1、（教师版）椭圆标准方程典型例题例 1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值632myx m分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 ，根据关系 可求出 的值c22cbam解：方程变形为 因为焦点在 轴上，所以 ，解得 126yxy63又 ，所以 ， 适合故 2cm55m例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程03，Pba分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数 和 （或 和 ）的值，即可求得椭圆的标准方程ab2解：当焦点在 轴上时，设其方程为 x012bayx由椭圆过点 ，知 又 ，代入得 ， ，故椭圆的方程为 03，P92ba
2、31292a192yx当焦点在 轴上时，设其方程为 y012baxy由椭圆过点 ，知 又 ，联立解得 ， ，故椭圆的方程为03，P92ba3812a92b1982xy例 3 的底边 ， 和 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨ABC16ACBGA迹分析：（1）由已知可得 ，再利用椭圆定义求解20G（2）由 的轨迹方程 、 坐标的关系，利用代入法求 的轨迹方程A解： （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系设 点坐标为 ，由BxByx，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两点因 ， ，有 ，0GBCC10a8c6b故其方程为 01362yx（2）设
3、 ， ，则 A， ， 01362yx由题意有 代入，得 的轨迹方程为 ，其轨迹是椭圆（除去 轴上两点） 3yx， A0132490yx x例 4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在PP3542P轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为 、 ，且 ， 从椭圆定义1F23541P352F知 即 5221Paa从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中， ，21 12FPRt21sin21PF可求出 ， ，从而 621FP3526cos1PF3022cab所求椭圆方程为 或 0352yx152yx例 5 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ，
4、 ，焦点为 ， ， 是12bayx 1A21F2P椭圆上一点， ， 求： 的面积（用 、 、 表示） 1PA21F21PFab分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积CSsin2解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一象限yx，由余弦定理知： 21F221P1F224cos由椭圆定义知： ，则 得 aP21 cos1221bPF故 sin2121FSPF sinco12bta2例 6 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方03，A6432yxB： P程分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点
5、 动点 到两定点，MP即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，03，A03，B即 点 的轨迹是以 ， 为两焦点，8MPPPAB半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： 7342b 1762yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 7 已知椭圆 ，12yx（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；，A（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程M
6、分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则1yx， 2yxN， MNyxR， ， ， ，yxy2121得 02212111 x由题意知 ，则上式两端同除以 ，有 ，21x21x0212121 xyyx将代入得 021xy（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y21xy 0342yx将代入椭圆方程 得 ， 符合题意， 为所204601643yx求（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21xy yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）211xy 022yxx（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得221
7、1y， ， ， 21214xx 212214yy将代入得： ， 421212x再将 代入式得： ， 即 2121xy 21212 xy 12yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 8 已知椭圆 及直线 142yxmxy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程50解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，mxy142yx1422mx即 ，解得 01252x065222 25（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， x2 521x121x根据弦长公式得 ： 解得 方程为 05412m0my说明：
8、处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例 9 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，132yx 09yxl： M点 应在何处？并求出此时的椭圆方程M分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：如图所示，椭圆 的焦点为 ， 132yx031，F2，点 关于直线
9、的对称点 的坐标为（ 9，6） ，直线 的方程为 1F09l： 2F032yx解方程组 得交点 的坐标为（5，4） 此时 最小yxM21M所求椭圆的长轴： ， ，又 ，56221Fa3ac 因此，所求椭圆的方程为 36522cb 1642yx例 10 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围1352kyxk解：由 得 ，且 ,03,k4满足条件的 的取值范围是 ，且 53k说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ,0k53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆0baba例 11 已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围1cossin22yx)(y分析
10、：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围解：方程可化为 因为焦点在 轴上，所以 cossin122 0sin1co因此 且 从而 0ta)43,2(说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方0sin10cos1(2)由焦点在 轴上，知 ， (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条yco2ain2b件 0例 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程)2,3(A)1,3(B分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为 ( ， )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程
