1、1高中数学基础知识归类一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如： |lgxy函数的定义域； |lgyx函数的值域；(,)|lgxy函数图象上的点集.2.集合的性质： 任何一个集合 A是它本身的子集,记为 A. 空集是任何集合的子集,记为 A.空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为 B,在讨论的时候不要遗忘了 A的情况如： 012|xaA,如果 R,求 a的取值.(答： 0a) ()UUCBC, ()UUAC； ACB（ ） （ ） ； CAB（ ） （ ） . BUUAR. A元素的个数： ()()cardcardBcard.含 n个元素的集合的子集个数为 2n；真子集(非空子集)
2、个数为 21n；非空真子集个数为 2n.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数 14)(22pxpxf 在区间 ,上至少存在一个实数 c,使 0c,求实数 的取值范围.(答： 3(,)4.原命题: pq；逆命题: ；否命题: q；逆否命题: qp；互为逆否的两个命题是等价的.如：“ sini”是“ ”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若 且 ,则 p是 的充分非必要条件(或 是 p的必要非充分条件).6.注意命题 的否定与它的否命题的区别: 命题 的否定是 ；否命题是 q.命题“ p或 q”的否定是“ 且 q”；“ 且 ”的否定是“ 或 q”.如：“若 a和 b都
3、是偶数，则 ba是偶数”的否命题是“若 a和 b不都是偶数,则 ba是奇数”否定是“若 和 都是偶数,则 是奇数”.7.常见结论的否定形式二.函数1.映射 f: AB是： “一对一或多对一”的对应；集合 A中的元素必有象且 A中不原结论 否定 原结论 否定是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有两个大于 不大于 至少有 n个 至多有 1n个小于 不小于 至多有 个 至少有 个对所有 x,成立 存在某 x,不成立 p或 qp且 q对任何 ,不成立 存在某 ,成立 且 或2同元素在 B中可以有相同的象；集合 B中的元素不一定有原象(即象集 B). 一一映射 f: A： “一
4、对一”的对应； A中不同元素的象必不同, 中元素都有原象.2.函数 : 是特殊的映射.特殊在定义域 和值域 B都是非空数集！据此可知函数图像与 x轴的垂线至多有一个公共点,但与 y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 0;偶次根式被开方数非负;对数真数 0,底数且 1；零指数幂的底数 0)；实际问题有意义；若 ()fx定义域为 ,ab,复合函数 ()fgx定义域由 ()agxb解出；若 (fgx定义域为 ,ab,则 定义域相当于 ,x时 的值域.5.求值域常用方法:
5、 配方法(二次函数类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法；方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于 ()fx及另外一个函数的方程组。7.函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；若 ()fx是偶函数,那么 ()(|)fxfx；定义域含零的奇
6、函数必过原点( (0)f)；判断函数奇偶性可用定义的等价形式： 0f或 ()1()fxf；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如 )0fx定义域关于原点对称即可).奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数 12log()yx的单调递增区间是 _.(答： (1,2)8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”
7、（注意是针对 x而言） ；上下平移-“上加下减”(注意是针对 ()fx而言).翻折变换： ()|fxf； ()|)ff.对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.证明图像 1C与 2的对称性,即证 1C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在 2C上,反之亦然.函数 ()yfx与 ()yfx的图像关于直线 0x( y轴)对称；函数 ()yfx与函数的图像关于直线 0( 轴)对称；若函数 ()yfx对 R时， ()()faxf或 (2)fxax恒成立,则3()yfx图像关于直线 a对称；若 f对 xR时, ()()faxfb恒成立,则 ()yfx图像关于
8、直线 2abx对称；函数 ()y, y的图像关于直线 2bax对称(由 b确定)；函数 fx与 ()fx的图像关于直线 对称；函数 ()y, A的图像关于直线 2Ay对称(由 ()()2fxAfy确定)；函数 fx与 ()fx的图像关于原点成中心对称；函数 f, ()ynfmx的图像关于点 2(,)mn对称；函数 yfx与函数 1()yfx的图像关于直线 yx对称；曲线 1C： (,)0fxy,关于a, 的对称曲线 2C的方程为 (,)0fa(或 ,a；曲线 1C： (,)0fxy关于点 (,)ab的对称曲线 2方程为： 2,)0fxby.9.函数的周期性：若 f对 xR时 ()()ffxa恒
