1、1高中数学常用逻辑用语 目标认知考试大纲要求：1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 了解命题“若 p,则 q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点： 充分条件与必要条件的判定难点： 根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如 p,q,r,m,n
2、 等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“ ”的真假判定方式： 若要判断命题“ ”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如： 一定推出 . 若要判断命题“ ”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“ 不一定等于 3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：p 或 q；p 且 q；非 p（即命题 p 的否定）.2（3）复
3、合命题的真假判断（利用真值表）：非真 真 假 真 真真 假 假 真 假假 真 真 真 假假 假 真 假 假当 p、q 同时为假时，“p 或 q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；当 p、q 同时为真时，“p 且 q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。“非 p”与 p 的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p 或 q”为例：一是 p 成立且 q 不成立，二是 p 不成立但 q 成立，三是 p 成立且 q 也成立。可以类比于集合中“ 或 ”.（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p 或 q”的否定是“ p 且 q”； “p 且 q”
4、的否定是“ p 或 q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用 p 和 q 分别表示 p 和 q 的否定，则四种命题的形式为：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q； 逆否命题：若 q 则 p.2. 四种命题的关系原命题 逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.逆命题 否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系
5、，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且” 、 “或” 、 “非”恰好分别对应集合的“交” 、 “并” 、 “补” ，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。3知识点三：充分条件与必要条件1. 定义：对于“若 p 则 q”形式的命题：从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件 与结论 q之间的关系 若 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 p q，但 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件；若 且 ，则 是 成立的必要不充分条
6、件；若既有 p q，又有 q p，记作 p q，则 p 是 q 的充分必要条件（充要条件）.若 且 ，则 是 成立的既不充分也不必要条件从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断 、 相应的集合关系建立与 p、 q相应的集合，即 :pAx成立 ， :qBx成立 若 AB，则 是 的充分条件，若 B，则 p是 成立的充分不必要条件；若 ，则 是 的必要条件，若 ，则 是 成立的必要不充分条件；若 ，则 p是 q成立的充要条件；若 A B 且 BA，则 是 成立的既不充分也不必要条件2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分
7、清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与 ； 与 ； 与 的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断，比如 A B 可判断为 A B；A=B 可判断为 A B，且B
8、 A，即 A B.如图：“ ” “ ，且 ” 是 的充分不必要条件.4“ ” “ ” 是 的充分必要条件.知识点四：全称量词与存在量词1. 全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对 M 中任意一个 x，有p(x)成立”可表示为“ ”，其中 M 为给定的集合，p(x)是关于 x 的命题.（II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“ ”表示，读作“存在”。含有
9、存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立”可表示为“ ”，其中 M 为给定的集合，p(x)是关于 x 的命题.2. 对含有一个量词的命题进行否定（I）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题 p： ，他的否定 ： 全称命题的否定是特称命题。（II）对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题 p： ，他的否定 ： 特称命题的否定是全称命题。注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）一些常见的词的否定：正面词 等于 大于 小于 是 都是 一定是
