1、数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性” 。CBAxyxCyBxyA 、，如 ： 集 合 lg|),(lg|lg| 中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况(注重借助于数轴和文氏图解集合问题)空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如 ： 集 合 ，xxa| |2301若 ， 则 实 数 的 值 构 成 的 集 合 为BAa（ 答 ： ， ， ）103显然，这里很容易解出 A=-1,3.而 B 最多只有一
2、个元素。故 B 只能是-1 或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。3. 注意下列性质： （ ） 集 合 ， ， ， 的 所 有 子 集 的 个 数 是 ；1 212aan n要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素 a1来说，有 2 种选择（在或者不在） 。同样，对于元素 a2, a3,an,都有 2 种选择，所以，总共有 种选择， 即集合 A 有 个子集。n n当然，我们也要注意到，这 种情况之中，包含了这 n 个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个n数为 ，非空真子集个数为1n2
3、若若 BA（3）德摩根定律：CCCUUUUBBA，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如 ： 已 知 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为 ， 若 且 ， 求 实 数xaMa50352的取值范围。 （ ， ， ， ， ）335501539222Maaa5.熟悉命题的几种形式、 ()()().可 以 判 断 真 假 的 语 句 叫 做 命 题 ， 逻 辑 连 接 词 有 “或 ”， “且 ”和 “非 ”1.若 为 真 ， 当 且 仅 当 、 均 为 真pqpq2.若 为 真 ， 当 且 仅 当 、 至 少 有 一 个 为 真3, 若 为 真 ， 当 且 仅 当 为 假命题的四种形
4、式及其相互关系是什么？ 答:（互为逆否关系的命题是等价命题。 ） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。6.熟悉充要条件的性质（高考经常考）xA|满足条件 p， xB|满足条件 q，若 ；则 是 q的充分非必要条件 BA_；若 ；则 是 的必要非充分条件 ；若 ；则 p是 的充要条件 ；若 ；则 是 q的既非充分又非必要条件 _；7. 对映射的概念了解吗？映射 f：AB，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。 ）注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则
5、从 A 到 B 的映射个数有nm个。如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个；4,321A,cba到 的函数有 个，若 ，则 到 的一一映射有 个。B3218.求函数的定义域有哪些常见类型？例 ： 函 数 的 定 义 域 是yx432lg （ 答 ： ， ， ， ）0234函数定义域求法：（1）.分式中的分母不为零；（2）.偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）.指数式的底数大于零且不等于一；（4）.对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。（5）.正切函数 xytankxR,2,且（6）.余切函数 cot,且9. 如何求复合函数的定义域？ 的 定， 则 函 数，的 定 义
6、 域 是如 ： 函 数 )()(0)( xfxFabxf 义域是_。 （ 答 ： ， ）a复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，可由)(xfynm,)(xgfy解出 x 的范围，即为 的定义域。ngm例：若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 。)(xfy2,1)(log2f分析：由函数 的定义域为 可知： ；所以 中有 。)(f,1x)(log2xfy2log1x解：依题意知： 2log1x解之，得： 42 的定义域为)(log2xf4|x10函数值域的求法（1） 、配方法配：求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= -2x+5，x -1，2的值域。2（2） 、判别式
7、法：对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用（3） 、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y= 值域。6543x（4） 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y= ， ， 的值域。1xe2sin1y2sin1coy2 22102sin1|si|,2(cos)1cosins14()1,sin()4sin()4即又 由 知解 不 等 式 ， 求 出 ， 就 是 要 求 的 答 案xxeyyyyyxxy（5） 、函数单调性法
8、：通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例：求函数 y= （2x10）的值域5xlog31x（6） 、换元法：通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例：求函数 y=x+ 的值域。1x（7） 、数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单。 例:求函数 y= + 的值域1362x542x解：原函数可变形为：y= +)0(22)10(22x上式可看成 x 轴上的点 P（x，0）到两定点 A（3，2
9、） ，B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，y =AB= = ，min )12(43故：所求函数的值域为 ，+） 。43(8)、不等式法：利用基本不等式 a+b2 ，a+b+c3 （a，b，c ） ，求函数的最值，abc3R其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：(9).倒数法：有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例： 求函数 y= 的值域32x230111202时 ，时 ， =0xyxyyxy11. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤：反解
