1、数学学习总结资料数学学习专题八 函数中的含参问题纵观近几年高考对于基本初等函数的考查，基本初等函数中的参数问题一直是高考考查的热点问题之一.高考考查参数的常见类型主要有：已知集合之间的包含关系求参数；已知函数的性质求参数；已知函数的零点或方程、不等式有实数解求参数及已知函数图象特征求参数.针对高考考查的常见类型进行归纳整理，抓住基本初等函数的图象与性质，从“数”与“形”两个方面，进行全面系统复习，有助于适应高考的要求，获取高考高分.1 集合关系下求参数问题已知集合之间的关系求参数的范围，是常见题型之一，此类问题常常与函数相结合，其解法通常是借助于数轴，构建不等式（组）或应用函数的性质求解.例
2、1 已知集合 ，2(,)|1Axy，其中 ，若 ，则实数 k 的取值范围是（ ）(,)|0Bxyk,xyRABA B C D033,3,3,)思路分析：由 知，集合 A 表示单位圆上的点，而2()|1xy则表示恒过（0，2）点的直线一侧区域，要使 ，则集合(,)|Bxyk ABA 表示的区域在集合 B 表示的区域里，画图便知当直线 与圆相切时， ，而直线的斜率 k 的范围为 。23k3,例 2 已知集合 ， ，且axA21xB，则实数的取值范围是（ ）RBC数学学习总结资料数学学习A B C D 而2a1a1a2a思路分析：将集合 B 得 ，则 或 ， ，2x|1RBxRBCA通过数轴便知 .
3、22 与函数的奇偶性有关的求参数问题已知函数的奇偶性求参数，通常是应用奇偶函数的定义，构建恒等式，或借助于函数图象的对称性解题.例 3 已知函数 xFe满足 gxh，且,gxh分别是 R上的偶函数和奇函数，若 0,2使得不等式 20gxah恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ,2 B ,2 C 0 D 思路分析：根据函数奇偶性求出 ()2xeg， ()2xeh，表示出(2)(0gxah为2xee，此时利用换元法设 xte，则不等式化为 20tat，分离参数，从而求出的取值范围.点评：换元法经常和数列、超越函数等知识点结合在一起运用局部换元：解决超越方程、数学学习总结资料数学学习超越不等式、超越
4、函数（指数对数和高次函数等）问题，运用三角换元：一般来说具有有界性的式子，都能用三角换元来方便运算，难点是均值换元：均值换元可用在数列求通项和参数方程以及不等式中应用简化运算换元时要注意新元的取值范围不能发生改变 例 4 设定义在区间 上的函数 是奇函(,)a2015()log6mxfx数 ，则 的取值范围是 .(,2016amRam思路分析：根据函数 是奇函数，所以()fx，20152015()loglog66xfx22015log6mx0求得 （2016 舍去） ，所以 由 得6m2015()lf ，所以 （由 得 ） ，从而求出 的取值范围.120x06aaa3 与函数的单调性有关的求参
5、数问题已知函数的单调性求参数，通常是应用增函数、减函数的定义构建不等式（组） ，或应用分离参数法，转化成求函数的最值问题.例 5 已知函数 （ ）在区间2lnfxbR上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）1,2A B C D3,9,4,3,2思路分析：由题意，本题相当于 在区间 上有解，最后将问题转化为不等式0fx1,2210xb在区间 上有解，设 ，结合二次函数的性质，可知只要,21hxbx或20h即可，将和 分别代入，求得结果，取并求得答案.112数学学习总结资料数学学习点评：由该题考查的是函数存在增区间的条件，属于较难题目，在解题的过程中，紧紧抓住导数的应用，转化成不等式在给定区间
6、上有解. 例 6 已知 ，函数 若0a2sin,1,0)()xfxa，则实数 t 的取值范围为 .1()32ft思路分析：分类讨论：当 时，利用正弦函数的单调性得，103；17()sin(),2()2()636fttktkZ当 时，根据 ， 恒成立103a21()fta综合两种情况即得实数 t 的取值范围为 .0,【解析】：点评：本题综合考查分段函数的概念、二次函数与三角函数的性质，以及不等式恒成立问题，题目较为新颖.4 与函数方程有关的求参数问题已知方程有实数解(函数有零点、函数图象有公共点)求参数，通常是通过分离参数，转化成求函数的最值或借助于函数的图象，利用数形结合思想求解.例 7 已知
7、函数 （ 且 ）和函数()logafx01a，若 与 两图象只有 3 个交点，则的取值范围是（ ）sin2g()fxA B 19(,)59(,),72C D3,7153思路分析：由题意得，画出 与 的图像，分别讨论 和 ，观察只有 3()fxg1a0个交点的情况，从而求出 .173a【解析】： 与 的图像如图所示：当 时， 与 两图像只有 3 个交点，()fxg1a()fxg可得 ；59数学学习总结资料数学学习当 时， 与 两图像只有 3 个交点，可得01a()fxg173a所以的取值范围是 ，故答案选 .1(,)5,973D点评：在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题