10、 至少一个 至多一个否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 一定不是 一个也没有 至少两个规律方法指导1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真 假性一致.2. 要注意区分命题的否定与否命题.3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二5者相互对照可加深认识和理解.4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.5. 特别重视数
11、形结合思想与分类讨论思想的运用。总结升华：1. 判断复合命题的真假的步骤：确定复合命题的构成形式；判断其中简单命题 p 和 q 的真假；根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.2. 条件“ 或 ”是“或”的关系，否定时要注意.类型二：四种命题及其关系2. 写出命题“已知 是实数，若 ab=0，则 a=0 或 b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。解析：逆命题：已知 是实数，若 a=0 或 b=0, 则 ab=0, 真命题；否命题：已知 是实数，若 ab0，则 a0 且 b0，真命题；逆否命题：已知 是实数，若 a0 且 b0，则 ab0，真命题。总结升华：1.“已知 是实数”为命题
12、的大前提，写命题时不应该忽略；2. 互为逆否命题的两个命题同真假；3. 注意区分命题的否定和否命题. 类型三：全称命题与特称命题真假的判断总结升华：1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M 中每一个元素 ，验证 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一个 ，使 不成立可；2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合 M 中，至少能找到一个 ，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.类型四：充要条件的判断总结升华：61. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是 与 关系.类型
13、五：求参数的取值范围总结升华：由 p 或 q 为真，知 p、q 必有其一为真，由 p 且 q 为假，知 p、q 必有一个为假，所以， “p 假且q 真”或“p 真且 q 假”.可先求出命题 p 及命题 q 为真的条件，再分类讨论总结升华：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。类型六：证明总结升华： 1. 利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多” 、 “至少”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具
14、体更容易研究的命题.2. 反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题总结升华：1. 对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须分清条件是什么，结论是什么。2. 充分性：由条件 结论 ；必要性：由结论 条件 .3.叙述方式的变化（比如 是 的充分不必要条件”等价于“ 的充分不必要要条件是 ”）.三、典型例题选讲例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假（1）已知 a， b， c为实数，若 0ac，则 20xbc有两个不相等的实数根；（2）两条平行线不相交；（3）若 20xy，则 x， y全为零分析：写出一个命题的四种命题形式，关键是分清命题
15、的条件与结论，把命题写成“如果那么”的形式，再根据四种命题的定义写出其他三种命题即可解：（1）原命题是真命题；逆命题：若 20axbc有两个不相等的实数根，则 0ac， （假） ；否命题：若 ，则 2x没有两个不相等的实数根， （假） ；逆否命题：若 2xc没有两个不相等的实数根，则 c， （真） （2）原命题形式可写成：若两条直线平行，则它们不相交， （真） ；逆命题：若两条直线不相交，则它们平行， （假） ；否命题：若两条直线不平行，则它们相交， （假） ；逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行， （真） （3）原命题是真命题；逆命题：若 x， y全为零，则 20xy， （真） ；7否命题
16、：若 20xy，则 x， y不全为零， （真） ；逆否命题：若 ， 不全为零，则 20， （真） 归纳小结：(1)本题考查了命题的四种形式，并能进行真假判断，强化对知识运用的灵活性(2)要注意四种命题之间的等价关系，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价在判断一个命题是真命题时，要严格按照数学逻辑进行推理证明，而要说明它是假命题时，只需要举出一个反例即可(3)在否定条件或结论时，要注意否定词语的使用常见否定词语有：正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少有两个例 2 说明下列命题形式，指出构成它们的简单命题：矩形的对角线垂直平分；
17、不等式 20x的解集是 2x或 1； 43；方程 没有实数根分析：根据命题中出现的逻辑联结词或隐含的逻辑联结词，进行命题结构的判断，其中解题的关键是正确理解逻辑联结词“且” 、 “或” 、 “非”的含义解：这个命题是“ pq”的形式，其中 p：矩形的对角线互相垂直， q：矩形的对角线互相平分这个命题是“ ”的形式，其中 ：不等式 20x的解集是 2x， ：不等式20x的解集是或 1x这个命题是“ pq”的形式，其中 p： 43， q： 这个命题是“ ”的形式，其中 ：方程 有实数根归纳小结：本题考查了含有逻辑联结词的命题结构，要求能正确理解逻辑联结词，并找出隐含的逻辑联结词，能根据命题形式分析
18、问题、解决问题把简单命题合成为复合命题或把复合命题分解为两个简单命题并判断其真假是本节的重点之一，关键在于理解逻辑联结词的含义熟悉真值表可以加快对含有逻辑联结词的命题的真假判断逻辑联结词中的“或” 、 “且” 、 “非”与日常用语中的“或” 、 “且” 、 “非”的意义是不完全相同的如逻辑词中的“或”含有可以兼有之意，而生活中的“或”一般不可兼有的意思例 3（2008 广东）已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ()pq B q C ()p D ()p分析：本题只需要判断出命题 和命题 的真假，根据真值表进行判断即可解：由题意可以判断
