1、1.2常用逻辑用语一、知识导学1逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“ ”“ ”“ ”表示.2命题：能够判断真假的陈述句 3简单命题：不含逻辑联结词的命题4复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或 q；p 且q；非 p5四种命题的构成：原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q ；逆否命题：若 q 则 p.6原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若 p 则 q” “若 q 则 p ” .7反证法：欲证“若 p 则 q”，从“非 q”出发，导出矛盾，从而知“若 p 则非 q”为假，即“若 p 则 q”为真 . 8充分条件与
2、必要条件 ：p q ：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件； p q ：p 是 q 的充要条件 . 9常用的全称量词：“对所有的” 、 “ 对任意一个” “ 对一切” “ 对每一个” “任给”等；并用符号“ ” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10常用的存在量词：“存在一个” 、 “至少有一个” 、 “有些” 、 “有一个” 、 “有的” 、 “对某个” ； 并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1基本题型及其方法 （1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给 定 两 个 简 单 命 题 能 写 出 它 们 构 成 的 复 合 命 题 ，
3、并 能 利 用 真 值 表 判 断 复 合 命 题 的 真 假 ；（ 3） 给 定 命 题 ， 能 写 出 它 的 逆 命 题 、 否 命 题 、 逆 否 命 题 ， 并 能 运 用 四 种 命 题 的 相 互 关 系 ， 特别 是 互 为 逆 否 命 题 的 等 价 性 判 断 命 题 的 真 假 .注 意 ： 否 命 题 与 命 题 的 否 定 是 不 同 的 .（ 4） 判 断 两 个 命 题 之 间 的 充 分 、 必 要 、 充 要 关 系 ；方 法 ： 利 用 定 义（ 5） 证 明 的 充 要 条 件 是 ；pq方 法 ： 分 别 证 明 充 分 性 和 必 要 性（ 6） 反
4、证 法 证 题 的 方 法 及 步 骤 ： 反 设 、 归 谬 、 结 论 .反 证 法 是 通 过 证 明 命 题 的 结 论 的 反 面 不 成立 而 肯 定 命 题 的 一 种 数 学 证 明 方 法 ， 是 间 接 证 法 之 一 .注 ： 常 见 关 键 词 的 否 定 ：关 键 词 是 都 是 （ 全 是 ） （ ）至 少 有 一 个 至 多 有 一 个 任 意 存 在否 定 不 是 不 都 是 （ 全是 ） （ ）一 个 也 没 有 至 少 有 两 个 存 在 任 意2全称命题与特称命题的关系：全称命题 p: ,它的否定 : ；特称命题 p:)(xpMp)(,xpM,它的否定 :
5、 ；即全称命题的否定是特称命题，特称命题)(xp)(,x的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲例 1 把命题“全等三角形一定相似”写成“若 p 则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，
6、注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.例 2 将下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出否命题.ao 时，函数 y=ax+b 的值随 x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若 ao 时，x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将 ao 看作条件，将“随着”看作结论，而 x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 ao 时，则函数 y=ax+b 的值随着 x 的值增加而增加，其否命题为若 a o 时，则函数 y=ax+b 的值不
7、随 x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将 x 值的增加当做条件，又不把 ao 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： ao 时，若 x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： ao 时，若 x 的值不增加，则函数 y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当 x 的值增加时，若 ao，则函数 y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： 当 x 增加时，若 a o，则函数 y=ax+b 的值不增加.例 3 已知 h0，设命题甲为：两个实数 a、b 满足 ，命题乙为：两个实数h2a、b 满足
8、且 ，那么h|1b|A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件 D甲是乙的既不充分也不必要条件错解： ,hba2hba2)1(ha|1|b|关 键 词 是 都 是 （ 全 是 ） （ ）至 少 有 一 个 至 多 有 一 个 任 意 存 在否 定 不 是 不 都 是 （ 全是 ） （ ）一 个 也 没 有 至 少 有 两 个 存 在 任 意2全称命题与特称命题的关系：全称命题 p: ,它的否定 : ；特称命题 p:)(xpMp)(,xpM,它的否定 : ；即全称命题的否定是特称命题，特称命题)(xp)(,x的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明
9、.三、经典例题导讲例 1 把命题“全等三角形一定相似”写成“若 p 则 q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形
10、不相似，则它们不全等.例 2 将下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出否命题.ao 时，函数 y=ax+b 的值随 x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若 ao 时，x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将 ao 看作条件，将“随着”看作结论，而 x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 ao 时，则函数 y=ax+b 的值随着 x 的值增加而增加，其否命题为若 a o 时，则函数 y=ax+b 的值不随 x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将 x 值的增加当做条件，又不把 ao 看作前提，
