1、 高中数学知识点总结第二章 基本初等函数 ()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根当 是奇数时， 的 次方根用,1nxaRxnNxanan符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示；0 的 次方an n根是 0；负数 没有 次方根式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数当 为奇数时， 为任意实数；当 为偶数时，nan a根式的性质： ；当 为奇数时， ；当 为偶数时， ()nana(0)| na（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是： 且 0 的正分数指数幂等于 0(0,m
2、nnN1)正数的负分数指数幂的意义是： 且 0 的负分数指数幂没1)(,mnaa )n有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质 (0,)rsrsaR()(0,)rsrasR ()rrbbr【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称 指数函数定义 函数 且 叫做指数函数(0xya1)101a图象01xyx(,)O101xx(,)Oy定义域 R值域 (0,)过定点 图象过定点 ，即当 时， 1x1y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数R在 上是减函数R函数值的变化情况1(0)()xxa(0)1()xxa变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越高；在第二
3、象限内， 越大图象越低aa2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数(0,1)xaNa且 xaNlogaxNN负数和零没有对数对数式与指数式的互化： log(0,1)xa（2）几个重要的对数恒等式， ， log10al1alba（3）常用对数与自然对数常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 （其中 ） lN10loglnNloge2.718（4）对数的运算性质 如果 ，那么,0,aM加法： 减法：lll()aalloglaaaMN数乘： ognnRlogN 换底公式：ll(0,)baabll(0,1)ogba且【2
4、.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称 对数函数定义 函数 且 叫做对数函数log(0ayx1)101a图象定义域 (0,)值域 R过定点 图象过定点 ，即当 时， (1,)1x0y奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数(0,)在 上是减函数(,)函数值的变化情况log1()l0aaxlog01()laax变化对 图象的影响a在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 如果对于 在()yfxAC()yfx()xyy中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 表示
5、是 的函C()yx x数，函数 叫做函数 的反函数，记作 ，习惯上改写成 ()xyf 1()fy1()yf（7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 中反解出 ；()fx1()f将 改写成 ，并注明反函数的定义域1()xfy1()fx（8）反函数的性质原函数 与反函数 的图象关于直线 对称()f1()yfyx函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域yx1()f01 xyO(,)xlogayx01 xyO(,)xla若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上(,)Pab()yfx(,)Pba1()yfx一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数2.3幂函数（1
6、）幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数yxx（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象y限 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 (0,)(1,)单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数如果 ，则幂函数的图象在0,0上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴(0,)xy奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶
7、函数当 （其中 互质， 和qp,p） ，若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数qZpqqpyxqqyx为奇数时，则 是非奇非偶函数yx图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，其图象在,(0)101xyx1直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下方yx101xyx1yx补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式： 顶点式： 两根式：2()()fxabc2()(0)fxahka（2）求二次函数解析式的方法12()0f已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关
8、时，常使用顶点式若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便x ()fx（3）二次函数图象的性质二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是2()(0)fabc,2ba4(,2bc当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当 时，0a(,2ba,)2ba2bxa；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当2min4()cbfx0a(,)时， 2a2max()4cf二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点2(0)fba240bacx1212(,0),|Mxx（4）一元二次方程 根的分布0()abca一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，
9、这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程 的两实根为 ，且 令 ，从以下四个方20()axbca12,x12x2()faxbc面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符号 bakx 1x 2 xy1x20aOab0)(kf xy1x2Oabk0a0)(fx 1 x2 k xy1x20aOabk0)(kf xy1x2Oabk0a0)(fx 1 kx 2 af(k)00)(kfxy1x2aO xy1x2Ok0a0
10、)(fk 1x 1x 2k 2 xy1x20aOkk)(f)(fab xy1x2O0akk)(f)(fabx有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1x 1（或 x2）k 2 f(k1)f(k2) 0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合xy1x20aOk)(f0)(kf xy1x2O0ak0)(1f0)(fk 1x 1k 2p 1x 2p 2 此结论可直接由推出 （5）二次函数 在闭区间 上的最值()(0)fabc,pq设 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，令 x,pqMm01()2xpq（）当 时（开口向上）0若 ，则 若 ，则 若 ，则2ba()mf2b
11、pqa()bfa2q()mf若 ，则 ，则02bxa()Mfq02bxa()Mfp()当 时(开口向下)若 ，则 若 ，则 若 ，则2bpa()fp2bqa()2bfaq()Mfq若 ，则 ，则 02bxa()mfq02bxa()mfpxy0aOabx2pqf(p)f(q)(xy0aOabx2p qf(p) f(q)()fxy0aOabx2pqf(p)f(q)()2baxy0aOabx2pqf(p)f(q)A0xy0aOabx2pqf(p)f(q)()0Axy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)()xy0aOabx2pqf(p)f(q)2b0A xy0a O abx 2p qf(p) f(q) ()2bxy0aOabx2pqf(p)f(q)2bA0x
