1、1F2PF1 xyOF2PF1 xyOF2PF1 xyOQF2PF1 xyO高中数学 高考数学离心率题型总结求解含直角三角形的椭圆离心率二典例剖析：例.若椭圆 短轴端点为 满足 ，求椭)0(,12bayax P21F圆离心率。分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即 ，得到 2O的结论。21222 ecba变 式 1.在椭圆 上有一点 （除短轴端)0(,12bayaxP点外） ，若 ，求椭圆离心率取值范围。1PF分析：点 P 在椭圆上 ；点 P 在以 O 为圆心，OP 为半径的圆上bO ,所以得到 cb，进而得到 的结论。cO21 1,2222 ecba变 式 2. 满足 的所有点 P 都在
2、椭圆21FP )0(,12baya内，求椭圆离心率取值范围。分析：满足 的所有点 P 都在椭圆内 以 O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆21FP内 ，进而得到 的结论。bc 2,012ecba变 式 3.过椭圆 右焦点 的直线交椭圆于 两)0(,12bayax2FQP、 点且满足 ，若 ，求该椭圆离心率。PQF1 35sinPF2QF2PF1 xyO60 F2F1Oy xP分析：在前面例题 1 和变式的基础上，将线段 拉长和椭圆交于点 ，此时内含于椭2PFQ圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了
3、迁移，题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上，通过分析和探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析，清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。设 则 ，在 中利用勾xQFP13,51 axQFPxP430,1211 1RQFt股定理便可获解。变 式 4：过椭圆 右焦点 的直线交椭圆于)0(,2bay2两点，满足 ，若 ，求该椭圆离心率。QP、 QFP153sin1P分析：设 则 ，,31x,5x4,所以 ,不能利用勾股定理，利用余弦aF421 32,31aFx定理便可解出。备选练习题：1、过椭圆 左焦点 的直线垂直于 轴且交椭圆于点 ，若)0(
4、,12bayax1Fx，求该椭圆的离6021PF心率。2、设 M 为椭圆 上一点， , 为椭圆的焦点，如果12byax1F2，求椭圆的离心率。010215,75FF3求解离心率范围问题的几种思维策略求圆锥曲线离心离的取值范围，是常见的一类问题。解题的关键是如何构造出关于离心率 e 的不等式。本文通过一例，给出求解这类问题的几种思维策略。题 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，如果椭圆上存在点 P，使xayba210（ ） F12、，求离心率 e 的取值范围。FP1290解法 1：利用曲线范围设 P（x，y） ，又知 ，则FcFc1200（ ， ） ， （ ， ）FcPxyPxcy1221212290
5、()()()， ， ，由 ， 知 ，则 ，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去 y，可解得xacbFPacba221222900但 由 椭 圆 范 围 及知即4可 得 ， 即 ， 且从 而 得 ， 且所 以 ， ）cbcacaee2222121解法 2：利用二次方程有实根由椭圆定义知 |PFaPFPFa12122124又 由 ， 知则 可 得这 样 ， 与 是 方 程 的 两 个 实 根 ， 因 此cPFauac1212212 29040|()| ()48022ace()因 此 ，e)21解法 3：利用三角函数有界性记 PFF1221， ， 由 正 弦 定 理 有|sin|i|sin|sinsi
6、ncoscosFPaeca12129012212又 ， ， 则 有5而知从 而 可 得0924512|cose解法 4：利用焦半径由焦半径公式得| |PFaexaexFcccaexePyxaxa12212 2222 240，又 由 ， 所 以 有即 ，又 点 （ ， ） 在 椭 圆 上 ， 且 ， 则 知 ， 即0212cae得 ， ）解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPF|平方后得422282121112aPFPFc|(|)|得 c2所 以 有 ， ）e21解法 6：巧用图形的几何特性6由 ，知点 P 在以 为直径的圆上。FP1290|Fc12又点 P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有
7、公共点 P故有 cbac22由 此 可 得 ， ）e1离心率的五种求法 椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 10e1e1e一、直接求出 、 ，求解ac已知圆锥曲线的标准方程或 、 易求时，可利用率心率公式 来解 2012 年 5 月 6 日星期日决。cac例 1：已知双曲线 （ ）的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线的离心12yax0axy62率为（ ）A. B. C. D. 232632解：抛物线 的准线是 ，即双曲线的右准线 ，则 ，xy632312cax 022c解得 2c， ， ，故选 D3a2ace变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为 、 ，则其离心率为（ ）0
