高中数学-集合知识讲解.doc

1、- 1 - 1集合一、章节结构图 12341 2nxABABn（ ） 元 素 与 集 合 的 关 系 ： 属 于 （ ） 和 不 属 于 （ ）（ ） 集 合 中 元 素 的 特 性 ： 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性集 合 与 元 素 （ ） 集 合 的 分 类 ： 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 ： 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集（ ） 集 合 的 表 示 方 法 ： 列 举 法 、 描 述 法 （ 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ） 、 图 示 法 、 区 间 法子 集 ： 若 ， 则 ， 即 是 的 子 集 。、 若 集 合

2、中 有 个 元 素 ， 则 集 合 的 子 集 有 个 ， 注关 系集 合 集 合 与 集 合 0 (2-1)23, ,.4/ nCCAABxBBAxA 真 子 集 有 个 。、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 ， 即 、 对 于 集 合 如 果 ， 且 那 么、 空 集 是 任 何 集 合 的 （ 真 ） 子 集 。真 子 集 ： 若 且 （ 即 至 少 存 在 但 ） ， 则 是 的 真 子 集 。集 合 相 等 ： 且 定 义 ： 且交 集 性 质 ： ， ， ，运 算 ,/()()()-()/ ()()UUUUUABBBCardABardCardxAACAC ，定

3、义 ： 或并 集 性 质 ： ， ， ， ， ， 定 义 ： 且补 集 性 质 ： ， ， ， ， ()()二、复习指导1新课标知识点梳理在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础集合知识点及其要求如下：1集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于 ”关系(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言( 列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含

4、义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用11 集合的概念及其运算(一)(一)复习指导本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单 的集合高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上- 2 - 21集合的基本概念(1)某些指定的对象集在一

5、起就成为一个集合集合中每个对象叫做这个集合的元素集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作 (3)集合可分为有限集与无限集(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“” ；不属于，符号记作 “ ”2集合与集合的关系对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，就说集合 B 包含集合 A，记作 AB(读作 A 包含于 B)，这时也说集合 A 是集合 B 的子集也可以记作 B A(读作 B 包含 A) 子集有传递性，若 A B，B C，则有 A C.空集 是任何集合的

6、子集，即 A真子集：若 A B，且至少有一个元素 bB，而 b A，称 A 是 B 的真子集记作 A B(或 B A)若 A B 且 B A，那么 A=B含 n(nN*)个元素的集合 A 的所有子集的个数是：2 的 n 次方个(二)解题方法指导例 1选择题：(1)不能形成集合的是( )(A)大于 2 的全体实数(B)不等式 3x56 的所有解(C)方程 y=3x+1 所对应的直线上的所有点(D)x 轴附近的所有点(2)设集合 ，则下列关系中正确的是 ( )62,|xA(A)x A (B)x A (C)xA (D)x A(3)设集合 ，则( ),214|,41| ZZkNkM(A)M=N (B)

7、M N(C)M N (D)MN=例 2已知集合 ，试求集合 A 的所有子集68xA例 3已知 A=x2x 5，B=xm+1x2m1，B ，且 B A，求 m 的取值范围例 4*已知集合 A=x1xa，B=yy =3x2，xA，C=zz=x 2，xA，若 C B，求实数 a的取值范围12 集合的概念及其运算(二)(一)复习指导(1)补集：如果 A S，那么 A 在 S 中的补集 sA=xxS，且 xA(2)交集：AB=x xA，且 x B- 3 - 3(3)并集：AB=xx A，或 xB 这里“或”包含三种情形：xA，且 xB；xA，但 x B；x B，但 x A；这三部分元素构成了 AB(4)

8、交、并、补有如下运算法则全集通常用 U 表示U(AB)=( UA)( UB)；A( BC )=(AB)( AC)U(AB)=( UA)( UB)；A (BC )=(AB)(AC)(5)集合间元素的个数：card(AB )=card(A)+card(B) card(AB)集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一(二)解题方法指导例 1(1)设全集 U=a，b，c，d，e 集合 M=a，b，c，集合 N=b，d，e ，那么( UM)( UN)是( )(A) (B)d (C

9、)a，c (D)b，e(2)全集 U=a，b，c ，d，e ，集合 M=c，d，e，N=a， b，e，则集合a，b可表示为( )(A)MN (B)( UM)N (C)M( UN) (D)( UM)( UN)例 2如图，U 是全集，M、P、S 为 U 的 3 个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )(A)(MP)S (B)(MP)S(C)(MP)( US) (D)(MP)( US)例 3(1)设 A=xx 22x 3=0，B=x ax=1，若 AB=A，则实数 a 的取值集合为_；(2)已知集合 M=xx a=0 ，N=xax1=0，若 MN=M，则实数 a 的取值集合为_例 4定义集合 A

