1、1高中数学总复习资料汇总（必修 1-5 ）高考数学复习必修 1第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 x在集合 A 中，称 x属于 A，记为 x，否则称 x不属于 A，记作 x。例如，通常用 N，Z，Q，B， Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用 来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的
2、属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数， 0x分别表示有理数集和正实数集。定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为 ，例如 ZN。规定空集是任何集合的子集，如果 A是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。便于理解： 包含两个意思：A 与 B 相等 、A 是 B 的真子集定义 3 交集， .x且定义 4 并集， B或定义 5 补集，若 ,1AxIACI且则 称为 A 在 I 中的补集。定义 6 集合 ,
3、baRxa记作开区间 ),(ba，集合,xb记作闭区间 ,，R 记作 .定义 7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合 A和元素 a，要么 A，要么 a，二者必居其一比如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如， “较大的树” 、 “较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由 a， 2组成一个集合，则 a的取值不
4、能是20或 1（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由 123上组成一个集合，也可以写成 132上组成一个集合，它们都表示同一个集合帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意 a与 的区别 a是集合 的一个元素，而 a是含有一个元素 a的集合，二者的关系是 （2）注意 与 0的区别 是不含任何元素的集合，而 0是含有元素 0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或 R来表示实数集 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合 ()xy上中的元
5、素是 ()xy上，这个集合表示二元方程 yx的解集，或者理解为曲线 上的点组成的点集；集合xy中的元素是 x，这个集合表示函数 yx中自变量 的取值范围；集合中的元素是 y，这个集合表示函数 中函数值 y的取值范围；集合 yx中的元素只有一个（方程 x） ，它是用列举法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有 n 个元素时，有 2n 个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2个非空真子集。二、基础例题（必会）例 1 已知 243AyxxR上， 2ByxxR上，求B正解：22()1 ，3yxx ，1A ， By ，y 解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素） ，均是 y，所以要求出
6、两个集合中 y 的3范围再求交集，A 中的 y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合例 2 若 3247a上，223211(8)7Baa 上，且 25AB上，试求实数a正解：AB=2，5 ，由 3275a，解得 a或 1当 a=1 时， 2与元素的互异性矛盾，故舍去 1a；当 时， 054B上，此时 245AB上，这与 25AB上矛盾，故又舍去 1a；当 2时， A上， 132上，此时 上满足题意，故 a为所求解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：确定性 互异性 无序性三、趋近高考（必懂）1.（2010 年江苏高考 1）设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3 ，
7、则实数a=_方法：将集合 B 两个表达式都等于 3，且抓住集合三大性质。 【答案】1.2.（2010.湖北卷 2.）设集合 A=2(,)|146xy，B= (,)|3xy,则 AB 的子集的个数是（ ）A. 4 B.3 C.2 D.1方法：注意研究元素，是点的形式存在，A 是椭圆，B 是指数函数，有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是 22=4【答案】A集合穿针 转化引线（最新）一、集合与常用逻辑用语3.若2:3840:(1)20pxqx上，则 p是 q的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件解析：2:38
8、40px，即 3x或 2，: 4 :(1)20qx，即 1x或 2， 由集合关系知： pq，而 p 是 q的充分条件，但不是必要条件故选（） 4. 若 kR，则“ 3k”是“方程213xyk表示双曲线”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件解析：方程213xyk表示双曲线()0k或 3故选（A ） 二、集合与函数5.已知集合22PyxQxyxRR上，那么 PQ等于（ ） （A） （0，2） ， （1，1） （B） （0，2） ， （1，1） （C） 1，2 （D） y解析：由代表元素可知两集合均为数集，又 P 集合是函数2yx中的 y 的取值范围，
9、故 P 集合的实质是函数2yx的值域而 Q 集合则为函数 的定义域，从而易知 Q ，选（D ） 评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（）或（） 三、集合与方程6.已知2()100AxpxBxR上，且 AB，求实数 p 的取值范围解析：集合 A 是方程2()的解集，则由 B，可得两种情况： ，则由2()40p，得 40p；方程21x无正实根，因为 12x，5则有0(2)p上于是 0p 综上，实数 p 的取值范围为 4四、集合与不等式7. 已知集合22241(1)()0AaxxaBxmx上，若 B，求实数 m 的取值范围解析：由不等式 2241axx
10、a 恒成立，可得 ()()0 ， （）（1）当 20a，即 2a时， （）式可化为34x，显然不符合题意（2）当 时，欲使（）式对任意 x 均成立，必需满足20a上即 4(2)10a上上解得 Aa 集合 B 是不等式2()(1)0xmx的解集，可求得 ，结合数轴，只要 1即可，解得 五、集合与解析几何例 6 已知集合2()0Axymxy上和 ()102Bxyx上 ，如果 B，求实数 m 的取值范围解析：从代表元素 ()xy上看，这两个集合均为点集，又20xmy及10xy是两个曲线方程，故 AB的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线20xy与线段 1(2)xyx 有公共
