1、第二章 函数一函数1、函数的概念：（1）定义：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的 对应 关系 ，使对于集合 A 中的任f意一个数 ，在集合 B 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 ：AB 为从x)(xf f集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： = ， A其中， 叫做自变量， 的取值yxx范围 A 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合x| A 叫做函数的值域)(f（2）函数的三要素：定义域、值 域、 对应法则（3）相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数 的自
2、变量 的取值范围。(xf（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。（3）确定函数定义域的常见方法：若 是整式，则定义域为全体实数)(f若 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数x例:求函数 的定义域。xy1若 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体 实数)(xf例 1例 求函数 的定义域。21434xy例 2例 求函数 的定义域。0对数函数的真数必须大于零指数、对数式的底必须大于零且不等于 1若 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定 义域组成的不等式组来确定)(xf指数 为零底不可以等于零，如 )0(0x实际问题 中的函数的定 义域还要保证实际问题有意义
3、.（4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数 的定义域为0,1求 的定义域)(xf )(2f已知函数 的定义域为0,1）求 的定义域1231x3、值域 : （1）值域的定义：与 相对应的 值叫做函数值，函数 值的集合叫做函数的 值域。xy（2）确定值域的原则：先求定义域（3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：直接法 ：从自 变量 的范围出发，推出 的取值 范围。x()yfx例：求函数 的值域。1y解： ， ，0x函数 的值域为 。y,)配方法： 配方法是求 “二次函数类”值域的基本方法。形如 的函2
4、()()Fxafbfxc数的值域问题，均可使用配方法。例：求函数 （ ）的值域。24yx1,x解： ， 2()6 ， ，1,x3,x2()9x ，23()655y函数 （ ）的值域为 。4yx1,x3,分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例：求函数 的值域。125xy解： ，7()125xxx ， ，72051y函数 的值域为 。x1|2y换元法 ：运用代数代 换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 、 、 均为常数，且 ）的函数常用此法求解。yaxbcdabcd0a例：求函数 的值域。21yx解：令
5、 （ ），则 ，t0t2tx 2215()4ytt当 ，即 时， ，无最小值。138xmaxy函数 的值域为 。2y(,判别 式法：把函数 转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式x)0Fxy，从而求得原函数的 值域，形如 （ 、 不同时为零）的函数的02112abcya2值域，常用此方法求解。例：求函数 的值域。231xy解：由 变形得 ，2x2()(1)30yxy当 时，此方程无解；1y当 时， ， ，xR2(1)4()30yy解得 ，又 ，3y函数 的值域为21x|13y值域为 |y练习：求函数 的值域21x4、函数的表示方法（1）解析法、列表法、图象法（2）求函数解析式的常见
6、方法：换元法例：已知 , 求 的解析式.34)13(xf )(xf例：若 ,求 .xf例：已知 求 .()2,fx)(xf解方程 组法例：设函数 满足 +2 f（ ）= （ 0），求 函数解析式.)(xf)(fx1)(xf一变：若 是定义在 R 上的函数， ，并且对于任意实数 ，总有(0),y求 。（令 x=0，y=2x）2()(21,fxfyxyfx待定系数法例：已知 是一次函数，并且 求)(f 34)(f)(f解：设 ，则bkx( 2xbkxbf则 ，解得 或342123k故所求一次函数解析式 或)(xf 3)(f配变 量法例：已知 , 求 的解析式.2)(xff例：若 ,求 .x1)(特
7、殊 值代入法（取特殊 值法）例：若 ,且 ，)()(yfyxf21(f求值 .)04(5)3(42)1(fff例：设 是 上的函数，且 满足 并且对任意实 数 有xR1yx,求 的表达式)()(yxfyf (xf解：设 则x20即 1)(2xf或设 则 )1()1()( yyfyf)(2xxf利用 给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.例：对 R, 满足 ,且当 1,0时, )(f )1()(xff求当 9,10时 的表达式.xf2)(x解析： ，则 则)1()(xff )(xff，T=2)2,1x5、分段函数 (1)定义：在函数的定义域内， 对于自变量 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样
8、的x函数叫分段函数。(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集， 值域是各段 值域的并集；分段函数是一个函数，而不是几个函数；写分段函数定义域时，区 间端点不重不漏。6、复合函数如果 则 称为 、)(,),(, AxguMfy ),(,)(AxFxgfyf的复合函数。g7、函数图象问题（1）熟悉各种基本初等函数的图象如： ， ， ， ， ，0y)(为 常 数cxy1xy2（2）图象变换平移： 个 单 位 长 度向 右 平 移 0()axf )(af个 单 位 长 度向 上 平 移 )(by by对称： 轴 对 称关 于f(-xfy轴 对 称关 于)x关 于 原 点 对 称(fy)f翻折：
9、)(,f注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法*课堂习题*1.求下列函数的定义域： 2153xy21()xy2.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _ f()0， f3.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 23，4.函数 ，若 ，则 = 2)()1xf()fx5.求下列函数的值域： 23yx()R23y1,2x(3) (4)145二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增减函数和单调区间设函数 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个)(xfy自变量 ，当 时，都有 ，那么就说 在区间 D 上是增函21,21)(21xff)
10、(xf数.区间 D 称为 的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 当 时，都有1,21，那么就说 在这个区间上是减函数. 区间 D 称为 的单)(21xff)(xf )(xfy调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 在这)(xfy )(xfy一区间上具有(严格的)单调性，在 单调区间上增函数的图 象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点）(A) 定义法：任取 D，且 ；1 21,x21x作差 ；2 )(ff变形（通常是因式分解和配方）；3定号（即判断差 的
11、正负）；4 )(21f下结论（指出函数 在给 定的区间 D 上的单调性）5 x(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数 的单调性与构成它的函数 ， 的单调性密切相)(gf )(xgu)(ufy关，其规律：“同增异减 ”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 例：是否存在实数 使函数 在闭区间 上是增函数？如a)(lo)(2xaxfy4,2果存在，说明 可取哪些值；如果不存在，说明理由。解：当 1 时，为使函数 在闭 区间 上是增函数g,只需 在闭区间 上是增函数，故xg2)(4,得 ，又由 1，得 104)(1a1a当 00=00二次函数 的 图 象)0(axy一元二次方程 ） 的 根（ 02acbx有两不等实根 acbx24,21（ ）1有两相等实根 abx21没有实根）（ 02 2x或 R,且 实数集 R一元二次不等式的解 集 ）（ 02acbx 21空集 空集5、一元二次方程 的实根分布)04,(02 acb比较标准一元二次方程 的 分 布） 的 实 根（ 21,xacb充要条件二次函数 的 图 象)0(2acbxyK21 0)(2fKab21x0)(2fab方程两根与实数 比较K21xKKf