11、就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： ao 时，若 x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： ao 时，若 x 的值不增加，则函数 y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当 x 的值增加时，若 ao，则函数 y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： 当 x 增加时，若 a o，则函数 y=ax+b 的值不增加.例 3 已知 h0，设命题甲为：两个实数 a、b 满足 ，命题乙为：两个实数h2a、b 满足 且 ，那么h|1b|A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件 D甲是乙的既不充分也
12、不必要条件错解： ,hba2hba2)1(ha|1|b|故本题应选 C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为 所以,1hba,1hba两式相减得 hba2故 hba2即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于 hb2同理也可得 a因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选 B.例 4 已知命题甲：a+b 4, 命题乙:a 且 b ，则命题甲是命题乙的 .13错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若 a=1 且 b=3 则 a+b=4 成立，所以命题甲是命题
13、乙的充分不必要条件.错因 ：对命题的否定不正确.a 且 b 的否定是 a=1 或 b=3.正解：当 a+b 4 时,可选取 a=1,b=5，故此时 a 且 b 不成立( a=1).13同样，a ,且 b 时，可选取 a=2,b=2,a+b=4，故此时 a+b=4.13因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a 且 b 为真时，必须 a ,b 同时成立.例 5 已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，那么 p 是q 成立的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件分析：本题考查简易逻辑知识.因为 p r s q 但
14、r 成立不能推出 p 成立，所以 ,但 q 成立不能推出 p 成立，所以选 A解：选 A 例 6 已知关于 x 的一元二次方程 (mZ) mx24 x40 x24 mx4 m24 m50求方程和都有整数解的充要条件.解：方程有实根的充要条件是 解得 m 1.,16方程有实根的充要条件是 ，解得0)5(22.45故 m=1 或 m=0 或 m=1. ,.145Z而当 m=1 时，方程无整数解.当 m=0 时，无整数解；当 m=1 时，都有整数.从而都有整数解 m=1.反之， m=1都有整数解.都有整数解的充要条件是 m=1.例 7 用反证法证明：若 、 、 ，且 ， ，abcR12bax12cy
15、，则 、 、 中至少有一个不小于 0 奎 屯王 新 敞新 疆12aczxyz证明： 假设 、 、 均小于 0，即：xyz- ； 12ba- ； c-；02z+得 ，0)1()()1(222cbazyx这与 矛盾，0)1(22cba则假设不成立， 、 、 中至少有一个不小于 0 奎 屯王 新 敞新 疆xyz例 8 已知命题 p:方程 x2 mx1=0 有两个不等的负根；命题 q:方程 4x24( m2)x10 无实根若“ p 或 q”为真， “p 且 q”为假，求 m 的取值范围分析：“ p 或 q”为真，则命题 p、 q 至少有一个为真， “p 且 q”为假，则命题 p、 q 至少有一为假，因
16、此，两命题 p、 q 应一真一假，即命题 p 为真，命题 q 为假或命题 p 为假，命题 q 为真.解： 若方程 x2 mx1=0 有两不等的负根，则 解得 m2，042m即命题 p： m2若方程 4x24( m2) x10 无实根，则 16( m2) 21616( m24 m3)0解得：1 m3.即 q：1 m3.因“ p 或 q”为真，所以 p、 q 至少有一为真，又“ p 且 q”为假，所以命题 p、 q 至少有一为假，因此，命题 p、 q 应一真一假，即命题 p 为真，命题 q 为假或命题 p 为假，命题 q 为真. 3122mm或或解得： m3 或 1 m2.四、典型习题导练1方程
17、至少有一个负根，则（ ）012xA. 或 B. C. D.0m1m1m2 “ ”是“ 或 ”的（ ）34xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3三个数 不全为 0 的充要条件是 （ ）,abcA. 都不是 0. B. 中至多一个是 0.,abcC. 中只有一个是 0. D. 中至少一个不是 0.,abc ,abc4由命题 p:6 是 12 的约数， q:6 是 24 的约数，构成的“ p 或 q”形式的命题是：_ _， “p 且 q”形式的命题是_ _， “非 p”形式的命题是_ _.5若 ，试从,RA. B. C. D. E. F.0ab0ab20a
18、b0ab0ab中，选出适合下列条件者，用代号填空：2（1）使 都为 0 的充分条件是 ；,（2）使 都不为 0 的充分条件是 ；（3）使 中至少有一个为 0 的充要条件是 ；,ab（4）使 中至少有一个不为 0 的充要条件是 6分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或” 、 “且” 、 “非”的真假（1） p: 梯形有一组对边平行； q：梯形有一组对边相等（2） p: 1 是方程 的解； q：3 是方程 的解42x 0342x（3） p: 不等式 解集为 R； q: 不等式 解集为 0117命题：已知 a、 b 为实数，若 x2 ax b0 有非空解集，则 a2 4 b0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假8用反证法证明：若 a、b、c、d 均为小于 1 的正数，且 x=4a(1b)，y=4b(1c)，z=4c(1d)，t=4d(1a)，则 x、y、z、t 四个数中，至少有一个不大于 1
