1、 第 1 页 共 20 页推理与证明本章知识网络：一、推理1. 归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。2）归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论3）归纳推理的特点：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。2. 类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，
2、推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。2）类比推理的思维过程是：观察、比较 联想、类推 推测新的结论3. 演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。2）主要形式是三段论式推理。3）三段论式常用的格式为：MP （M 是 P） 推理与证明推理 证明合情推理 演绎推理归纳 类比 综合法 分析法 反证法直接证明 间接证明 数学归纳法第 2 页 共 20 页SM （S 是 M） SP （S 是 P） 其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出
3、的判断。二、证明1. 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。2. 间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法的一般步骤是：反设
4、推理矛盾原命题成立。 （所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾） 。常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词 反议词 原结论词 反议词至少有一个 一个也没有 对所有的 x 都成立 存在某个 x 不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立至少有 n 个 至多有 n1 个 p 或 q p 且 q至多有 n 个 至少有 n1 个 p 且 q p 或 q“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结 论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。一般地，假设原命题不成立，经过正
5、确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。第 3 页 共 20 页1、已知数列 的前 n项和 ，且 ，通过计算 猜 想（ ）A、 B、 C、 D、a1=1a2=1/3a3=1/6a4=1/10an=1/1+2+.+(n-1)+n=1/(1+n)*n/22、已知 a1=1， 然后猜想（ ）A、n B、n 2 C、n 3 D、3、设条件甲： x=0，条件乙： x yi（ x， y R）是纯虚数，则（ ）A、甲是乙的充分非必要条件 B、甲是乙的必要非充分条件C、甲是乙的充分必要条件 D、甲是乙的既不充分，又不必要条件解：根据复数的分类，x+yi 为纯虚数的充
6、要条件是 x=0，y0“若 x=0则 x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真x，yR，则“x=0”是“x+yi 为纯虚数”的必要不充分条件故选 B4、已知关于 x的方程 x2（2 i1） x3 m i0 有实根，则实数 m应取的值是（ ）A、 m B、 m C、 m= D、 m=X2-(2i-1)x+3m-i=0(x2+x+3m)-(2x+1)i=0x=-1/2代入得到 m=1/125、设 R+， ， M分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，则集合加 m2| m M是（ ）A、 R+ B、 R C、 R+ R D、 R 06、若 23 i是方程 x2+mx+n0 的一个根，则实数 m， n的值为
7、（ ）A、 m4， n=3 B、 m =4， n13第 4 页 共 20 页C、 m4， n=21 D、 m=4， n57、 下列表述正确的是（ ）. 归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理. A； B； C； D.8、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若 ,则 ”类推出“若 ,则 ”3aba0abaB.“若 ”类推出“ ”()c()cC.“若 ” 类推出“ （c0） ”D.“ ” 类推出 “ ”nab（ ） nab（ ）9、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于
8、平面内所有直线；已知直线平面 ，直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 ”的结论显babba然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误10、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（ ） 。(A)假设三内角都不大于 60 度； (B) 假设三内角都大于 60 度；(C) 假设三内角至多有一个大于 60 度； (D) 假设三内角至多有两个大于60 度。11、在十进制中 ，那么在 5 进制中数码012324012004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 200412、利用数
9、学归纳法证明“1aa 2a n1 = ， (a1，nN)”an2时，在验证 n=1 成立时，左边应该是 （ ）(A)1 (B)1a (C)1aa 2 (D)1aa 2a 3 13、某个命题与正整数 n 有关，如果当 时命题成立，那么可推得)(Nkn第 5 页 共 20 页当 时命题也成立. 现已知当 时该命题不成立，那么可推得 （ 1kn 7n）A当 n=6 时该命题不成立 B当 n=6 时该命题成立C当 n=8 时该命题不成立 D当 n=8 时该命题成立14、用数学归纳法证明“ ”（ ）)12(1)()2(1nnn N时，从 “ ”时，左边应增添的式子是 （ ）kn到A B C D12k)(
10、1k1k当 n=1 时，左边=2，右边=2，等式成立。设当 n=k，时等式成立，即(k+1)(k+2).(k+k)=2k.1.3.(2k-1)当 n=k+1 时，左边=(k+2)(k+3).(k+k)(k+K+1)(k+k+2)=2k.1.3.5.(2k-1).(2k+1)(2k+2)/(k+1)=2(k+1).1.3.(2k-1)(2k+1)右边=2(k+1).1.3.2(k+1)-1=2(k+1).1.3.(2k+1) 即左边=右边，等式成立综上：当 N 属于 N+时，等式成立。15、已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 为偶)21421(4132 nn 2(kn数）时命题为真
