1、- 1 -2015年浙江省丽水市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2015丽水一模）下列函数既是奇函数，又在（0，+）上单调递增的是（ ）A y=x 2 B y=x 3 C y=log 2x D y=3 x【考点】： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可【解析】： 解：A函数 y=x2为偶函数，不满足条件B函数 y=x3为奇函数，在（0，+）上单调递增，满足条件Cy=log 2x的定义域为（0，+）
2、 ，为非奇非偶函数，不满足条件D函数 y=3x 为奇函数，为减函数，不满足条件故选：B【点评】： 本题主要考查函数奇偶数和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的性质2 （5 分） （2015丽水一模）等差数列a n满足 a2=4，a 1+a4+a7=24，则 a10=（ ）A 16 B 18 C 20 D 22【考点】： 等差数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由等差数列的性质易得 a4=8，进而可得公差，再由通项公式可得【解析】： 解：等差数列a n满足 a2=4，a 1+a4+a7=24，3a 4=24，a 4=8，等差数列a n的公差 d= =2，a 10=a4+6d=
3、8+12=20故选：C【点评】： 本题考查等差数列的通项公式，属基础题3 （5 分） （2015丽水一模）要得到函数 y=sin（2x+ ）的图象，只需将函数 y=sin2x的图象（ ）A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度【考点】： 函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质- 2 -【分析】： y=sin（2x+ ）=sin2（x+ ） ，根据平移规律：左加右减可得答案【解析】： 解：y=sin（2x+ ）=sin2（x+ ） ，故要得到 y=2sin（2x+ ）的图象，只需将函数 y=sin2x的图象
4、向左平移 个单位，故选：C【点评】： 本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象，属于基本知识的考查4 （5 分） （2015丽水一模） “m=4”是“直线 mx+（1m）y+1=0 和直线 3x+my1=0 垂直”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 直线与圆；简易逻辑【分析】： 根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：若直线 mx+（1m）y+1=0 和直线 3x+my1=0 垂直，则 3m+m（1m）=0，即 m（4m）=0
5、，解得 m=0或 m=4，则“m=4”是“直线 mx+（1m）y+1=0 和直线 3x+my1=0 垂直”的充分不必要条件，故选：A【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键5 （5 分） （2015丽水一模）若实数 x，y 满足 则 2x+y的最大值是（ ）A 3 B 4 C 6 D 7【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线
6、y=2x+z 经过点 A时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z最大由 ，解得 ，即 A（3，1） ，- 3 -代入目标函数 z=2x+y得 z=23+1=6+1=7即目标函数 z=2x+y的最大值为 7故选：D【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法6 （5 分） （2015丽水一模）已知圆 x2+y2=4，过点 P（0， ）的直线 l交该圆于 A，B 两点，O为坐标原点，则OAB 面积的最大值是（ ）A B 2 C D 4【考点】： 直线与圆的位置关系【专题】： 直线与圆【分析】： 讨论 l斜率不存在和存在的情况，当
7、斜率存在时，设出方程求出圆心到直线的距离 d，利用基本不等式求出 SOAB = = ，即可得出结论【解析】： 解：当直线 l不存在斜率时，S OAB =0，当直线存在斜率时，设斜率为 k，则直线 l的方程为 y=kx+ ，即 kxy+ =0，圆心到直线的距离 d= ，|AB|=2 =2 ，S OAB = ，OAB 面积的最大值是 2故选 B- 4 -【点评】： 本题考查直线与圆的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中档题7 （5 分） （2015丽水一模）在四面体 ABCD中，下列条件不能得出 ABCD 的是（ ）A ABBC 且 ABBD B ADBC 且 ACBD C AC=AD 且 BC