11、点，求实数 m 的取值范围 ”6由201(2)xmyx上 ，得2() ， AB，方程在区间0，2上至少有一个实数解首先，由2(1)40m，得 3m 或 1 当 m3 时，由 2()x及 12x知，方程只有负根，不符合要求；当 1 时，由 1及 0知，方程有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间 (0上内，从而方程至少有一个根在区间0，2内综上，所求 m 的取值范围是 第二章、函数一、基础知识（理解去记）定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B ，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。定义 2 函数，映射 f: AB 中，若
12、 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3 -1 的定义域为x|x0,xR.定义 3 反函数，若函数 f: AB （通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，
13、最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y= x1的反函数是 y=1- x1(x 0).补充知识点：定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义 4 函数的性质。（1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD
14、 ，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。（3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在7最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。定义 5 如果实数 aa 记作开区间（a, +） ，集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义 6 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义域。通过画图不难得出函数 y
15、=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0) ；（1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y= 21, u=2-x 在（-,2）上是减函数，y= u1在（0，+）上是
16、减函数，所以 y= x在（-,2）上是增函数。注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。一、基础知识（初中知识 必会）1二次函数：当 a0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 x=-b2，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- ab2，下同。2二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（ -，x0上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=
17、0和不等式 ax2+bx+c0及ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和x|x10，当 x=x0 时，f(x)取最小值 f(x0)= abc42,若 a0)，当 x0m, n时，f(x) 在m, n上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时，f(x) 在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出） 。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意： “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为
18、假，否则为真命题；“p 且q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则q；逆否命题：若非 q 则非 p。一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；
19、如果 pq但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若 p q 且 q p，则 p 是 q 的充要条件。二、基础例题（必懂）1数形结合法。例 1（09.江西） 求方程|x-1|= x1的正根的个数.【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例 2 （2010.广西模拟） 求函数 f(x)= 11362424 xxx的最大值。【解】 f(x)=222 )0()()3()(x，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ，xyx11x9B（0，1） ，则 f(x)表示动点
20、P 到点 A 和 B 距离的差。因为|PA|-|PA|AB|= 10)2(3,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时等号成立。所以 f(x)max= .102.函数性质的应用。例 3 （10、全国） 设 x, yR，且满足 1)(197)(32yyxx，求 x+y.【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2.例 4 （10、全国） 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，则由得 n0
21、。同理有 m+n=0,x=4,但与 m0 矛盾。10综上，方程有唯一实数解 x=.543.配方法。例 7 （经典例题） 求函数 y=x+ 12x的值域。【解】 y=x+ 12x= 2x+1+2 +1-1= 21( +1)-1 -1=- .当 x=- 时，y 取最小值- 21，所以函数值域是 - 21，+ ） 。4换元法。例 8 （经典例题） 求函数 y=( x1+ +2)( 21x+1),x0,1 的值域。【解】令 x1+ =u，因为 x0,1 ，所以 2u2=2+2 24,所以 u2,所以 2u2，12u2，所以 y=u,u2 +2，8。所以该函数值域为2+ ，8。5判别式法。例 9 求函数
22、 y= 432x的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当 y 1 时，式是关于 x 的方程有实根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得 71y1.又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立，所以函数值域为 71，7。6关于反函数。例 10 （10 年宁夏）若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。【证明】设 x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1y2，则因为f(x)在(-,+ )上递增，所以 x1x2 与假设矛盾，所以 y1y2。即 y=f-1(x)在(-,+ )递增。