9、成立,则 (f的 周 期 为 2|a；若 ()yfx是偶函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 |；若 奇函数,其图像又关于直线 x对称,则 ()fx的周期为 4|a；若 ()yfx关于点 (,0)a, b对称,则 ()f的周期为 2|ab； 的图象关于直线 x, ab对称,则函数 ()yfx的周期为 2|ab； ()yfx对 R时, ()(ff或 1()ffx,则 的周期为 |；10.对数： loglnaab0,1,)bnR；对 数 恒 等 式 log(0,1)aNaN； ()log;llogl;llnaaaaMNMNM；1loglnaa；对数换底公式 llba(0,1,)b； 推论：
10、12113llogllogllognabcaaaan .(以上 20,0,0MNbc 且 2, 均不等于 1)11.方程 ()kfx有解 kD( 为 )fx的值域)； ()afx恒成立 ()afx最 大 值 ,a恒成立 )af最 小 值 .412.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： 一般式： 2()(0)fxabc；顶点式：2()(0)fxahka； 零点式： 12)xa.15.
11、一元二次方程实根分布:先画图再研究 0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：复合函数定义域求法：若 ()fx的定义域为 ,b,其复合函数 ()fgx的定义域可由不等式 ()agxb解出；若 ()fg的定义域为 ,a,求 ()fx的定义域，相当于 ,ab时,求()的值域；复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.对于反函数,应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性； ()yfx与 1()yfx互为反函数,设 ()fx的定义域为 A,值域
12、为 B,则有 1()fxB, 1A.18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：()()0fugxh(或 )()aub()0fa(或 )0fab)；19.函数 ,abcxdybc的图像是双曲线：两渐近线分别直线 dcx(由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 x的系数确定)；对称中心是点 (,)dac；反函数为 bdxcay；20.函数 (0,)bxya：增区间为 (,)ba,减区间为 ,0)(ba.如：已知函数 12)af在区间 ,)上为增函数,则实数 的取值范围是 _(答： 12,).三.数列1.由 nS求 a, 1*(),)nnSN 注意验证 1a是否包含
13、在后面 na的公式中,若不符合要单独列出.如：数列 a满足 111534,nnS，求 n(答： 14()32nn).2.等差数列 nnd( 为常数) 122,*aN1(, (,)nddabaSABa ；3.等差数列的性质： ()nmd, mna； lkmnlkaa(反之不一定成立)； 特 别 地 ,当 2mnp时 ,有 2mnpa；5若 na、 b是等差数列,则 nkatb( 、 t是非零常数)是等差数列；等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,mmSS 仍是等差数列；等差数列 n,当项数为 2时, Sd偶 奇 , 1na奇偶 ；项数为 1时,(*)SaN偶 中 奇 , 1()n
14、n,且 S奇偶 ； ()(1)nnAaBbff.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式10na(或 10n).也可用 2nSAB的二次函数关系来分析.若 ,()nm,则 0mna； 若 ,()nmSn,则 ()mnS；若 S,则 Sm+n=0； S3m=3(S2m Sm)； nnd.4.等比数列 1 11(),*)nnnnaqaNaq .5.等比数列的性质 nma, n；若 n、 b是等比数列，则 nk、 nb等也是等比数列； 1111()()()()nnn nqqaaqS； mnlkla(反之不一定成立)； mnmnnmS. 等比数列中
15、232,mSS (注：各项均不为 0)仍是等比数列. 等比数列 na当项数为 2时, q偶奇 ；项数为 1n时, 1aq奇 偶 .6.如果数列 na是等差数列,则数列 naA( n总有意义)是等比数列；如果数列 n是等比数列,则数列 log|(0,1)a是等差数列；若 n既是等差数列又是等比数列,则 na是非零常数数列；如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的设法： ,ad；四个数成等差的