8、,1F,32A. B. C. D. 433224解：由 、 知 ， ，又椭圆过原点，0,1F,21cc ， ， ， ，所以离心率 .故选 C.ca32a21ace变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D 267解：由题设 ， ，则 ， ，因此选 C2a6c32ace变式练习 3：点 P（-3，1）在椭圆 （ ）的左准线上，过点 且方向为12byx0P的光线，经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）5,2ayA B C D 321解：由题意知，入射光线为 ，关于 的反射光线（对称关系）为 ，35xy2y 052yx则 解得
9、， ，则 ，故选 A052ca3a1cace二、构造 、 的齐次式，解出根据题设条件，借助 、 、 之间的关系，构造 、 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 的bc e一元方程，从而解得离心率 。e例 2：已知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形1F212yax0,ba21F，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）1MA. B. C. D. 3412313解：如图，设 的中点为 ，则 的横坐标为 ，由焦半径公式1FPc， aexPp1即 ，得 ，解得cc2022ac（ 舍去），故选 D31ae变式练习 1：设双曲线 （ ）的半焦距为 ，直线 过 ， 两点.已知原
10、点12byaxba0cL0,ab,到直线的距离为 ，则双曲线的离心率为( )c43A. B. C. D. 2232解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，L0abyx cba432又 , ,两边平方，得 ，整理得 ，22bac234c422316ca0164e8得 或 ，又 ， ， ， ，故选 A42e32ba0 2122abace 4e2变式练习 2：双曲线虚轴的一个端点为 ，两个焦点为 、 ， ，则双曲线的离心率M1F021M为（ ）A B C D 3263解：如图所示，不妨设 ， ， ，则b,00,1cF,2，又 ，221cMF2在 中， 由余弦定理，得 ,21 211
11、221cosMF即 ， ， 224bc2cb ， ， ， ， ，故选 B22ab12a23a3e26e三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角1F2 P21F三角形，则椭圆的离心率是_。解： 12221 cPcace四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右准线为 ，若过 且2byax0,b1F1l1F垂直于 轴的弦的长等于点 到 的距离，则椭圆的离心率是 .1Fl解：如图所示， 是过 且垂直于 轴的弦， 于 ， 为 到准线 的距离，根据椭ABx1lADA11l圆的第二定义， 211De
12、变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该椭圆的21离心率为（ ）A B C D 22149解： 212ADFe五、构建关于 的不等式，求 的取值范围e例 5：设 ，则二次曲线 的离心率的取值范4,0 1tancot22yx围为（ ）A. B. C. D. 212, ,2,2另：由 ， ，得 ， ,1tancotyx4,0tancotb ,cott22b 22 t1tcoace ， , ， ，故选 D4,01例6：如图，已知梯形 中， ，点 分有向线段 所成的比为 ，双曲线过 、ABCD2EACC、 三点，且以 、 为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值
13、范围。DE43e解：以 的垂直平分线为 轴，直线 为 轴，建立如图所示的直角坐标系 ，yABxxoy则 轴.因为双曲线经过点 、 ，且以 、 为焦点，由双曲线的对称性知yCCD、 关于 轴对称依题意，记 ， ， ，其中0,ch,20,yxE为双曲线的半焦距， 是梯形的高ABc21h由定比分点坐标公式得 ， ，设双曲线的方程为 ，则120ccx10hy 12byax离心率 ，由点 、 在双曲线上，所以，将点 的坐标代入双曲线方程得 aceCEC42hc将点 的坐标代入双曲线方程得 E 112422bhac再将 、得 ， ace2bhe2e1124210将式代入式，整理得 ， ，由题设 得：214
14、2e 231e43，解得 ，所以双曲线的离心率的取值范围为431322e0710,7配套练习1. 设双曲线 （ ）的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重12byax0,ba3xy42合，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 241yx196482yx132yx1632x2已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ）A B C D332233已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）12byax xy34A B C D 534524在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为 A B C D 22145在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该双曲线的离心22率为（ ）A B C D 2226如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以1F2 12byax0,baABO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）OABF2A B C D 355137. 设 、 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点， 是其右准线上1F212byax0aP纵坐标为 （ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是（ ）c3F21
