1、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 项的系数 的符号分类，即 ;2xa0,a例 1 解不等式： 122x分析：本题二次项系数含有参数， ，故只需对二次项422系数进行分类讨论。解： 0422aa解得方程 两根12x,21ax ax242当 时,解集为0a | 或当 时，不等式为 ,解集为012x2|x当 时, 解集为0a aa44| 22例 2 解不等式 0652xa分析 因为 ， ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。0解 32)( x当 时，解集为 ；当 时，解集为0|或 a32|
2、x二、按判别式 的符号分类，即 ；0,例 3 解不等式 042ax分析 本题中由于 的系数大于 0,故只需考虑 与根的情况。解： 当 即 时，解集为 ；当 即 0 时，解集为 ；162,R4a 2axR且当 或 即 ,此时两根分别为 ， ，显然 , 4a02161ax2162ax1不等式的解集为 26ax或例 4 解不等式 Rmm0142解 因 ，所以当 ，即 时，解集为 ；,012234)(3m021|x当 ，即 时，解集为 ；3 1122xx或当 ，即 时，解集为 R。m或 0三、按方程 的根 的大小来分类，即 ；2cbxa21, 212121,x例 5 解不等式 )0( )(a分析：此不
3、等式可以分解为： x，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为： ，令 ，可得： ，当 或 时， ，故原不)1(axa11a10a等式的解集为 ；当 或 时， ,可得其解集为 ；ax1| 1aa当 或 时, ,解集为 。01ax|例 6 解不等式 ，06522x分析 此不等式 ，又不等式可分解为 0)3(2ax，故只需比较两根 与 的大小 .4aa a23解 原不等式可化为： )3(，对应方程 的两根为ax，当 时，即 ，解集为 ；当 时，即 ，解集为xa3,213|或 |或一元二次不等式 参考例题（2）1(1)解不等式 （ ） 12x0,1|xx或(2)不等式 的
4、解集为 ，求 的值. （ ）1xa21|xx， 或 a212解下列关于 的不等式：x（1） （2）01)(2a )23(0)(axa， 且1|01,)3(2|,)1( axaa时 ，或当 时 ，当 时 ，或当 3,2|3)( 3|2,1axxa或时 ，当 或时 ，当 或时 ，当（3） （4）)(2x 0)(1|1)5(4|0)3(1|2,)1(xaxaa时 ，当 时 ，当 时 ，当 时 ，当 或时 ，当 2,|,1)5(|4,0)3(2|2,)1( xaxaxa或时当 时当 或时当 时当 时当（5） （6） 02ax )(R时 ，当 时 ，当 时 ，当 或时 ，当 41)( 241241|03
5、|)2( ,1a axaxaaa 1,|0)3(|2)1( axa或时 ，当 时 ，当 时 ，当3 （1）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.（ ）04)()(2xxRx2（2）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围.（ ）13642xmRm31m4 （1）已知 ，0)1(|,023|2 axxBxA若 ，求实数 的取值范围.；（ ）Ba若 ，求实数 的取值范围.；（ ）21a若 为仅含有一个元素的集合，求 的值.（ ）BA1（2）已知 ， ，求实数 的取值范围. 031|x BAaxx且,0)1(|2 a（ ）31(3) 关于 的不等式 与 的解集依次为 与 ，x2)1(|)(| a
6、x 0)3(2)1(2axx AB若 ，求实数 的取值范围. （ ）BA,或（4）设全集 ，集合 ，若 ，RU 3|12|,01|xBxaA RBA求实数 的取值范围. （ ）a2（5）已知全集 ， ，RU 034|,082|,06| 222 axCxBxA若 ，求实数 的取值范围.（ ）CBA)(a21a一元二次不等式及其解法1二次函数的图象及性质:二次函数 cbxy2的图象的对称轴方程是 abx2，顶点坐标是 abc422，2二次函数的解析式的三种形式： 2()fxabc（一般式） ；12)(x（零点式） ；nmf（顶点式） 3一元二次不等式的解法一元二次不等式 20abc20axbca或
7、 的解集：设相应的一元二次方程 x的两根为 2121xx且、 ， acb42，则不等式的解的各种情况如下表： 0 0二次函数 cbxay2（ 0）的图象cbaxy2 cay2 cbxy2一元二次方程的 根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(2 21或 R的 解 集02acbx21x 4解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A= cbxa20(或0)；(2)计算判别式 ，分析不等式的解的情况；(3)写出解集5讨论二次函数 02xy在指定区间 qp,上的最值问题：(1)注意对称轴 ab与区间 qp,的相对位置一般分为三种情况讨论，即：
8、对称轴 2ba在区间左边，函数在此区间上具有单调性；对称轴 2在区间之内； 对称轴 2ba在区间右边（2）函数 0cbxy在区间 ,上的单调性要注意系数 a的符号对抛物线开口的影响6二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置三、典型例题选讲题型 1：考查一元二次函数的性质例 1 函数 2 (0,)yxbcx是单调函数的充要条件是（ ）A 0b B C D b解：函数 2 (0,)yxbcx的对称轴为 2bx，函数 ,)）是单调函数 -(0,)0， b故选 A归纳小结：二次函数的单调区间是 (,2ba和 ,，结合开口方向就可得出所需的条件
