x , a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , d1 , d2 , e1 , e2 , f1 , f2 , g1 ,g2 ;将它们排成七行，每天五个三人行小组（共十五人），使处于七行中的最前一位置上：(x,a1,a2)
27、; (x,b1,b2); (x,c1,c2); (x,d1,d2); (x,e1,e2); (x,f1,f2);(x,g1,g2).于是只须分配个元素，再每一行中，后继三人行小组，即对有下标的七个元素，进行三元素组合，填入每行，但每个字母只许出项两次。即Sunday: (x,a,a), (b,d,f), (b,e,g), (c,d,g),(c,e,f);Monday: (x,b,b), (a,b,e), (a,f,g), (c,d,g),(c,e,f);Tuesday: (x,c,c), (a,d,e), (a,f,g),(b,d,f),(b,e,g);Wednsday:(x,d,d), (a
28、,b,c), (a,f,g),(b,e,g),(c,e,f);Thursday: (x,e,e), (a,b,c), (a,f,g),(b,d,f), (c,d,g)Friday: (x,f,f), (a,b,c), (a,d,e), (b,e,g),(c,d,g);Saturday:(x,g,g), (a,b,c), (a,d,e),(b,d,f), (c,e,f)现在来填下标，如果在同一行中，可以有两个相同字母，例如在第三行中bdf,beg 中，b 出现两次，可标上不同的脚标 b1,b2;若每一个“三人行”，有两个脚标已定，则在同一行，别的三人行组不能再用；若不是由两种原则定出脚标，就定为
29、。得到解：Sunday: (x,a1,a2), (b1,d1,f1), (b2,e1,g1),(c1,d2,g2), (c2,e2,f2);Monday: (x,b1,b2), (a1,b2,e2), (a2,f2,g2),(c1,d1,g1), (c2,e1,f1);Tuesday: (x,c1,c2), (a1,d1,e1), (a2,f1,g1),(b1,d2,f2),(b2,e2,g2);Wednsday:(x,d1,d2), (a1,b2,c2), (a2,f2,g1),(b2,e1,g2),(c1,e2,f1);Thursday: (x,e1,e2), (a1,b1,c1),(a2
30、,f1,g2), (b2,d1,f2), (c2,d2,g1)Friday: (x,f1,f2), (a1,b2,c1), (a2,d2,e1),(b1,e2,g1), (c2,d1,g2);Saturday:(x,g1,g2), (a1,b1,c2), (a2,d1,e2),(b2,d2,f1), (c1,e1,f2)三、 作业某林场有荒山 3250 亩，从 96 年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植100 亩，计划以后每年比上一年多植树 50 亩(假定全部成活)(1)需几年可将此荒山全部绿化.(2)已知新植树苗每亩木材量为 2 ，树木每年的自然增长率为 10%，设荒山全部绿3化后的年底木材总量为 S，求 S 的最简表达式