16、设法： 3,3adad；三个数成等比的设法： ,q；四个数成等比的错误设法： ,q(为什么？)7.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式.已知 nS(即 12()naaf )求 na用作差法： 1,()2nnSa.6已知 12()naf 求 na用作商法： ()1,2)nfan.若 1()nf求 n用迭加法. 已知 1()naf,求 na用迭乘法.已知数列递推式求 na,用构造法(构造等差、等比数列)：形如 1nkb, 1nnakb,1nakb(k为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后,再求 n.形如 1nak的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项
17、.8.数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法.公式： 12123()n ； 222163()21nn ；333()12n ； 5 ；常见裂项公式 ()；1()(nkk； 11()2()()2nn； 1()!nn常见放缩公式： 12n .9 “分期付款” 、 “森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指” ，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金 p元,每期利率为
18、r,则 n期后本利和为： (1)2(1)(2)(1)n nSprrprr (等差数列问题） ；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款) 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 期还清.如果每期利率为 r（按复利） ，那么每期等额还款 x元应满足：121()()(1)nnnpxrxrr (等比数列问题).四.三角函数1.终边与 终边相同 ()kZ； 终边与 终边共线 ()kZ； 终边与 终边关于 x轴对称 ； 终边与 终边关于 y轴对称2()kZ； 终边与 终边关于原点对称 2()k；终边与 终边关于角 终边对称 2()kZ
19、.2.弧长公式： |lr；扇形面积公式： 21|Slr扇 形 ； 1弧度( rad) 57.3.3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.注意： 3tan15cot7； 3tan75cot2；71220011sincos1201sincos4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 sincox、 sincox”的关系. 如 2)1isx等.5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视 为锐角)6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如： ()； 2()()； 2()()；
20、 2；2等；“ 1”的变换： 21sincotancotsin30ta45xx；7.重要结论： 2sincosi()abaxb其中 tb） ；重要公式 2co1i2； 2s1cos2； 1sin1cosccit； 1sin2(cosin)|in|.万能公式： 2ta1nsi；2ta1ns； 2tat.8.正弦型曲线 i()yAx的对称轴 2()kxZ；对称中心 (,0)(kZ；余弦型曲线 cos()的对称轴 ()k；对称中心 2(,)(k；9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 180,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理： si
21、nisin2abcABCR；余弦定理：22222 ()cos, 1bcabcabA；正弦平方差公式： 2siniin()siBAB；三角形的内切圆半径 2ABCSabcr；面积公式： 124abcRSC；射影定理： cosabC.10. ABC中,易得： A, sin(), co()B,tant(). 2sinco, 2siB, 2tacotAB. siabAB锐角 中, , ns,s, 22c,类比得钝角 C结论. tattatatABCC.11.角的范围：异面直线所成角 2(0,；直线与平面所成角 20,；二面角和两向量的夹角 0,；直线的倾斜角 0,)； 1l到 2的角 ,)； 1l与
22、2的夹角 (,.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.五.平面向量81.设 1(,)axy, 2(,)bxy. (1) 121/0abxy；(2) 1200abxy.2.平面向量基本定理：如果 1e和 2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数 、 ,使 12e.3.设 1(,)axy, 2(,)bxy,则 12|cosabxy；其几何意义是 ab等于 的长度与在 的方向上的投影的乘积；在 的方向上的投影 12|cos|xya.4.三点 A、 B、 C共线 AB与 C共线；与 AB共线的单位向量 |AB.5.平面向量数量积性质：设 1(,)axy, 2(,)b
