1、七剑合壁破解数列求和 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，下面介绍用七种办法“七剑”，希望对同学们有所启发：第一剑套用公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法： 1.等差数列求和公式： 2.等比数列求和公式：3. 4、 例 1 已知 ，求 的前 n 项和.分析：从题目中可看出这是一个等比数列的求和，自然想到直接应用等比数列求和公式即可解：由由等比数列求和公式得 第二剑错位相减法这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前 n 项和，其中 分别是等差数列和等比数列例 2 求和：
2、 分析：注意到式子有两个特点，单纯从系数上看，它呈等差数列，这个数列的通项是2n1；单纯从字母上看，它呈等比数列，此数列的通项是 ，所以可类比推导等比数列的方法求它前 n 的和解： 设 得 又因为再利用等比数列的求和公式得： 第三剑逆序相加法这是类比推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .例 3 求证： （本题源自人教大纲版必修第二册下）分析：这虽然看似一道组合的证明题，本质上还是数列求和，注意组合的一个公式，所以我们用逆序相加法进行尝试证明： 设 . 把式右边倒转过来得又由 可得. . +得 第四剑分组求和法有一
3、类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 4 求数列的前 n 项和：分析：可以看出该数列可分成两部分，注意到一部分等差数列，一部分成等比数列我们使用化整为零的办法先拆开，再组合解：设当 a1 时， 当 时， 第五剑裂项相消法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）常见的如下：（1） （2）（3）例 5 求数列 的前 n 项和.分析：本题符合上述的第三个公式中的情况，此时 的情形解：设则 第六剑分段求和法针对一些特殊的数列，将某些项合并在
4、一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.，对等差数列的绝对值求和也可仿效例 6 数列 中 ，求分析：题目要我们求前 2008 项的和，从前 3 项可以看出它不是等差、也不是等比，那么怎么办呢？先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以 6 为一个周期的数列解：设由 可得 5例 7等差数列 中， ，求其前 n 项的绝对值的和分析：对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决解：由已知可得 ，则当 时不妨设当 时，当 时，=第七剑活用通项法先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 8 求 之和.分析：本题的数列也十分特殊，具有良好的美感如果我们知道它的一个通项公式是，这样即可将之分成两部分，转化为上述的第四种方法来解决，可见对通项的识别尤为重要解：由于 当然数列求和的方法还不止这些，但是只要同学们七剑在手，勤加修炼，做到七剑合璧，融汇贯通，定能破解这一求和问题了本文发表于数学周报大纲高考版总 214 期
