1、高中数学典型例题分析第十章 导数及其应用10.1 导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数 )(xfy在 0附近有定义，当自变量在 0x附近改变量为x时，函数值相应地改变 )(xf，如果当 趋近于 0 时，平均变化率xffy)(00趋近于一个常数 c（也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数） ，那么常数 c 称为函数 )(xf在点 0的瞬时变化率。2.导数：当 x趋近于零时， xff)(00趋近于常数 c。可用符号“ ”记作：当 0时， xff)(00c或记作 cxffx )(lim00，符号“ ”读作“ 趋近于” 。函数在 0的瞬时变化率，通常称作
2、 )(f在 0处的导数，并记作 )(0xf。3.导函数：如果 )(xf在开区间 ),(ba内每一点 x都是可导的，则称 )(xf在区间),(ba可导。这样，对开区间 内每个值 ，都对应一个确定的导数 。于是，在区间 内， )(xf构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 )(xfy的导函数。记为 )(f或 y（或 x） 。4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设 )(xf， g是可导的，则 )()( xgfxgf 即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差） 。2）函数积的求导法则：设 )(f， 是可导的，则)()( xgxfxgf 即，两个函数的积的导数，
3、等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。3）函数的商的求导法则：设 )(xf， g是可导的， 0)(xg，则)()()(2gfxgf 5.复合函数的导数:设函数 xu在点 处有导数 )(xux,函数 )(ufy在点x的对应点 u处有导数 )(fy,则复合函数 fy在点 处有导数,且xxy.6.几种常见函数的导数：(1) )(0为 常 数C (2) )(1Qnxn）（(3) xcos)sin (4) si)(co (5) 1(l (6) exaalgl (7) xe (8) xn)( 二、疑难知识导析 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导
4、法则 xuxy,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如 x2sin)(co实际上应是 x2sin。(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如 4)31(xy选成 uy1， xwv3,1,4计算起来就复杂了。3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。4. 的 关 系与 )(0
5、xff)(0xf表示 0)(xf在 处的导数，即 )(0xf是函数在某一点的导数； )(xf表示函数 在某给定区间 ,ba内的导函数，此时 是在 ),(ba上 x的函数，即)(xf是在 ),内任一点的导数。5.导数与连续的关系若函数 )(xfy在 0处可导，则此函数在点 0x处连续，但逆命题不成立，即函数 )(f在点 0处连续，未必在 0x点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数 )(xfy在 0处的导数，表示曲线在点 )(,0xfP处切线的斜率，因此，曲线 )(f在点 )(,0fP处的切线方程可如下求得：（1）求出函数 xy
6、在点 处的导数，即曲线 )(xfy在点 )(,0xfP处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： )(00xfy，如果曲线 )(xfy在点 )(,0xfP的切线平行于 y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 .三、经典例题导讲例 1已知 2)cos1(xy,则 y .例 2已知函数 )1(2)(2xf判断 f(x)在 x=1 处是否可导？分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 左右极限是否存在且相等。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 xffx)(lim00，x0，包括x0 ，与x0 ，因此，在判定分段函数在“分界点
7、”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.例 3求 32xy在点 )5,1(P和 )9,2(Q处的切线方程。分析：点 在函数的曲线上，因此过点 的切线的斜率就是 y在 1x处的函数值；点 Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线点评： 要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标例 4求证：函数 xy1图象上的各点处切线的斜率小于 1，并求出其斜率为 0 的切线方程.分析： 由导数的几何意义知，要证函数 xy的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数
8、值都小于 1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 例 5（02 年高考试题）已知 0a，函数 axf3)(， ,0，设 01x，记曲线 )(xfy在点 )(,1xfM处的切线为 l . （1）求 l 的方程； （2）设 与 轴交点为 )0,(2，求证： 31ax； 若 31ax，则 12x分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 例 6求抛物线 2y上的点到直线 0y的最短距离. 分析：可设 ),(xP为抛物线上任意一点，则可把点 P到直线的距离表示为自变量x的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线
9、02y的距离即为本题所求. 四、典型习题导练1.函数 )(xfy在 0处不可导，则过点 )(,0xfP处，曲线)(xfy的切线 （ D ） A必不存在 B必定存在 C必与 x 轴垂直 D不同于上面结论2. 32xy在点 x=3 处的导数是_-1/6_.3.已知 2)(xaf，若 4)1(f，则 a的值为_.4.已知 P（1，1），Q（2，4）是曲线 2xy上的两点，则与直线平行的曲线 xy的切线方程是 _. 5.如果曲线 103的某一切线与直线 34xy平行，求切点坐标与切线方程.6若过两抛物线 22xy和 ba2的一个交点为 P的两条切线互相垂直.求证：抛物线 xy过定点 Q，并求出定点 Q
10、的坐标.10.2 导数的应用一、 知识导学1.可导函数的极值（1）极值的概念设函数 )(xf在点 0附近有定义，且若对 0x附近的所有的点都有 )(0xff（或)(0f） ，则称 )(f为函数的一个极大（小）值，称 0x为极大（小）值点.（2）求可导函数 x极值的步骤 :求导数 )(f。求方程 0)(f的根. 求方程 )(/xf的根.检验 x在方程 x的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 )(fy在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数 x在这个根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值（1）设 )(xfy是定义在区间 ba,上的函数， )