23、xy,则 122cos|xyab；注意: ,ab为锐角 0b,不同向； ,a为直角 0； ,为钝角 0ab,不反向.6. 同向或有 |abb； a反向或有|ab； a不共线 |ba.7.平面向量数量积的坐标表示：若 1(,)xy, 2(,)bxy,则 12xy；2211|()()ABxy； 若 ,a,则 a.8.熟记平移公式和定比分点公式. 当点 P在线段 21上时, 0；当点 P在线段 21(或 1P)延长线上时, 1或 0.分点坐标公式：若 2P；且 1(,)xy, )2,xy；则1212()xy, 中点坐标公式：112()xy. 1P, , 2三点共线 存在实数 、 使得 12OP且 1
24、.9.三角形中向量性质： ABC过 边的中点： |()()ABCABC； 13()0GPGG为 的重心； PAB为 的垂心； |0PP为C的内心； |()(0ABC所在直线过 ABC内心. 设 12(,)(,)AxyB,9 Ok12AOBBASxy. 2211|sin|()2BCSABAC. 为 C内一点,则 0OOS.10. (,)(,)(,)ahkPxyPxy 按 平 移 ,有 xhyk(Pa)； (,)()()ahkyfxyfxh 按 平 移 .六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：若 0ab, ,则 1ab.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等
25、号方向要改变.如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若 0,ba,则 2 21abab(当且仅当 ba时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2) ,cR，22abcabc(当且仅当 abc时,取等号)；(3)公式注意变形如：22()ab,()；(4)若 0,m,则 m(真分数的性质)；4.含绝对值不等式： ,同号或有 |a
26、bab； ,ab异号或有 0|abab.5.证明不等式常用方法：比较法：作差比较： 0AB.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证需证,只需证； 反证法：正难则反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如： 21|a； (1)n.将分子或分母放大(或缩小)利用基本不等式,如： ()(1)n.利用常用结论： 0 12kkk；02 2111()()kkkk(程度大)； 3 2112()(程度小)；换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三
27、角换元代数换元.如：知 22xya,可设 cos,inxya；知 2xy,可设 cosxr, inyr(01r)；知 21ab,可设 ,b；已知 21ab,可设 e,taab.最值法,如： ()fx最 大 值 ,则 ()afx恒成立. ()fx最 小 值 ,则 ()fx恒成立.七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角 的范围是 0,） ；102.直线的倾斜角与斜率的变化关系 2tan()k(如右图)：3.直线方程五种形式：点斜式：已知直线过点 0,xy斜率为 k，则直线方程为 00()ykx,它不包括垂直于 轴的直线.斜截式：已知直线在 y轴上的截距为 b和斜率 ，则直线方程为 ykb,它不包括垂直
28、于 轴的直线. 两点式：已知直线经过1(,)Px、 2,两点,则直线方程为 1122yx,它不包括垂直于坐标轴的直线.截距式：已知直线在 x轴和 轴上的截距为 ,ab,则直线方程为 1xyab,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式：任何直线均可写成 0ABC( A不同时为 0)的形式.提醒：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 直线的斜率为 1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 1或直线过原点.截距不是距离,截距相等
29、时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线 1:0lAxByC与直线 22:lAxByC的位置关系：平行 121(斜率)且 110(在 y轴上截距)；相交 ；(3)重合 2且 1210BC.5.直线系方程：过两直线 1l： 1xy,l： 2Ax.交点的直线系方程可设为 1122()0AxByCABC；与直线 :y平行的直线系方程可设为0)mc；与直线 :lAxy垂直的直线系方程可设为 0BxAyn.6.到角和夹角公式： 1l到 2的角是指直线 1绕着交点按逆时针方向转到和直线 2l重合所转的角 ,(0,)且 12tan()k； 1l与 2的夹角是指不大于直角的角 2,(0,且 212tan|()k.7.点 0(,)Pxy到直线 AxByC的距离公式 02AxByCd；两条平行线 10与 2x的距离是 12.8.设三角形 ABC三顶点 1(,)y, 2()B, 3()Cxy,则重心 123123(,)xyG；9.有关对称的一些结论点 (,)ab关于 x轴、 轴、原点、直线 的对称点分别是 (,)ab, ,()ab,(.曲线 ,0fy关于下列点和直线对称的曲线方程为：点 ,： 2,0fxy；
