1、1高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系, .UxACxAx2.德摩根公式 .();()UUUBBC3.包含关系 AAAR4.容斥原理 ()()cardBcardBcard()CCcrB.() ()AcardC5集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个；非空的真子集有12,n 2n2n2n2 个.n6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 ;2()(0)fxabc(2)顶点式 ;)hka(3)零点式 .12x7.解连不等式 常有以下转化形式(NfM()fx)()0fN|2x.1()fx8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一个必要而不是充0
2、)(21k 0)(21kf分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或)0(acbxa )(21k0)(21kf且 ,或 且 .)(1kf1b)2kf 22ab9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处及区间的两端点处取得，具体)0()(2acxf qp, abx如下：(1)当 a0 时，若 ，则 ；qpb, minmax()(),(),2bfxfffpq， ， .qpabx,2max(),fini),(2)当 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(xf（2） ，0或 ，)(1(fxf或 ,af)或 ,则 的周期 T=2a；21()(,()
3、012xfxaf)(xf(3) ，则 的周期 T=3a；)1ff(4) 且 ，则 的周期 T=4a；()(2121xfx1212()(),0|)ffxxa)(xf(5) )34faa,则 的周期 T=5a；()()f(f(6) ，则 的周期 T=6a.(fx30.分数指数幂 (1) （ ，且 ）.1mna0,anN1(2) （ ，且 ）.n,31根式的性质（1） .()a（2）当 为奇数时， ；na5当 为偶数时， .n,0|na32有理指数幂的运算性质(1) .(,)rsrsaQ(2) .()0(3) .,rrbbr注： 若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的
4、运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.logbaN(0,1)N34.对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llmaam10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).oglmnb0an1n035对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;l()llogaaN(2) ;oga(3) .ll()naR36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ;)0()(2acbxxfm acb42)(xfR0a若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验.)(xf 037. 对数换底不等式及其推广若 , , , ,则函数0abx1alog()axy(1)
5、当 时,在 和 上 为增函数.(,),)b， (2)当 时,在 和 上 为减函数.l()axy推论:设 ， ， ，且 ，则1nm0pa1（1） .log()logpmn（2） .2aa38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .pxy(1)xNp39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系( 数列 的前 n 项的和为 ).1,2nnsaa12nnsa40.等差数列的通项公式；*11()()nadanN6其前 n 项和公式为 1()2nas1()2d.1dd41.等比数列的通项公式；*11()nnaqN其前 n 项的和公式为 1(),nnsaq
6、或 .1,nns42.等比差数列 : 的通项公式为na11,(0)nqdabq；(),nbdaq其前 n 项和公式为.(1),(1)nnbdqs43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).1)(nabxanb44常见三角不等式（1）若 ，则 .0,)2sitx(2) 若 ，则 .(x1ncos2(3) .|sin|cos|45.同角三角函数的基本关系式 ， = ， .22itacosita1ct46.正弦、余弦的诱导公式 21()in,sin(2sco21()s,s(2innconco47.和角与差角公式(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)
7、7;sin()sicosin;co.tanta1t(平方正弦公式);22sin()si()siin.coco= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).iab2i)ab()abtanb48.二倍角公式 .sin2ics.2222coincos1sin.tata149. 三倍角公式 .3sin3i4sinisn()si()3.cococo.32tatn3tan()tan()1350.三角函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0，0)的周期si()yxcos()yx；函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周期 .2Ttan,2xkZT51.正弦定理 .2sinis
8、ibcRABC52.余弦定理;22oaA;cca.sb53.面积定理（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.122abcShhabc、 、（2） .1sinsisinCAB(3) .22(|)()OABBO54.三角形内角和定理 在ABC 中，有 (.22)CA55. 简单的三角方程的通解.sin(1)arcsin(,|1kxaZa.o)co8.tanarctn(,)xkkZaR特别地,有.si 1).cos2(.tantk56.最简单的三角不等式及其解集.si(|1)(arcsin,2arcsin),xxkkZ.2.co| o,o,ak.s()(rsrs).tnactn,),2xRxk
9、Z.a()(rta2k57.实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.58.向量的数量积的运算律：(1) ab= ba （交换律）;(2)（ a）b= （ ab）= ab= a（ b）;(3)（ a+b）c= a c +bc.59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底60向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ，且
10、b 0，则 a b(b 0) .()xy(,)A1210xy53. a 与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos61. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos 的乘积62.平面向量的坐标运算(1)设 a= ,b= ，则 a+b= .1()xy2(,)12(,)xy(2)设 a= ,b= ，则 a-b= . (3)设 A ，B ,则 .12 21(,)ABOxy(4)设 a= ，则 a= .(,)R(,)(5)设 a= ,b= ，则 ab= .xy(,)1)xy63.两向量的夹角公式(a= ,b= ).122cosy1)2(,6
11、4.平面两点间的距离公式=,ABd|AB(A ，B ).2211()()xy1(,)xy2(,)65.向量的平行与垂直 9设 a= ,b= ，且 b 0，则1()xy2(,)A|b b=a .121xya b(a 0) ab=0 .266.线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则1(,)Pxy2(,)(,)P12P12P12y12O（ ）.12()OPttPt67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则ABC 的重心的坐标是1Ax,y)2B(3Cxy).123123(,)xyG68.点的平移公式 . hxhykyk OP注:图形 F 上的任意一
12、点 P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 .F(,)Pxy(,)hk69.“按向量平移”的几个结论（1）点 按向量 a= 平移后得到点 .(,)Px(,)h(,)xhyk(2) 函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式为 .yfC,)kC ()yfx(3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数解析式为 ( ()fC.()yfhk(4)曲线 : 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 .(,)0fx,)h ,0xhk(5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= .y(k()xy70. 三角形五“心”向量形
13、式的充要条件设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则OABC,ABC,abc（1） 为 的外心 .22O（2） 为 的重心 .0（3） 为 的垂心 .OA（4） 为 的内心 .abc（5） 为 的 的旁心 .ABCABC71.常用不等式：（1） (当且仅当 ab 时取“=”号),abR2（2） (当且仅当 ab 时取“=” 号)ab（3） 30,).cc（4）柯西不等式 222()()abddR（5） .ba72.极值定理已知 都是正数，则有yx,10（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；xypyxp2（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .sx41s推广 已知 ，则有R
14、, y)()(22（1）若积 是定值 ,则当 最大时, 最大；xy|yx|当 最小时, 最小.|（2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；| |x当 最小时, 最大.| |73.一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解20()axbc或 20,40)abaca2xbc集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；121212()xx.,()()或74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.2xaax或 .a75.无理不等式（1） .()0()()ffxgxfg（2） .2()0()()0fxffx或（3） .2()()fxgfg76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时,1a; ()()()fxgxfx.0lol()aaffgf(2)当 时,01;()()fxgxfx()0lol)aaffgf77.斜率公式 （ 、 ）.21ykx1(,)Pxy2(,)xy78.直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11kl1(,)Pxyk
