高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]-(1).doc

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2、.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时 1（x12bya0ay2bxa）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC0，且 A，B ，C 同号，0ab2AByCAB ）。若，且，则的最大值是_，的最小值是_（答：Ryx, 632xyx2yx）5,2（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上： 1（）。方2ba2ba0,ab程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B 异号）。AxByC如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线 C 过点

3、，O1F2e)1,4(P则 C 的方程为 _（答：）26xy（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时()p2(0)ypx，开口向下时。2(0)xpy03.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。x2y如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_（答：1m）)23,(,(（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；x2y（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。a22bcc22ab4.圆锥曲线

4、的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：12yx0,xy两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0)c,xy，其中长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线；离心率：(,0)abab2axc，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。ce1ee如（1）若椭圆的离心率，则的值是_（答：3 或）；52myx510m325（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：）（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：21xyab0,abxa,yR两个焦点；对称性：两

5、条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其(,0)cxy(,0)a中实轴长为 2 ，虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线；离心率：，双曲线，等轴双,xyk2ccea1e曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。ee byx（3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中2(0)ypx0,xyR(,0)2p的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点p （0,0）；准线：一条准线；离心率：，抛物线。2cea1e如设，则抛物线的焦点坐标为_（答：

6、）；Ra,04axy )6,0(a5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外(,)Pxy2bx0Pxy；（2）点在椭圆上 1；（3）点在椭圆内201ab0(,)y2byax0(,)2xy6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不00一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直0线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相

7、切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线00相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线0相离。提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 1 外一点的直线与双曲线只2byax0(,)Pxy有一个公共点的情况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有

8、两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：，当即为短轴端点时，的最大值为 bc；对于双曲线。20tan|Sbcy0|bPmaxS2tan2bS如（1）短轴长为，58、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴

9、的交点，则AMFBMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A ，B ，若 P 为 A B 的中点，则 PAPB；（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC11平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。 9、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B ，且分别为 A、B 的横坐标，则ykb12,x ，若分别为 A、B 的纵坐标，则，若弦 AB 所AB21kx12, 21yk在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的y21ky弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径

10、之和后，利用第二定义求解。抛物线：10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率 k= ；12byax0(,)Pxy 02yaxb弦所在直线的方程：垂直平分线的方程：在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率 k= ；在抛物线21xyab0(,)Pxy 02yaxb中，以为中点的弦所在直线的斜率 k= 。2(0)ypx0(,)Pxy0py提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！11了解下列结论（1）双曲线的渐近线方程为；12byax02byax（2）以为渐近

11、线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为1(2byax参数， 0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；21mxny（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的ba距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； 2bc2pp（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦点弦为 AB，，则2(0)yx12(,)(,)AxyB ；1|ABxp2211,4yp（7）若 OA、OB 是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点()x(2,0)p12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）

12、给出直线的方向向量或；ku,1nm,（2）给出与相交,等于已知过的中点;OBABA（3）给出 ,等于已知是的中点;0PNMPMN（4）给出 ,等于已知与的中点三点共线;Q,（5）给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数C/,ABC且,等于已知三点共线.,1,C且 ,（6）给出 ,等于已知 ,即是直角,给出 ,等于已0BABA0mM知是钝角, 给出 ,等于已知是锐角,m（8）给出 ,等于已知是的平分线/MP（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;ABCD0)()(ADBAABCDFAPHBQ（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

13、ABCD|ABDABCD（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的22O圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是0三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角ABACB OAB形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内COAP()|)(RPC心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内AB,0cBba AB切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出 ,等于已知是中边的中线; 12D

14、ACDC（3）已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p0)上异于原点的两点，，点 C 坐标为（0，2p）O（1）求证：A,B,C 三点共线；（2）若（）且试求点 M 的轨迹方程。AMBR0OB（1）证明：设，由得221(,)(,)pA，又221120,4xxp2211(,),(,)xxCpABp，，即 A,B,C 三点共线。21 1()(0p/（2）由（1）知直线 AB 过定点 C，又由及（）知 OMAB，0OMMR垂足为 M，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。13.圆锥曲线中线段的最值

15、问题：例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小 ,则点 P 的坐标为2_ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为。分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则，因而易发PH现，当 A、P、 F 三点共线时，距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，）（2）（）1,41、已知椭圆 C1的方程为，双曲线 C2的左、右焦点分别为 C1的左、右顶点，而 C2的左、14yx右顶点分别是

16、 C1的左、右焦点。(1) 求双曲线 C2的方程；(2) 若直线 l：与椭圆 C1及双曲线 C2恒有两个不同的交点，且 l 与 C2的两个交点kxyA 和 B 满足 (其中 O 为原点)，求 k 的取值范围。6解：（）设双曲线 C2的方程为，则2bya .1,314222 bcaa得再由故 C2的方程为（II）将1.3xy.0428)4(422 kxkkxy得代入由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得即 ,)1(6)(6)8( 2221 k 21.由直线 l 与双曲线 C2恒有两个0963322 kxkyxxy得代入将不同的交点 A，B 得 22222210, 1.3(6)(

17、1)().k k 即且229(,), ,31,()()ABABABABABBkxyxxkOyk设则由得而22221)96(3137.1Axxkk解此不等式得 223756,0.13kk于是即 221.53k或由、得 .1531422kk或故 k 的取值范围为 31(,)(,)(,)(,)5在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。()设 M(x,y),由已知

18、得 B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).ABAB再由愿意得知（ + ） =0,即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.AB所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. ()设 P(x ,y )为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x,142014212所以的斜率为 x 因此直线的方程为，即。l20l 01(2yx200yx则 O 点到的距离 .又，所以l20|4ydx0 20202014(),4dxx当 =0 时取等号，所以 O 点到距离的最小值为 2.20xl设双曲线21yab（a0,b0）的渐近线与抛

19、物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )设双曲线 2x的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ). 过椭圆 21yab( 0)的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于点 P， 2F为右焦点，若1260FP，则椭圆的离心率为已知双曲线 )0(12byx的左、右焦点分别是 1、 2，其一条渐近线方程为 xy，点),3(0P在双曲线上.则 1PF 2( )0已知直线 20ykx与抛物线 2:8Cyx相交于 AB、两点， F为 C的焦点，若|FAB，则 ( )已知直线 1:4360lxy和直线 2:1lx，抛物线 24yx上一动点 P到直线 1l和直线 2l的距离之和的最小值是（）设已知抛

20、物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线 l 的方程为 _.椭圆219xy的焦点为 12,F，点 P 在椭圆上，若 1|4P，则 2|F ； 12FP的大小为 .过抛物线 2(0)ypx的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为8，则 _ 【解析】设切点 0(,)P，则切线的斜率为 0|2xy.由题意有 02yx又 201解得: 2 201,1()5bbxeaa双曲线 2by的一条渐近线为 xy,由方程组 21byxa,消去 y,得 210bxa有唯一解,所以=

21、2()40a,所以 a,221()5cbe由渐近线方程为 xy知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是22x，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且)1,3(P或 ),(.不妨去 )1,3(P，则 )1,32(1F，2F. 1PF 2 01)32()1,32)(,( 【解析】设抛物线 :8Cyx的准线为 :lx直线 0ykx恒过定点 P,0 .如图过 AB、分别作 AMl于 , BNl于 , 由|2|FAB,则 |2|MN,点 B 为 AP 的中点.连结 O,则 1|2F,|O 点的横坐标为 1, 故点的坐标为0(1,2)1(2)3k, 故选 D21121121212124,4yxAxyBxyxy则有，两式相减得，，直线 l的方程为 -=x,即

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