19、命题 p是真命题，命题 q是假命题，所以命题 是假命题，命题 q是真命题只有 ()是真命题，故选 D归纳小结：（1）本题考查了命题的真假判断和真值表的使用，考查了逻辑判断的思辩能力和推理能力；正面词语 至少有一个 任意的 所有的 一定否定词语 一个也没有 某个 某些 一定不8（2）命题 pq的真假判断是“一真就真，全假为假” ；命题 pq的真假判断是“一假就假，全真为真” ；命题 与 的真假相反.例 4（ 09年北京） “ 2()6kZ”是“ 1cos2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析：简易逻辑中充要条件的判断前提是先明确条件与结论，即弄清楚哪
20、个是条件，哪个是结论，再根据条件分析出推式的关系，从而利用定义和推式得到结论解：当 2()6kZ时， 1cos24cos32k，w 即 pq反之，当1cos2时，有 36Z，或 kk，即 q p综上所述， “ 2()6Z”是“ 1cos2”的充分不必要条件，故选 A例 5（2008 福建)设集合 01xA, 3Bx,那么“ m”是“ B”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作出判断解： 01x， AB.故选 A归纳小结：（1）本题考查了充要条件的定义，这是高考
21、试题题型的常见形式之一，可与其他考查内容综合同时还考查了数学转化思想、合情推理能力（2）充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件反映了条件 p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：确定问题的条件和结论；尝试从条件推结论，结论推条件；确定条件是结论的什么条件也可以从命题体现的集合运算关系，判断出命题间的条件在从条件推结论，结论推条件时，可以利用学过的定理、定义和公式直接做逻辑判断，或利用数轴或Venn 图分析两个集合的关系判断出“ pq”和“ p”的真假例 6（2007 湖北）已知 是 r的充分条件而不是必要条件， q是 r的充分条件， s是
22、 r的必要条件， q是s的必要条件现有下列命题： s是 的充要条件； 是 的充分条件而不是必要条件； 是 的必要条件而不是充分条件； 是 的必要条件而不是充分条件； 是 s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）A. B. C. D. 分析：本题命题及其关系较多，如果直接解决则比较麻烦，可以用符号“ ”、 “”等符号表示，简化题意，解决方便解：由题意可知： pr，且 p， qrsq9所以 sq，正确； prq，且 p，正确； rq，不正确；pr，且 s ，正确； s，不正确故选 B归纳小结：（1）本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题之间关系的转化，逆否命题的等价性，考查了
23、逻辑思辩能力和转化思想（2）在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中，使用符号语言可以简化过程，降低思维量例 7 已知命题 p： 123x，命题 q： 2210xm，若 p是 q的充分不必要条件，求实数 m的取值范围分析： 是 q的充分不必要条件转化为等价命题形式： q是 p的充分不必要条件，利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，从而求出的取值范围解：记 12103xAx，200Bxmmx p是 q的充分不必要条件， 是 的充分不必要条件，即 BA.012m，解得 3.所以实数 的取值范围是 0m归纳小结：(1)本题以含绝
24、对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，考查了转化思想的运用，强调了知识点运用的灵活性(2)对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，在判断或利用两个命题的充要条件时，可以利用它们的等价式，即将命题转化为另一个等价形式的命题，一般可以利用逆否命题的等价形式：若 p q，即 p，则 是 q的必要条件， q是 p的充分条件；若 ，且 ，即 p，且 ，则 是 的必要不充分条件；若 ，且 ，即 ，且 ，则 是 的充分不必要条件；若 p q，则 p，即 、 q互为充要条件；若 ，且 ，即 p，且 q，则 p是 的既不充分也不必要条件
25、例 8（ 209年海南、宁夏）有四个关于三角函数的命题：1： xR， 221sincosx 2： x、 yR， sinsinxyy103p： 0,x, 1cos2inx 4p： sinco2xyx其中是假命题的有（ ）A 1， 4 B 2p， 4 C 1， 3 D 2， 4p分析：若全称命题为真命题，必须对限定范围内的元素中的全体都成立；若特称命题是真命题，只需在限定范围中有一个元素满足条件即可解： 1p是假命题，因为 xR， 22sincosx；2是真命题，如 0y时成立；3p是真命题， ,x， sinx. 21csinsiinxx；4是假命题，如 2， y时， ioy，但 故选 A归纳小结
26、：（1）本题考查了全称命题与特称命题的真假判断，同时也考查了对概念的转化能力和推理能力（2）一般地说，全称命题与特称命题的真假判断方法是：判定一个全称命题是真命题时，必须对限定的集合 M中的每一个元素 x，验证 p成立即可；判定一个全称命题是假命题时，只要能列举出集合 中的一个元素 0，使 0不成立即可；判定一个特称命题是真命题时，只要在限定的集合 中，至少能找到一个元素 x，使 0成立即可，否则，这个特称命题就是假命题例 9（2007 宁夏）已知命题 p： 1sin,xR，则（ ）A. 1sin,:xRp B. 1sin,:xpC. D. 分析：对全称（特称）命题的否定是将其全称（存在）量词改为存在（全称）量词，再将结论否定解：将 变为 ，同时否定 sin1x，可以得到 1sin,:xRp故选 C归纳小结：(1)本题考查了含有一个量词的命题的否定及否定词的运用，对学生的逻辑判断能力进行考查(2)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题 p： ,xMp， 它的否定 p： 0xM， 0px特称命题 ： 00， 它的否定 ： ， 要注意否定词的运用