11、12nymx0n解：设所求椭圆方程为 ( ， )由 和 两点在椭圆上可得2 )2,3(A)1,3(B即 所以 ， 故所求的椭圆方程为 ,1)32(2nm,143nm51n152yx例 13 知圆 ，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段，求线段中点 的轨迹2yxPyM分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量(相关点) 求轨迹方程或轨迹解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ， M),( ),(0x20x0y因为 在圆 上，所以 ,(0yxP12yx120y将 ， 代入方程 得 所以点 的轨迹是一个椭20204xM圆 14yx说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方
12、法具体做法如下：首先设动点的坐标为 ，),(yx设已知轨迹上的点的坐标为 ，然后根据题目要求，使 ， 与 ， 建立等式关系，),(0yxxy0从而由这些等式关系求出 和 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于 ， 的方程，化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握例 14 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ，x1F3A两点，求弦 的长BA分析：可以利用弦长公式 求得，4)(11212122 xxkkB也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所以
13、 因为焦点在 轴上，21xkAB 4)(21212xxk6a3b3cx所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 9362y)0,3(F9xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，所以 ，86721x1x2 13721x， ， 从而 13862xk 1348)(1122122 xxkxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， 19362yxmF1n1mAF12nBF2在 中， ，即 ；21FA 3cos212122 AA 1363)( 所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 34m21B46n148n(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭
14、圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ， 的横坐08367213x1x2AB标再根据焦半径 ， ，从而求出 11exaAF2eaB1BFA例 15 椭圆 上的点 到焦点 的距离为 2， 为 的中点，则 （ 为坐标原点）的值为925yxM1FN1MONA4 B2 C8 D 3解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 ，由椭圆第一定义得2F，所以 ，1021aMF8210M又因为 为 的中位线，所以 ，故答案为 AON4ON说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆21F(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的
15、有aMF21关距离例 16 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 上有不同的两点1342yxC： mmxyl4： C关于该直线对称分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1) 直线 ；(2)弦 的中点 在ABl lABM上l利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围解：(法 1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于 点),(1yx),(2yxll),(0yx 的斜率 ，设直线 的方程为 由方程组 消去 得l4lkABnxy41,1342yxny。 于是 ， ，08168322nx 13821 210132400nx即点 的坐标为 点 在直线
16、 上， 解得 M)3,4(Mmxy4mn3将式代入式得 86922mx ， 是椭圆上的两点， 解得 AB 0)48169(34)(22 132(法 2)同解法 1 得出 ， ，n43mx)0，即 点坐标为 mxy 3)(1400M)3,(m ， 为椭圆上的两点， 点在椭圆的内部， 解得 ABM1)4)(22132(法 3)设 ， 是椭圆上关于 对称的两点，直线 与 的交点 的坐标为 ),(1yx),(2yxlABlM),(0yx ， 在椭圆上， ， 两式相减得13411342yx，0)()(321212121 yxx即 4210210 )(421021xyxy又直线 ， ， ，即 。lABlA
17、Bk430y03又 点在直线 上， 。由，得 点的坐标为 以下同解法 2.Mlmxy0 M)3,(m说明：涉及椭圆上两点 ， 关于直线 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：l(1)利用直线 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的AB判别式 ，建立参数方程0(2)利用弦 的中点 在椭圆内部，满足 ，将 ， 利用参数表示，建立参数不等),(0yx 120byax0xy式例 17 在面积为 1 的 中， ， ，建立适当的坐标系，求出以 、 为焦点且过PMN21tan2taNMN点的椭圆方程P解：以 的中点为原点， 所在直线为 轴建
18、立直角坐标系，设 MNNx),(yxP则 即 得.1,2cyx2345cyx且 )32,5(P,43,1152ba.3,452ba所求椭圆方程为 31542例 18 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程)2,4(Pl1962yx l分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或 )yxxy的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ， (或 ， )的值代入计算即21x121得并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为 代入椭圆方程，整理得)4(2xky 0
19、36)4(8)14( 22kxk设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是的两根，,1yA),(2yxB1x2 14)2(821kx 为 中点， ， 所求直线方程为 )2,(PB42k0y方法二：设直线与椭圆交点 ， 为 中点， ， ),(1yx),(2yx),4(PAB821x421又 ， 在椭圆上， ， 两式相减得 ，A362136)(4)(2y即 直线方程为 0)(4)(222121 yyxx )(42121yxxy 082x方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ,(A,8B 、 在椭圆上， 。 AB3642yx 36)()(22yx从而 ， 在方程的图形 上，而过 、 的直线
20、只有一条，直线方程08为 082yx说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题， “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法若已知焦点是 、 的椭圆截直线 所得弦中点的横坐标是 4，则如何求椭圆方程？)0,3(),(082yx（学生版）椭圆标准方程典型例题例 1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值632myx m例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程03，Pba例 3 的底边 ， 和 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨ABC16ACBGA迹例 4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在PP3542P轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程
