1、高一数学必修 1 知识网络集合123412nxABABn（ ） 元 素 与 集 合 的 关 系 ： 属 于 （ ） 和 不 属 于 （ ）（ ） 集 合 中 元 素 的 特 性 ： 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性集 合 与 元 素 （ ） 集 合 的 分 类 ： 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 ： 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集（ ） 集 合 的 表 示 方 法 ： 列 举 法 、 描 述 法 （ 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ） 、 图 示 法 、 区 间 法子 集 ： 若 ， 则 ， 即 是 的 子 集 。、 若 集 合 中 有
2、 个 元 素 ， 则 集 合 的 子 集 有 个 ， 注关 系集 合 集 合 与 集 合 0 (2-1)23, ,.4/ nCCABxBABx 真 子 集 有 个 。、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 ， 即 、 对 于 集 合 如 果 ， 且 那 么、 空 集 是 任 何 集 合 的 （ 真 ） 子 集 。真 子 集 ： 若 且 （ 即 至 少 存 在 但 ） ， 则 是 的 真 子 集 。集 合 相 等 ： 且 定 义 ： 且交 集 性 质 ： ， ， ，运 算 ,()()()-)/()()UUUUUABAABABCardBrCadrxCAC ，定 义 ： 或并 集 性
3、 质 ： ， ， ， ， ， 定 义 ： 且补 集 性 质 ： ， ， ， ， ()()函数 ,AB Axy fBBxyxfy yxy映 射 定 义 ： 设 ， 是 两 个 非 空 的 集 合 ， 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系 ， 使 对 于 集 合 中 的 任 意 一 个 元 素 ， 在 集 合 中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 与 之 对 应 ， 那 么 就 称 对 应 ： 为 从 集 合 到 集 合 的 一 个 映 射传 统 定 义 ： 如 果 在 某 变 化 中 有 两 个 变 量 并 且 对 于 在 某 个 范 围 内 的 每 一 个 确 定 的 值 ，定
4、 义 按 照 某 个 对 应 关 系 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 。 那 么 就 是 的 函 数 。 记 作函 数 及 其 表 示函 数 ()., ,()()(), ,1212()() , ,fxabaxbfxfxfxababff ab近 代 定 义 ： 函 数 是 从 一 个 数 集 到 另 一 个 数 集 的 映 射 。定 义 域函 数 的 三 要 素 值 域 对 应 法 则解 析 法函 数 的 表 示 方 法 列 表 法图 象 法单 调 性函 数 的 基 本 性 质 传 统 定 义 ： 在 区 间 上 ， 若 如 ， 则 在 上 递 增 是 递 增 区 间 ； 如 ，
5、 则 在 上 递 减 是 的 递 减 区 间 。导 数 定 义 ： 在 区 间 () 1 ()2() ()00, 0() ()0() ,yfxI MxIfxMxIfxMyff abfxfabab 最 大 值 ： 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 如 果 存 在 实 数 满 足 ： （ ） 对 于 任 意 的 ， 都 有 ； （ ） 存 在 ， 使 得 。 则 称 是 函 数 的 最 大 值最 值 最 上 ， 若 ， 则 在 上 递 增 ,是 递 增 区 间 ； 如 则 在 上 递 减 是 的 递 减 区 间 。 () () ()(1)()(), ()2f I NIfNIfNfxfxfxDfx
6、 小 值 ： 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 如 果 存 在 实 数 满 足 ： （ ） 对 于 任 意 的 ， 都 有 ； （ ） 存 在 ， 使 得 。 则 称 是 函 数 的 最 小 值定 义 域 ， 则 叫 做 奇 函 数 ， 其 图 象 关 于 原 点 对 称 。奇 偶 性 定 义 域 ， 则 叫 做 偶 函 数 ， 其 图() ()()0)()()1 , ()12 yfxfxTfxTfxTTfxyxayfxaa 象 关 于 轴 对 称 。 奇 偶 函 数 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称周 期 性 ： 在 函 数 的 定 义 域 上 恒 有 的 常 数 则 叫 做 周 期
7、 函 数 ， 为 周 期 ； 的 最 小 正 值 叫 做 的 最 小 正 周 期 ， 简 称 周 期（ ） 描 点 连 线 法 ： 列 表 、 描 点 、 连 线向 左 平 移 个 单 位 ：向 右 平 移 个平 移 变 换函 数 图 象 的 画 法 （ ） 变 换 法 , ()1 1011/ ()01)bbbfxyyxxwwwxwyfxyAA单 位 ：向 上 平 移 个 单 位 ：向 下 平 移 个 单 位 ：横 坐 标 变 换 ： 把 各 点 的 横 坐 标 缩 短 （ 当 时 ） 或 伸 长 （ 当 时 ） 到 原 来 的 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） ， 即伸 缩 变 换 纵 坐 标
8、 变 换 ： 把 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 （ 或 缩 短 （ 到/()122100(,) 2(2)0 01()01 2(022010 Ayyfxxxxy yfxyyyfxyxxy yfyy 原 来 的 倍 （ 横 坐 标 不 变 ） ， 即关 于 点 对 称 ：关 于 直 线 对 称 ：对 称 变 换 关 于 直 线 对 称 ： )1()xf 关 于 直 线 对 称 ：附：一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1；5、三角函数正切函数 中tanyx；余切函数 中；6、如果函
9、数是由实际意义确定的解析式，应()2xkZcotyx依据自变量的实际意义确定其取值范围。二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、 单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：1、若 均为某区间上的增（减）函数， 则 在这个区间上也为增(),fxg()fxg（减）函数2、若 为增（减）函数，则 为减（增）函数()f ()fx3、若 与 的单调性相同，