10、B=x x A，且 x B(1)若 M=1，2 ，3，4，5，N=2，3，6则 NM 等于( )(A)M (B)N (C)1，4，5 (D)6(2)设 M、P 为两个非空集合，则 M(M P)等于( )(A)P (B)MP (C)MP (D)M例 5全集 S=1，3，x 3+3x2+2x，A=1，|2x1|.如果 sA=0，则这样的实数 x 是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由例 题 解 析11 集合的概念及其运算(1)例 1 分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的； (2)注意“”与“ ”以及 x 与 x的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换- 4

11、- 4解：(1)选 D “附近” 不具有确定性(2) 选 D(3)选 B方法一： 故排除(A)、(C)，又 ，故排除(D)NM21, N43,M方法二：集合 M 的元素 集合 N 的元素.)12(4Zkkx 214kx而 2k1 为奇数，k2 为全体整数，因此 M NZk),2(41小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化例 2 分析：本题是用xxP形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素 xN解：由题意可知(6x)是 8 的正约数，所以 (6x)可以是 1，2，4，8；可以的 x 为 2，4，5，即 A=2，4，5A 的所有子集为 ，

12、2，4，5，2，4 ，2，5，4，5，2 ，4，5小结：一方面，用xxP形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质P；另一方面，含 n(nN*) 个元素的集合 A 的所有子集的个数是： 个210nnCn2例 3 分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题解：由题设知 ，512m解之得，2m3小结：(1)要善于利用数轴解集合问题(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错(3)若去掉条件“B ”，则不要漏掉 A 的情况例 4*分析：要首先明确集合 B、C 的意义，并将其化简，再利用 C B 建立关于 a 的

13、不等式解：A 1 ，a ，B=yy=3x2，xA，B=5，3a2 1,00,.,|222azC(1)当1a0 时，由 C B，得 a213a2 无解；(2)当 0a1 时，13a2，得 a=1；(3)当 a1 时，a 23a2 得 1a2综上所述，实数 a 的取值范围是1，2 小结：准确理解集合 B 和 C 的含义(分别表示函数 y=3x2，y=x 2 的值域，其中定义域为 A)是解本题的关键分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点若结合图象分析，结果更易直观理解12 集合的概念及其运算(2)例 1 分析：注意本题含有求补、求交两种运算求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律解：(1)方法一

14、： UM=b，c， UN=a，c( UM)( UN)= ，答案选 A方法二：( UM)( UN)= U(MN)=答案选 A方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化答案选 A(2)同理可得答案选 B小结：交、并、补有如下运算法则U(AB)=( UA)( UB)；A( BC )=(AB)( AC)- 5 - 5U(AB)=( UA)( UB)；A (BC )=(AB)(AC)例 2 分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断解：阴影中任一元素 x 有 xM，且 xP，但 x S，x US由交集、并集、补集的意义x(MP)( US)答案选 D小结：灵活进行图形语言、文字语

15、言、符号语言的转化是学好数学的重要能力例 3 解：(1)由已知，集合 A=1，3 ，01aBAB=A 得 B A分 B= 和 两种情况1a当 B 时，解得 a=0；当 时，解得 a 的取值 31,综上可知 a 的取值集合为 0(2)由已知， 1,aNMMN=M M N当 N= 时，解得 a=0；M=0 即 MNM a=0 舍去当 时，解得11综上可知 a 的取值集合为1， 1小结：() 要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(AB) A，(AB) B；(AB)A，(A B ) B；A U A= ，A UA=U；A B=A A B，AB=B A B 等()要注意 是任何集合的子集但使用

16、时也要看清题目条件，不要盲目套用例 4 解：(1)方法一：由已知，得 NM=xxN ，且 x M=6，选 D方法二：依已知画出图示选 D(2)方法一：M P 即为 M 中除去 MP 的元素组成的集合，故 M(M P)则为 M 中除去不为 MP 的元素的集合，所以选 B方法二：由图示可知 M=(MP)(MP)选 B方法三：计算(1)中 N( NM)=2 ，3，比较选项知选 B小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能- 6 - 6力事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题例 5*解：假设这样的 x 存在， SA=0，0S，且2x1S易知 x33x 22x 0，且2 x1=3，解之得，x=1当 x=1 时，S=1，3，0， A=1，3 ，符合题设条件存在实数 x=1 满足 S A=0