11、(xfy在 ,ba内有导数，求函数)(xfy在 ba,上的最大值与最小值，可分两步进行.求 f在 ),(内的极值.将 xy在各极值点的极值与 )(af、 bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数 )(f在 ba,上单调增加，则 )(f为函数的最小值， )(bf为函数的最大值；若函数 x在 上单调递减，则 a为函数的最大值， 为函数的最小值.二、疑难知识导析1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数 )(xf取值为 0 的点称为函数)(xf的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数 |y在点 0处有极小值 )0(f=0，可是这里的 0f根
12、本不存在，所以点 x不是f的驻点 .(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数 3)(f的导数 23)(xf，在点 处有 )(f，即点 x是 3)(f的驻点，但从在 ,上为增函数可知，点 0x不是 )(f的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导） ，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大
13、（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处） ，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。三、经典例题导讲例 1已知曲线 xyS432:2及点 )0,(P，求过点 的曲线 S的切线方程.例 2已知函数 1)(axf 在 R上是减函数，求 a的取值范围.例 3当 0x，证明不等式 x)ln(.点评：由题意构造出两个函数 xf1)， xg)1ln().利用导数求函数的单调区间，从而导出 0(及 0()x是解决本题的关键.例 4设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线
14、上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省?例 5（2006 年四川）函数 5)(,13)( axfxgaxf ，其中 )(xf是)(xf的导函数.（1）对满足 1 1 的一切 的值，都有 0，求实数 的取值范围；（2）设 a 2m，当实数 在什么范围内变化时，函数 y )(xf的图象与直线y 3 只有一个公共点.例 6若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动，桌面上有与点 O
15、 距离为 a的另一点A，问电灯与点 0 的距离怎样，可使点 A 处有最大的照度？（ ,rBAO照度与sin成正比，与 2r成反比）分析：如图，由光学知识，照度 y与 sin成正比，与 2r成反比，即 2sirCy（ 是与灯光强度有关的常数）要想点 A处有最大的照度，只需求 y的极值就可以了.四、典型习题导练1已知函数 2)1()(3xaxf ，若 1是 )(xfy的一个极值点，则 a值为 （ ）A2 B.-2 C. 7 D.42.已知函数 223)(abxxf在 1处有极值为 10，则 )2(f= .3给出下列三对函数： )(,)(xgf 0)(axf，axg)( xf)31(， )log()
16、(x；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数” ，则这样的两个函数的导函数分别是 )(xf ， )(xg .4已知函数 1)2(3)(23xaxxf 有极大值和极小值，求 a的取值范围.5已知抛物线 2y，过其上一点 P引抛物线的切线 l，使 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求 l的方程.6设 4321)(yxg在 0,1上的最大值为 )(xf， R，（1）求 f的表达式；（ 2）求 )(xf的最大值.10.3 定积分与微积分基本定理一、知识导学1可微：若函数 )(xfy在 0的增量 x可以表示为 x的线性函数 xA（ 是常数）与较 x高阶的无穷小量之和:
17、 )(oAy（1）,则称函数 f在点 0可微，（1）中的 A称为函数 f在点 0x的微分，记作 xdyx0或 xdx0)(.函数)(xf在点 0可微的充要条件是函数 )(f在 0可导，这时（1）式中的 A等于 )(0f.若函数 fy在区间 I上每点都可微，则称 xf为 I上的可微函数 .函数 xy在I上的微分记作 xfdy)(.2微积分基本定理：如果 )(xfF，且 )(f在 ,ba上可积.则baabxf)()(.其中 叫做 的一个原函数 .由于 xfc， c也是 )(xf的原函数，其中 c为常数.二、疑难知识导析1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要
18、的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者 趋近于 0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于 0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成 n份，这样只要 2 其中的使 1n就可以了.2）对每个小区间内 i的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.3）求极限的时候，不是 n，而是 0.2在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为 )()()()( aFbxcxFdf ababa .3利用定积分来求面积时，特别是位于
19、轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.三 、经典例题导讲例 1求曲线 xysin与 轴在区间 2,0上所围成阴影部分的面积 S.分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。例 2用微积分基本定理证明babccadxfxfdxf )()()(（ bca）分析：即寻找 的原函数代入进行运算。例 3根据等式求常数 的值。1） adx)0(182 2） aexd3分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入 求解例 4某产品生产 x 个单位时的边际收入 )0(10)(R （） 求生产了 50 个单位时的总收入。（） 如果已生产了 100 个单位时，求再生产 100 个单位时的总收入。例 5一个带电量为 Q的电荷放在 x轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作用下沿 x轴方向从 a处移动到 b处时电场力对它所作的功。分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。例 6一质点以速度 )/(6)(2smttV沿直线运动。求在时间间隔 )4,1(上的位移。分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。