9、，从而求出 b的范围例 2 已知二次函数的对称轴为 x，截 x轴上的弦长为 4，且过点 (,1)，求函数的解析解：二次函数的对称轴为 ，可设所求函数为 2()faxb， ()fx截 轴上的弦长为 4， ()fx过点 2,0)和 (2,0)， 又过点 0,，0，解之得12ab， 1f归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化题型 2：简单不等式的求解问题例 3 求下列不等式的解集（1） 014x；（2） 032x解法一：因为 2114, 1x的 解 是方 程 所以，原不等式的解集是 21x解法二
10、：整理，得 32因为 0,0x方 程 无实数解，所以不等式 03的解集是 从而，原不等式的解集是 归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察例 4 不等式 2ba的解集为 21x，求 a与 b的值解法一：设 02x的两根为 、 ，由韦达定理得：ax21由题意得 21ab ， 1，此时满足 0， 0)2(42ab解法二：构造解集为 x的一元二次不等式：0)(，即 02，此不等式与原不等式 02bxa应为同解不等式，故 1a， b归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为 1，不等式 02bx需满足条件 0a，
11、，2bxa的两根为 1x， 2在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系题型 3：含参不等式的求解问题例 5 解关于 的不等式 0)(2a证：分以下情况讨论(1)当 0时，原不等式变为： x， 1x， 即不等式的解集为 |1x(2)当 a时，原不等式变为： )( 当 0a时，式变为 0)1(xa，不等式的解为 1x或x1即不等式的解集为 |1a或 ；当 时，式变为 )(x， a，当 0a时， 1，此时的解为 x即不等式的解集为 |1；当 1时， ，此时的解为 当 时， ，即不等式的解集为 |1归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：10
12、aaR分类应做到使所给参数 a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论 0a时，解一元二次不等式 01)(2xa应首选做到将二次项系数变为正数再求解题型 4：一元二次不等式的应用例 6 （1）已知函数 0xf，则不等式 1xfx的解集是（ ）A 12|x B 1|C D 2解：依题意得0()()xx或所以121Rx或 121xx或，选 C（2）若函数 f(x) = 2ax的定义域为 R，则 a 的取值范围为 _解： 函数 的定义域为 R， 对一切 都有2xa恒成立，即 20xa恒成立，0成立，即 40， 0，故选 A归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数
13、函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一例 7 已知函数 21sini42ayx的最大值为 ，求 a的值解：令 it， 1,t， 2()()yt，对称轴为 2at，当 1，即 2a时，2max1()4y，得 a或 3（舍去） 当 1，即 时，函数 ()()4yt在,上 单调递增，由 max124y，得 0a；当 ，即 a时，函数2()(2)yt在 ,上单调递减，由 max124y，得 （舍去） 综上可得， 的值为 或 03归纳小结：
14、令 sintx，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间 ,的三种位置关系的讨论就可求得 a的值此题中要注意 a的条件例 8 设不等式 2的解集为 M，如果 1,4，求实数 a的取值范围？解： M1,4有两种情况：其一是 =，此时 0；其二是 M ，此时 =0 或 0，分三种情况计算 a 的取值范围设 ()fx，有 = 2()()a= 2()，当 0 时，1 2， M=1,4；当=0 时， a=1 或 2；当 a=1 时 =,；当 =2 时， m=,4当 0 时，a1 或 a2设方程 fx的两根 1x， 2，且 1 2x，那么 M= x， ，M ,41x 1x 240,41)()(
15、且且aff，即 30 187 2a，或 ， 解得 2 a 718， M1，4时， a的取值范围是(1， 718)一元二次不等式解法应试能力测试1不等式 的解集是( )x26A B C D3|x23x|2x3|或 23x|或2设集合 Mx|0x0 Ca0 且 b0 Db0 且 a0)的解集是_bx1为使周长为 20cm 的长方形面积大于 ，不大于 ，它的短边要取多长？2cm152c02解不等式 x21|23解关于 x 的不等式 (a0)04)1a(24k 为何值时，关于 x 的不等式 对一切实数 x 恒成立13x64k2参考答案一、1D 2B 3C 4C 5A 提示：因为 AB3，46A 提示：
16、因 Bx|x3，由已知得 Ax| 1x 41，4 是 的两根，p3，q40x27C 8A，提示：因 的解为 ，只有 a0 且 b0 时，ax5 提示：原不等式化为 ， |x|535|22x|32，1a2 ，提示：Ax|1 x2，B x|(x1)(xa)0， ，a2BA4x|xa，提示：原不等式可化为(a x)(xb)0，a b0，ab，xa 或 x0 时，不等式化为 ，即505 |2|解得： 3原不等式化为(ax2)(x2)0 ，a0， ，当 a1 时，x23 0)(a， ，x|xR 且 x2，当 a1 时：若 a1，则 ， ，若 0a1，则 ，a)(2 2a2xa|或|ax或4 恒正，不等式化为 ，即 恒成立362 3x64k22 0)k3()6(2 ， ，1k3 0)k(8)(034