10、 x；互换 x、y；注明定义域如 ： 求 函 数 的 反 函 数fx()102（ 答 ： ）f10()12. 反函数的性质：1.反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的 x 对应原函数中y）2.反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x）3.反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设 的 定 义 域 为 ， 值 域 为 ， ， ， 则yf(x)ACaAbf(a)=bf1()aabafbf111()，13.如何用定义证明函数的单调性
11、？（取值、作差、判正负）332(0)1132x =x(应 用 公 式 a+bc时 ， 注 意 使 者 的 乘 积 变 成 常 数 ）a判断函数单调性的方法：根据定义，设任意得 x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求 的正负号或者 与 1 的关系12()ff2(fx如 ： 求 的 单 调 区 间yxlog12（ 设 ， 由 则uux0且 ， ， 如 图 ：l1221 u O 1 2 x 当 ， 时 ， ， 又 ， xuuy(log0112当 ， 时 ， ， 又 ， )2）14.如何利用导数判断函数的单调性？在 区 间 ， 内 ， 若 总 有 则 为 增 函 数 。 （
12、 在 个 别 点 上 导 数 等 于abfxf()()0零 ， 不 影 响 函 数 的 单 调 性 ） ， 反 之 也 对 ， 若 呢 ？x0如 ： 已 知 ， 函 数 在 ， 上 是 单 调 增 函 数 ， 则 的 最 大afa a013()值是（ ）B. 1 C. 2 D. 3（ 令 fxaxa()3302则 或由 已 知 在 ， 上 为 增 函 数 ， 则 ， 即fxa()1313a 的最大值为 3。15. 复合函数奇偶性：在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。16. 若 f(x)是奇函数且定义域内有原点，则 f(x)=0。
13、如 ： 若 为 奇 函 数 ， 则 实 数fxaax()21（ 为 奇 函 数 ， ， 又 ， Rf()00即 ， ）aa211017.判断函数奇偶性的方法1、定义域法：一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法：在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 ，然后根据函数的奇偶性的)(xf定义判断其奇偶性.这 种 方 法 可 以 做 如 下 变 形f(x)+f-) =0奇 函 数偶 函 数f1 偶 函 数 (-)x奇 函 数f18. 你熟悉周期函数的定义吗？ 如 ： 若 ， 则faf
14、x()（ 答 ： 是 周 期 函 数 ， 为 的 一 个 周 期 ）fxT()2我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉 f(x)+f(x+t)=0,要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t. 推导： ，()()0()(2)2fxfxt fxfxttt同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数 f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。如：()()()22(), ,()2),()2
15、| ,fxxabfafbff xtxtaftbafbf 又 如 ： 若 图 象 有 两 条 对 称 轴 ，即 ，令 则即所 以 函 数 以 为 周 期 因 不 知 道 的 大 小 关 系为 保 守 起 见 我 加 了 一 个 绝 对 值19. 你掌握常用的图象变换了吗？联想点（x,y）,(-x,y)fxy()与 的 图 象 关 于 轴 对 称联想点（x,y）,(x,-y)fx()与 的 图 象 关 于 轴 对 称联想点（x,y）,(-x,-y)f()与 的 图 象 关 于 原 点 对 称联想点（x,y）,(y,x)xy与 的 图 象 关 于 直 线 对 称1联想点（ x,y）,(2a-x,y)
16、faxa()与 的 图 象 关 于 直 线 对 称2联想点（x,y）,(2a-x,0)fx()与 的 图 象 关 于 点 ， 对 称0将 图 象 左 移 个 单 位右 移 个 单 位yayfax )()()上 移 个 单 位下 移 个 单 位byfxab()() 0注意如下“翻折”变换：()|()|x|yfxf 把 轴 下 方 的 图 像 翻 到 上 面把 轴 右 方 的 图 像 翻 到 上 面如 ： f()log21作 出 及 的 图 象yxxlog21 y y=log2x O 1 x 20. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k0) y=b O(a,b) O x x=a (k 为斜率
17、，b 为直线与 y 轴的交点)（ ） 一 次 函 数 ：10ykxb（ ） 反 比 例 函 数 ： 推 广 为 是 中 心 ，2 0ykxaOab()的双曲线。（ ） 二 次 函 数 图 象 为 抛 物 线30242 2yaxbcabc顶 点 坐 标 为 ， ， 对 称 轴xa42开 口 方 向 ： ， 向 上 ， 函 数aycb042mina2， 向 下 ， x121212,|bxcxaaAA根 的 关 系 ： 212112()()mn,()(,)(fxbcamnfxxhxh二 次 函 数 的 几 种 表 达 形 式 ：一 般 式顶 点 式 ， （ ， ） 为 顶 点是 方 程 的 个 根
18、）函 数 经 过 点 （例 如 ： 二 次 方 程 的 两 根 都 大 于axbckbakf2002() y (a0) O k x1 x2 x 一 根 大 于 ， 一 根 小 于kkf()0y O x k 0mn22()0bmnaff在 区 间 （ ， ） 内 有 根在 区 间 （ ， ） 内 有 1根（ ） 指 数 函 数 ： ，40yax（ ） 对 数 函 数 ，5alog由图象记性质（注意底数的限定）！ y y=ax(1) (01) 1 O 1 x (0a1) （ ） “对 勾 函 数 ”6yxk利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如 ： （ ） ， 满 足 ， 证 明 为 奇 函 数 。1xRffxyfyfx()()()()（ 先 令 再 令 ， ）0（ ） ， 满 足 ， 证 明 是 偶 函 数 。2ffff()()()()