10、则 是增函数；若 与 的单xg()yfgx()fxg调性不同，则 是减函数。()yfx4、奇函数在对称区间上的单调 性相同，偶函数在 对称区间 上的单调性相反。5、常用函数的单调性解答：比 较大小、求 值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。六、函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在 处有定义， 则 ，如果一个函数 既是奇0x(0)f()yfx函数又是偶函数，则 （反之不成立）()f2、两个奇（偶）函数之和（差）为 奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。4、两个函数 和 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么()yfu()gx该复合函数
11、就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。5、若函数 的定义域关于原点 对称， 则 可以表示 为()fx()fx，该式的特点是：右端为一个奇函数和11()()22fff一个偶函数的和。,()0 ()(), ()()0, (,)0,()0yfxfxxyfxfab fafbyfx cabfccfxf 零 点 ： 对 于 函 数 （ ） 我 们 把 使 的 实 数 叫 做 函 数 的 零 点 。定 理 ： 如 果 函 数 在 区 间 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有零 点 与 根 的 关 系 那 么 ， 函 数 在 区 间 内 有 零 点 。 即
12、存 在 使 得 这 个 也 是 方 程 的 根 。 （ 反 之 不 成 立 ）关 系 ： 方 程函 数 与 方 程函 数 的 应 用 () ()(1),()()0,2(,);(3)()0,(), (,)0()()0,yfxyfxxabfafbcfcf cfaf bcxabfcfba有 实 数 根 函 数 有 零 点 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点确 定 区 间 验 证 给 定 精 确 度 ；求 区 间 的 中 点计 算 ；二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 若 则 就 是 函 数 的 零 点 ； 若 则 令 （ 此 时 零 点 ） ； 若 则 令 （ 此 时 零 点 (,)(4)
13、-, ();24cb ab ） ；判 断 是 否 达 到 精 确 度 ： 即 若 则 得 到 零 点 的 近 似 值 或 否 则 重 复 。几 类 不 同 的 增 长 函 数 模 型函 数 模 型 及 其 应 用 用 已 知 函 数 模 型 解 决 问 题建 立 实 际 问 题 的 函 数 模 型 ,(0,)(),(1)1lo mnaanarsrsQbbxyax 根 式 ： 为 根 指 数 ， 为 被 开 方 数分 数 指 数 幂指 数 的 运 算指 数 函 数 性 质定 义 ： 一 般 地 把 函 数 且 叫 做 指 数 函 数 。指 数 函 数 性 质 ： 见 表对 数 ：基 本 初 等
14、函 数 对 数 的 运 算对 数 函 数 g,()llog; .ll;(0,10,)ogl)1caNMNnaMyxbcb为 底 数 ， 为 真 数性 质 换 底 公 式 ：定 义 ： 一 般 地 把 函 数 且 叫 做 对 数 函 数对 数 函 数 性 质 ： 见 表 且yx 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 函 数 叫 做 幂 函 数 ， 是 自 变 量 ， 是 常 数 。性 质 ： 见 表 2表1 指数函数 0,1xya对数数函数 log0,1ayxa定义域R,值域 0,yyR图象过定点 (0,1) 过定点 (1,0)减函数 增函数 减函数 增函数(,0)(,)xy时 ，时 ， ,(
15、0,1)xy时 ，时 ， ,(,)xy时 ，时 ， (,(,0)xy时 ，时 ，性质 abababab表 2 幂函数 ()yxRpq0111为 奇 数为 奇 数奇函数pq为 奇 数为 偶 数pq为 偶 数为 奇 数偶函数第一象限性质 减函数 增函数过定点 01（ ， ）高中数学必修 2一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义 ：倾斜角不是 90的直线，它的 倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直 线的斜率常用k 表示。即 。斜率
16、反映直 线与轴的倾斜程度。tank当 时， ； 当 时， ； 当 时， 不存在。90,180,9k9k过两点的直线的斜率公式： )(212xxyk注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；1(2)k 与 P1、P 2 的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率 k，且过点)(11xky1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都
17、等于 x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式： ，直线斜率为 k，直 线在 y 轴上的截距 为 bbky两点式： （ ）直线两点 ，1122212,1,2,yx截矩式： xab其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。l(0)ay(0)blxy,ab一般式： （A，B 不全为 0）CByA注意： 各式的适用范 围 特殊的方程如：1 2平行于 x 轴的直线： （b 为常数）； 平行于 y 轴的直线： （a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线系：00yx0,（C 为常数）0yBxA（
18、二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直 线系： ，直 线过定点 ；00xk0,yx（）过两条直线 ， 的交点的直线系方程:11yxl :22CBAl为（ 为参数），其中直线 不在直线系中。221 CBACyBxAl（6）两直线平行与垂直当 ， 时，1:bkl:bxkyl；2221,/1221l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点相交0:11CyBxAl 0:22CyBxAl交点坐标即方程组 的一组解。1方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合21/l1l2（8）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，12(,),xy， （ ）则 2|AB（9