11、，则还需要用归纳假设再证 （ ）A 时等式成立 B 时等式成立kn kC 时等式成立 D 时等式成立2)2(n16、数列 中， a1=1， Sn表示前 n 项和，且 Sn，S n+1，2S 1成等差数列，通过n计算 S1，S 2，S 3，猜想当 n1 时，S n= （ ）第 6 页 共 20 页A B C D112n 12nn2)(12n17、 （8 分）求证： + 2 + 。67518、 （14 分）已知数列 an满足 Sn an2 n1, (1) 写出 a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论。一、1、B 2、B 3、B 4、C 5、B 6、B 6-16
12、 DCABB CABBB17、证明：要证原不等式成立，只需证（ + ） （2 + ） ，672即证 。0上式显然成立, 原不等式成立.18、解： (1) a1 , a2 , a3 , 347815猜测 an2 n(2) 由（1）已得当 n1 时，命题成立； 假设 n k 时,命题成立，即 ak2 , k1当 n k1 时, a1 a2 ak ak1 ak1 2( k1)1, 且a1 a2 ak2 k1 ak2 k1 ak2 ak1 2( k1)12 k3, 2 ak1 22 , ak1 2 , 1即当 n k1 时,命题成立. 根据得 nN + , an2 都成立 n推理与证明【最新考纲透析】
13、1合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。第 7 页 共 20 页2直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。3数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。【核心要点突破】要点考向 1：合情推理考情聚焦：1合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联
14、想的能力，在高考中越来越受到重视；2呈现方式金榜经，属中档题。考向链接：1归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。例 1：（2010福建高考文科）观察下列等式： cos2a=2 2cosa-1; cos4a=8 4- 8 2+ 1; cos6a=32 6- 48 4cs+ 18 2osa- 1; cos8a=
15、128 8oa- 256 6+ 160 4c- 32 2osa+ 1; cos10a= m 10- 1280 8+ 1120 6+ n 4c+ p 2s- 1.可以推测，m n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解【思路点拨】根据归纳推理可得 【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为 1， m2801np1，np162，又905,25，40， mnp96 【答案】962要点考向 2：演绎推理考情聚焦：1近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；2主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。第 8 页 共 20 页考向链接：演绎推理是由一般
16、到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。例 2：（2010浙江高考理科14）设 12,()(3)2nnnNx201naxax，将 ()k的最小值记为 T，则 2345350,0,3nTT其中 nT=_ .【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键【思路点拨】观察 n的奇数项与偶数项的特点【规范解答】观察 T表达式的特点可以看出 240,T， 当 n为偶数时，0nT； 3312， 55123， 当 n为奇数时，123T【答案】,nn当 为
17、偶 数 时当 为 奇 数 时要点考向 3：直接证明与间接证明考情聚焦：1直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。2以解答题的形式呈现，属中档题目。例 3：（2010北京高考文科20）已知集合 )2(,1,0,),(21 nixxXSinn 对于12(,.)Aa， BbS，定义 A 与 B 的差为12|,|,|);naA 与 B 之间的距离为 iibaAd1),(（）当 n=5 时，设 0,(,0)B，求 AB， (,)d；（）证明： ,nnCSS有 ，且 ,)dC;第 9 页 共 20 页() 证明： ,(),()nABCSdAC
18、dB三个数中至少有一个是偶数【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力” 、 “创新能力”的培养【思路点拨】 （I） （）直接按定义证明即可；() “至少”问题可采用反证法证明【规范解答】 （） (01,01)AB（1,0,1,0,1）(,)d3()设 121212,(,),(,)nnnabCcS因为 ,0,，所以 10,ai从而 12( )nnABS由题意知 ,(,iiabci当 0ic时， iiicab当 1i时， (1)ii iiiab 所以 1(,),nidAC
19、BabdAB()证明：设 21212(,),(,),(,)nnnbCcS,)dkldCh记 0(nS由（）可知,),)(0,)(,ABABkdCdlh所以 (12)iban中 1 的个数为 k, (1,2)ican中 1 的个数为 l设 t是使 iic成立的 i的个数。则 hlkt由此可知， ,klh三个数不可能都是奇数，即 ()(,)dABCd三个数中至少有一个是偶数 第 10 页 共 20 页注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综
20、合法交替使用。要点考向 4：数学归纳法考情聚焦：1新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势，望能引起足够的重视；2以解答题的形式呈现，属中档题。例 4：等比数列 na的前 n 项和为 nS， 已知对任意的 nN ，点 (,)nS，均在函数 (0xybr且 1,br均为常数)的图像上.（1）求 r 的值;（11）当 b=2 时，记 2(log)(nnaN 证明：对任意的 N ，不等式 121nbb成立【解析】因为对任意的 n,点 ()nS，均在函数 (0xyr且 1,br均为常数的图像上.所以得 Sbr,当 1时, 1ab,当 2n时,11()()nnnnaS,又因为 a为等比数列,所以r,公比为 , na（2）当 b=2 时， 1()2nb, 122(log1)(log)nnnb则 1nb,所以 1235746n . 下面用数学归纳法证明不等式 12121nbbn 成立. 当 1n时,左边= 32,右边= ,因为 3,所以不等式成立. 假设当 k时不等式成立,即 1213572146kbbk 成立.则当 1n时,左边= 112 3kk k