8、时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数， ，即把方程写成 的形式，这时方程根的个数就是两个函数()yfx()g()fxg图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系 例 8 已知 是定义在 上且周期为 3 的函数，当 时，()fxR0,3x，若函数 在区间 上有 10 个零点（互不相同） ，则实21()f()yfxa,4数的取值范围是 .思路分析：作出函数 的图象，可见 ，当 时，21(),03)fxx1(0)2fx，1()2fx极 大；方程 在 上有 10 个零点，即函数 和图象与直线73()
9、0fxa3,4x ()yfx在ya上有 10 个交点.根据函数 的周期为 3，直线 与函数,4()f a数学学习总结资料数学学习21(),03)fxx的图象应该是 4 个交点，即得 1(,)2a5 与不等式成立（恒成立）有关的求参数问题已知不等式成立（恒成立）求参数，通常是通过解不等式（组）或利用数形结合思想或通过分离参数，使问题转化成研究函数的最值求解.例 9 设函数，若1 (20),()xfx1() ,2,gfx,则实212(log)(l)()a数 的取值范围是（ ）A B C D(0,21,1,22,思路分析：由题意，表示出 由(0),() =12 2,xgxf得 ，讨论212(log)
10、(l)()a2213lo)(lg)a和 ，带入原式，从而求出 的取值范围2l0logaa【解析】：由题意 若1 (20),() =2 ,xxf即212(log)(l)()ag当 时 ，此时223(l)(l)122log0a2loga即为223logla数学学习总结资料数学学习2221312logl1 logaa结合 即 ，可知此时 ；当 时2l0a,20loga，2loga此时 即为23()(l)结合 即222111loglog log02aaa 20loga，取交集即为 ，综上，实数 的取值范围是 .4,点评：本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题解释由已知条件得
11、到 仍为分段函数，讨论 和 两种情况，化()gx2log0a2loga简不等式，解之即可注意每一种情况中求的是交集，而最后两种情况求的是并集 例 10 已知函数 ， 若对任意的 ，不等式2)(xf)0(2,tx恒成立，则实数的取值范围是（ ）2)(xftfA B C D,),22,0(,1,3思路分析：由函数 在 R 上单调递增，对任意的 ，不等式2(xf)(2,tx恒成)(2(xftf立，分别讨论 ， 的情况，将问题转化.0t6 函数综合应用中的求参数问题函数的综合应用问题，往往涉及函数的性质及导数的应用，一般与“恒成立问题”相关，通常是运用转化与化归思想、数形结合思想，灵活处理.例 11
12、已知函数 是定义在 上的增函数，函数()yfxR的图象关于点 对称，若对任意的 ，不等式(1)yfx1,0,xyR恒成立，则 的取值范围是 226(8)fy2数学学习总结资料数学学习思路分析：首先根据奇偶性由原式可得， 又根据单调性化22(61)(8)fxfy简得，可知点 在以 为圆心以 2 为半径的圆内，利用圆的内部22(3)(4)xy(,)y(3,4)各点到原点的距离的最值是圆心到原点的距离加减半径，可得到 的范围 2xy点评：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性、圆的几何性质，属于难题.例 12 已知函数 在 上是增函()lnfxax0,e数，函数 ，当 时，函数 的最大值 与最小值
13、的差为2xge3ln,)(xgMm，则23a思路分析：对原函数进行求导， 在 上是增函数，fx0,e在 恒成立，ln10fxa,e根据 是 上的减函数 的最小值大于等于 0 即可，即y,efx，再 12求出函数的最大值 ，因为函数 的最大值 与最小值 的差为 ，21aMgxMm3223a时， ， 时， ，此时 内单调递减，所以2351,2a30lnx0,ln3数学学习总结资料数学学习函数在 处取得最大值，在 处取最小值， 不符合 ，舍去.0f ln3f 14a3a综合上面的各种类型，解决基本初等函数中的参数问题，要点有：一是对基本初等函数图象与性质的熟练掌握；二是数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等数学思想方法的运用；三是通过对近几年高考类题的总结归纳，积累应对经验.分析可以发现，基本初等函数中的参数问题，涉及函数种类多、题型多，题目的难易不一，因此，在复习中不能好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.
