1、指数函数和对数函数重点、难点：重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数在 及 两种不同情况。yaxxa， log10a1、指数函数：定义：函数 叫指数函数。yx且定义域为 R，底数是常数，指数是自变量。为什么要求函数 中的 a 必须 。x a01且因为若 时， ，当 时，函数a0y4值不存在。， ，当 ，函数值不存在。x时， 对一切 x 虽有意义，函数值恒1y为 1，但 的反函数不存在， 因为要求函数x中的 。yaxa01且1、对三个指数函数的图象的认识。yxxx2， ，图象特征与函数性质：图象特征 函数性质（1）图象
2、都位于 x 轴上方； （1） x 取任何实数值时，都有 ；ax0（2）图象都经过点（0，1）； （2）无论 a 取任何正数， 时，；y（3） 在第一象限内的纵坐yxx10，标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于1， 的图象正好相反； x2（3）当 时，xax10， 则， 则当 时，01axx， 则， 则（4） 的图象自左到右逐渐yxx10，上升， 的图象逐渐下降。2（4）当 时， 是增函数，y当 时， 是减函数。01aax对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如 和 相交于 ，yx2x10()1，当 时， 的图象在 的图象的上方，当 ，
3、刚好相反，故有xyx0yx2及 。22 与 的图象关于 y 轴对称。xx1通过 ， ， 三个函数图象，可以画出任意一个函数yxx0x12（ ）的示意图，如 的图象，一定位于 和 两个ax1且 yx3yx2x10图象的中间，且过点 ，从而 也由关于 y 轴的对称性，可得 的示()， 3意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果 ，那么数 b 就叫做以 a 为底的对数，记作aNab()01且（ a 是底数， N 是真数， 是对数式。）bloglog由于 故 中 N 必须大于 0。la当 N 为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常
4、把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：求 log.03254分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 ，log.03254x再改写为指数式就比较好办。解：设 log.03254x则即即 82514212032.log.xx评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求 中的 ， 化为对数式 即成。5xxlog35（2）对数恒等式：由 aNbNba()log()12将（2）代入（1）得 aNlog运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。计算： 312log解：原式 。2131
5、3llog（3）对数的性质：负数和零没有对数；1 的对数是零；底数的对数等于 1。（4）对数的运算法则： logllogaaaMNNMR， ， llana ogogR13、对数函数：定义：指数函数 的反函yax()01且数 叫做对数函数。yxalog(,)01、对三个对数函数 yxlogl212， ，的图象的认识。l图象特征与函数性质：图象特征 函数性质（1）图象都位于 y 轴右侧； （1）定义域： R+，值或： R；（2）图象都过点（1，0）； （2） 时， 。即 ；xy0loga10（3） ， 当 时，图xlog2lx象在 x 轴上方，当 时，图象在 x 轴0下方， 与上述情况刚好相反；y
6、12 （3）当 时，若 ，则 ，若axy，则 ；0当 时，若 ，则 ，若1时，则 ；y0（4） 从左向右图象是xlogl，上升，而 从左向右图象是下降。12（4） 时， 是增函数；axalog时， 是减函数。0对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是 与 在点（1,0）曲yxlog2yl线是交叉的，即当 时， 的图象在 的图象上方；而 时，x0yxlog201x的图象在 的图象的下方，故有： ； 。yxlog2yxlglog.l.215log.l.201（2） 的图象与 的图象关于 x 轴对称。l2xlo12（3）通过 ， ， 三
7、个函数图象，可以作出任意一个对oyl12数函数的示意图，如作 的图象，它一定位于 和 两个图象的yxlg3yxlog2yl中间，且过点（1,0）， 时，在 的上方，而位于 的下方，0l时，刚好相反，则对称性，可知 的示意图。01x yx13因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式： logll(.)banegNLN其 中 称 为 的 自 然 对 数称 为 常 数 对 数271810由换底公式可得： Nenllg.lg430由换底公式推出一些常用的结论：（1） logllolabab11或 （2） gmn（3） llaa（4） ogn5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。指数方程的题型与解法：名称 题型 解法基本型 abfx取以 a 为底的对数 fxbalog同底数型不同底数型需代换型afxx()()bFx0取以 a 为底的对数 fx取同底的对数化为 ablglg换元令 转化为 的代数方程txt对数方程的题型与解法：名称 题型 解法基本题 logafxb对数式转化为指数式 fxab同底数型 la转化为 （必须验根）fx需代换型 Fax(log)0换元令 转化为代数方程talog