19、）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0,P0:1CByAxl 20BACyxd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转 化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定 长的点的集合叫 圆，定点 为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程 ，圆心 ，半径为 r；22rbyaxba,（2）一般方程 0FED当 时，方程表示圆，此 时圆心为 ，半径为042FED2,EDFEDr4212当 时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。042F（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程
20、，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线 ，圆 ，圆心 到 l 的距离为0:CByAxl 22:rbyaxbaC,，则有 ； ；2bad相 离与lrd相 切与ld相 交与rd（2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个:l 22:一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有； ；相 离与0相 切与l0相 交与l0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中2ryx表示切
21、点坐标，r 表示半径。,yx(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x 0，y0)，则过此点的切线方程 为 (课本命题)20ryx圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0，y0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两 圆半径的和（差），与 圆心距（ d）之间的大小比较来确定。设圆 ，2121:rbyaxC222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与 圆心距（d）之 间的大小比较来确定。当 时两圆外离，此时有公切线四条；rRd当 时两圆外切，连心线过切
22、点，有外公切 线两条，内公切线一条；当 时两圆相交， 连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；rRd当 时，两圆内含； 当 时， 为同心圆。0d三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用 对角线的端点字母，如五棱柱EDCBAAD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、 对角面都是平行四 边形；侧棱平行且相等；平行于底面的
23、截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱 锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于 顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征： 上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形
24、的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征： 底面是全等的 圆； 母线与轴平行；轴与底面 圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征： 底面是一个 圆； 母线交于圆锥的顶点；侧 面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征： 上下底面是两个圆； 侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋 转一周形成的几何体几何特征： 球的截面是 圆； 球面上任意一点到球心的距
25、离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二 测画法斜二测画法特点：原来与 x轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变；原来与 y轴 平行的线段仍然与 y 平行， 长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底
26、面周长， h 为高， 为斜高，l 为母线）hS直 棱 柱 侧 面 积 rS2圆 柱 侧 21chS正 棱 锥 侧 面 积 rlS圆 锥 侧 面 积)(21c正 棱 台 侧 面 积 lR)(圆 台 侧 面 积lr圆 柱 表 r圆 锥 表 22Rlr圆 台 表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱 2Shr圆 柱 13VSh锥 hV231圆 锥1()3台 ()()r圆 台（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =球 34R球 面 24R4、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母 、 表示，如平面 （通常写在
27、一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC。 点与平面的关系：点 A 在平面 内， 记作 ；点 不在平面 内，记作AA点与直线的关系：点 A 的直线 l 上， 记作：A l； 点 A 在直线 l 外，记作 A l；直线与平面的关系：直线 l 在平面 内， 记作 l ；直线 l 不在平面 内，记作 l 。（2）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么 这条直 线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过 直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理 1： ,AlBl（3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据