8、=BD D ACBC 且 ADBD【考点】： 空间中直线与直线之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 在几何体中选取边长的中点，运用等腰三角形的性质，直线平面的垂直，平面与平面的垂直问题判断即可得出答案【解析】： 解：ABBD，ABBC，BDBC=B，AB面 BCD，CD面 BCD，ABCD，设 A在面 BCD射影为 O，AO面 BCD，ADBC，ACBD，O 为BCD 的垂心连接 BO，则 BOCD，AOCDCD面 ABOAB面 ABOABCD，取 CD中点 G，连接 BG，AG，AC=AD 且 BC=BD，CDBG，CDAG，BGAG=G，CD面 ABG，AB面 ABGAB
9、CD，综上选项 A，B，C 能够得出 ABCD，故选：D- 5 -【点评】： 本题综合考查了空间几何体中点直线，平面的垂直问题，关键是利用平面几何知识，空间直线平面的性质定理，判定定理转化直线的位置关系判断即可8 （5 分） （2015丽水一模）已知双曲线 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F 2，P 为双曲线右支上一点，直线 PF1与圆 x2+y2=a2相切，且|PF 2|=|F1F2|，则该双曲线的离心率 e是（ ）A B C D 【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 设直线 PF1与圆 x2+y2=a2相切于点 M，取 P
10、F1的中点 N，连接 NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF 1|=4b，再由双曲线的定义和 a，b，c 的关系及离心率公式，计算即可得到【解析】： 解：设直线 PF1与圆 x2+y2=a2相切于点 M，则|OM|=a，OMPF 1，取 PF1的中点 N，连接 NF2，由于|PF 2|=|F1F2|=2c，则 NF2PF 1，|NP|=|NF 1|，由|NF 2|=2|OM|=2a，则|NP|= =2b，即有|PF 1|=4b，由双曲线的定义可得|PF 1|PF 2|=2a，即 4b2c=2a，即 2b=c+a，4b2=（c+a） 2，即 4（c 2a
11、 2）=（c+a） 2，4（ca）=c+a，即 3c=5a，则 e= = 故选 A- 6 -【点评】： 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键二、填空题（本大题共 7小题，912 小题每题 6分，其它小题每题 4分，共 36分）9 （6 分） （2015丽水一模）设全集 U=R，集合 A=x|x2，B=x|x 24x+30，则 AB= （2，3） ，AB= （1，+） ， UB= （，13 ，+） 【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出 B中不等式的解集确定出 B，找出 A与 B的交集，并集，求出 B的补集即可【解析】： 解：由
12、 B中不等式变形得：（x1） （x3）0，解得：1x3，即 B=（1，3） ，A=（2，+） ，AB=（2，3） ，AB=（1，+） ， UB=（，13 ，+） 故答案为：（2，3） ；（1，+） ；（，13，+）【点评】： 此题考查了交集及其运算，并集及其运算，以及补集的运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10 （6 分） （2015丽水一模）已知函数 f（x）=2sin（x） （0）的最小正周期为 ，则 = 2 ，f（ ）= ，在（0，）内满足 f（x 0）=0 的 x0= 【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 根据三角函数的周期公式求出 ，即可得到结论【
13、解析】： 解：三角函数的周期是 ，则 =，则 =2，则 f（x）=2sin2x，则 f（ ）=2sin =2 = ，由 f（x）=0 得 sin2x=0，x（0，） ，2x（0，2） ，- 7 -则 2x=，故 x= ，故 x0= ，故答案为：2， ，【点评】： 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的周期公式求出 是解决本题的关键11 （6 分） （2015丽水一模）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积 V= cm 3，表面积 S= cm 2【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 由三视图可得该几何体是以俯视图为底面
14、，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案【解析】： 解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以 V= = cm3，S= + + + =故答案为： ； 【点评】： 本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键12 （6 分） （2015丽水一模）已知函数 f（x）= （x1） ，当且仅当 x= 2 时，f（x）取到最小值为 2 【考点】： 基本不等式；函数的最值及其几何意义【专题】： 不等式的解法及应用- 8 -【分析】： 变形利用基本不等式的性质即可得出【解析】： 解
