1、 第 1 页 共 4 页第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程（1） 标准方程 22rbyax，圆心 ba,，半径为 r；点 与圆 的位置关系：0(,)My()()当 ，点在圆外220r当 = ，点在圆上0()()xayb当 ，点在圆内220r（2） 一般方程 0FEyDxy当 42FED时，方程表示圆，此时圆心为 2,ED，半径为 FEDr4212当 0时，表示一个点； 当 2时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求
2、出 a，b，r ；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。例 1 已知方程 .2 2(1)2(3)5106xymxym（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当 m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线 y=2x+5 上，半径为 2.练习：1方程 表示的图形是（ ）460xy以 为圆心， 为半径的圆 以 为圆心， 为半径的圆(2)， 1(12)， 1以 为圆心， 为半径的圆 以 为圆心， 为半径的圆， ，2过点 A
3、(1，1)，B(1，1)且圆心在直线 xy 20 上的圆的方程是( )A(x3) 2(y1) 24 B(x 3) 2(y1) 24C(x 1)2( y1) 24 D(x1) 2(y1) 243点 在圆 的内部，则 的取值范围是（ ）， 2()4xaa 或 01a4若 表示圆，则 的取值范围是 2(1)yy5若圆 C 的圆心坐标为(2， 3)，且圆 C 经过点 M(5，7)，则圆 C 的半径为 .6圆心在直线 yx 上且与 x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为 7以点 C(2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 第 2 页 共 4 页8求过原点，在 x 轴，y 轴上截距分别为 a，b 的圆的
4、方程(ab0)9求经过 A(4，2)， B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程10求经过点(8，3)，并且和直线 x6 与 x10 都相切的圆的方程三、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线 0:Cyxl，圆 22:rbya，圆心 baC,到 l 的距离为2BAbad，则有 相 离与lrd； 相 切与ld； 相 交与rd（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0
5、， y0)，则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 例 已知圆 ,Q 是 轴上的动点,QA、QB 分别切圆 M 于 A，B 两点2:()1Mxyx(1)若点 Q 的坐标为（ 1， 0），求切线 QA、 QB的方程 ；(答：切线 QA、QB 的方程分别为 和 )034yx1x(2)求四边形 QAMB 的面积的最小值； （答）22213MAQBSQMAO(3)若 ，求直线 MQ 的方程.43（答：直线 的方程为 或 Q052yx 052yx）练习：1以点(3，4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( )A(x3) 2(y4) 216 B(x 3) 2(y4)
6、 216 C(x 3)2( y4) 29 D(x3) 2(y4) 219 2若直线 xy m0 与圆 x2y 2m 相切，则 m 为( )A0 或 2 B2 C D无解.直线 过点 ， 与圆 有两个交点时，斜率 的取值范围是( )l），（ lx2kA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ），（ ），（ ），（ 4），（ 8设圆 x2y 24x 50 的弦 AB 的中点为 P(3，1)，则直线 AB 的方程是 圆(x1)
7、2(y 2) 220 在 x 轴上截得的弦长是 。 为圆 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j P1 0yx圆 x2y 22x 2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80 距离的最小值为 圆心为 C(3，5)，并且与直线 x7y20 相切的圆的方程为 第 3 页 共 4 页求圆心在原点，且圆周被直线 3x4y150 分成 12 两部分的圆的方程12 （本小题 15 分）已知圆 C： 内有一点 P（2，2） ，过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两219点(1) 当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；(2) 当弦 AB 被
8、点 P 平分时，写出直线 l 的方程；(3) 当直线 l 的倾斜角为 45 时，求弦 AB 的长13（本小题 15 分）已知动点 M 到点 A（2，0）的距离是它到点 B（8，0）的距离的一半， 求：（1）动点 M 的轨迹方程；（ 2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆 2121:rbyaxC， 222: RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
9、当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 r时，两圆内含； 当 0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点例 4 已知圆 ，相互垂直的两条直线 、 都过点 .:C2()4xy1l2(,0)Aa（）若 、 都和圆 相切，求直线 、 的方程；1l 1l2（）当 时，若圆心为 的圆和圆 外切且与直线 、 都相切，求圆 的方程；a(,)MmC1l2M（）当 时，求 、 被圆 所截得弦长之和的最大值.1l2答案：（） 、 的方程分别为 与 或1l2:
10、1xyl :2xyl与:1xyl :xy（）圆 的方程为 4)7()(22（）即 、 被圆 所截得弦长之和的最大值为1l2C11两个圆 C1：x 2y 22x2y20 与 C2：x 2y 24x2y10 的位置关系为( )A内切 B相交 C外切 D相离2圆 x2y 22x 50 与圆 x2y 22x4y 40 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )Axy10 B2xy10 Cx 2y10 Dx y103圆 x2y 22x 0 和圆 x2y 24y0 的公切线有且仅有 ( )A4 条 B3 条 C2 条 D1 条14两圆 x2y 21 和(x 4) 2(ya) 225 相切，
11、试确定常数 a 的值 6 两圆 和 的位置关系是（ ）9869A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 相离 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 相交 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 内切 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 外切第 4 页 共 4 页7 圆： 和圆： 交于 两点，则 的垂直平分线的方程是 0642yx062xy,AB8两圆 和 相切，则实数 的值为 1xy2()()5aa五、求圆的轨迹方程1、点 P 是圆 上的动点，点 M 为 OP（O 为原点）中点，求动点0(,)xy24xyM 的轨迹方程。2、已知两定点 A(-2,0)、B(1,0)，若动点 P 满足 PA=2PB，则点 P 轨迹方程所包围的图形面积等于 3、等腰三角形 ABC 底边一个端点 B(1,-3)，顶点 A(0,6)，求另一个端点 C 的轨迹方程。4、已知 BC 是圆 的动弦，且BC，求 BC 中点轨迹方程。25xy5、 已知点 M 与两个定点 O（0，0） ，A(3，0) 的距离的比为 ，求点 M 的轨12迹方程。