15、：x1，x10函数 f（x）= =x1+ =2，当且仅当 x=2时取等号故答案分别为：2；2【点评】： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题13 （4 分） （2015丽水一模）已知 A，B 是单位圆 C上的两个定点，对任意实数，| |有最小值 ，则| |= 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： 由 A，B 是单位圆 C上的两个定点，则| |=| |=1，令| |=t，运用向量的平方即为模的平方，化简整理，结合余弦定理，可得关于 的二次函数 2t2t 2+1，运用二次函数的最值，即可得到最小值，解方程进而得到 t【解析】： 解：由 A，B 是单位圆 C
16、上的两个定点，则| |=| |=1，令| |=t，y=| |2=（ ） 2= 2 + 2| |2=12| | |cosA+ 2| |2=1（t 2+11）+ 2t2= 2t2t 2+1，当 = = 时，y 取得最小值，且为 t2 t2+1=1 t2，由于对任意实数 ，| |有最小值 ，则 1 t2= ，解得 t= 故答案为： 【点评】： 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，运用二次函数的最值是解题的关键，属于中档题和易错题14 （4 分） （2015丽水一模）已知 f（x）= ，若 f（f（t） ）0，1，则实数 t的取值范围是 log 32，1 【考点】： 分段
17、函数的应用- 9 -【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 通过 t的范围，求出 f（t）的表达式，判断 f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出 t的范围即可【解析】： 解：当 t（0，1，所以 f（t）=3 t（1，3，又函数 f（x）= ，则 f（f（t）=log 2（3 t1） ，因为 f（f（t） ）0，1，所以 0log 2（3 t1）1，即 13 t12，解得：log 32t1，则实数 t的取值范围log 32，1；当 1t3 时，f（t）=log 2（t1）（，1，由于 f（f（t） ）0，1，即有 0 1，解得 1t2此时 f（t）=l
18、og 2（t1）0，f（f（t） ）不存在综上可得 t的取值范围为log 32，1故答案为：log 32，1【点评】： 本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，考查计算能力，属于中档题和易错题15 （4 分） （2015丽水一模）已知正项等比数列a n的公比为 q，其前 n项和为 Sn，若对一切 nN *都有 an+12S n，则 q的取值范围是 3，+） 【考点】： 等比数列的性质【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 由 an+12S n，可得 Sn+13S n，即 qn（q3）+20，利用 q0，即可确定 q的取值范围【解析】： 解：a n
19、+12S n，S n+13S n，1q n+13（1q n） ，q n（q3）+20，q0，q3故答案为：3，+） 【点评】： 本题考查 q的取值范围，考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题（本大题共 5小题，共 74分）16 （14 分） （2015丽水一模）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知acosBbsinB=c，且 cosA= - 10 -（）求 sinB；（）若 c=7，求ABC 的面积【考点】： 正弦定理；两角和与差的正弦函数【专题】： 解三角形【分析】： （）利用已知条件结合正弦定理以及三角形的内角和化简表达式，然后求sinB的值
20、；（）通过 sinC=sin（A+B） ，结合两角和的增函数，求出 sinC的值，利用正弦定理求出b，即可求ABC 的面积【解析】： 解：（） 由题意得cosA= 由 asinBbsinB=csinAsinBsinBsinB=sin（A+B）sinBsinB=cosAsinBsinB=cosA （）sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB =又由正弦定理得： b=3【点评】： 本题考查正弦定理的应用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和公式的应用，考查分析问题解决问题的能力17 （15 分） （2015丽水一模）已知等差数列a n，首项 a1和公差 d均为整数，其前 n项和为 Sn（）若 a1=1，且 a2，a 4，a 9成等比数列，求公差 d；（）若 n5 时，恒有 SnS 5，求 a1的最小值【考点】： 等差数列的性质【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： （）利用等比数列的性质，求公差 d；（）n5 时，恒有 SnS 5，可得 S5最大且有 d0，结合 a1，dZ 求 a1的最小值【解析】： 解：（）由题意得将 a1=1代入得（1+3d） 2=（1+d）（1+8d）（4 分）解得 d=0或 d=3（6 分）（）n5 时，恒有 SnS 5，S 5最大且有 d0，又由 ，
