1、高中数学竞赛校本教材目录1数学方法选讲（1） 12数学方法选讲（2） 113集 合 224函数的性质 305二次函数(1) 416二次函数(2) 557指、对数函数,幂函数 638函数方程 739三角恒等式与三角不等式 7610向量与向量方法 8511数列 9512递推数列 10213数学归纳法 10514不等式的证明 11115不等式的应用 12216排列，组合 13017二项式定理与多项式 13418直线和圆，圆锥曲线 14319立体图形，空间向量 16120平面几何证明 17321平面几何名定理 18022几何变换 18623抽屉原理 19424容斥原理 20525奇数偶数 21426整
2、除 22227同余 23028高斯函数 23829覆盖 24529涂色问题 25630组合数学选讲 2651数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样
3、大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？2线段 AB 上有 1998 个点（包括 A，B 两点），将点 A 染成红色，点 B 染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。这时，图中共有 1997 条互不重叠的线段。问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？31000 个学生坐成一圈，依次编号为 1，2，3，1000。现在进行 1，2 报数：1 号学生报 1后立即离开，2 号学生报 2 并留下，3 号学生报 1 后立即离开，4 号学生报 2 并留下学生们依次交替
4、报 1 或 2，凡报 1 的学生立即离开，报 2 的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？4在 66 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。然后任意划掉 3 行和 3 列，使得剩下的小方格中至少有 1 个是红色的。那么，总共至少要涂红多少小方格？二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。5新上任的宿舍管理员拿着 20 把钥匙去开 20 个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙
5、开哪一个门，现在要打开所有关闭的 20 个门，他最多要开多少次？6有 n 名（n3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。问：是否能够找到三名选手 A，B，C，使得 A 胜 B，B 胜 C，C 胜 A？7n（n3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。8在一个 88 的方格棋盘的方格中，填入从 1 到 64 这 64 个数。问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于 4？三、从整体考虑从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够
6、拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。9右图是一个 44 的表格，每个方格中填入了数字 0 或 1。按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行的数字：1 变成 0，0 变成 1。问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1？10有三堆石子，每堆分别有 1998，998，98 粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案；如不行，请说明理由。11我们将若干个数 x，y，z，的最大值和最小值分别记为 max（x，y，z，）和min（x
7、，y，z，）。已知 a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）课后练习1.方程 x1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn一定有一个自然数解吗？为什么？2.连续自然数 1，2，3，8899 排成一列。从 1 开始，留 1 划掉 2 和 3，留 4 划掉 5 和6这么转圈划下去，最后留下的是哪个数？3.给出一个自然数 n，n 的约数的个数用一个记号 A（n）来表示。例如当 n=6 时，因为 6 的约数有 1，2，3，6 四个，所以 A（6）=4。已知 a1，a 2，a 10是 10 个互不相同的质数，又 x为 a1
8、，a 2，a 10的积，求 A（x）。4.平面上有 100 个点，无三点共线。将某些点用线段连结起来，但线段不能相交，直到不能再连结时为止。问：是否存在一个以这些点中的三个点为顶点的三角形，它的内部没有其余 97个点中的任何一个点？5.在一块平地上站着 5 个小朋友，每两个小朋友之间的距离都不相同，每个小朋友手上都拿着一把水枪。当发出射击的命令后，每人用枪射击距离他最近的人。问：射击后有没有一个小朋友身上是干的？为什么？6.把 1600 粒花生分给 100 只猴子，请你说明不管怎样分，至少有 4 只猴子分的花生一样多。7.有两只桶和一只空杯子。甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满）。现在从甲桶
9、取一满杯奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的牛奶多？为什么？8.在黑板上写上 1，2，3，1998。按下列规定进行“操作”：每次擦去其中的任意两个数 a 和 b，然后写上它们的差（大减小），直到黑板上剩下一个数为止。问：黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？课后练习答案1.有。解：当 n=2 时，方程 x1+x2=x1x2 有一个自然数解：x 1=2，x 2=2；当 n=3 时，方程 x1+x2+x3=x1x2x3 有一个自然数解：x 1=1，x2=2 ，x 3=3；当 n=4 时，方程 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 有一个自然数解：x
10、 1=1，x 2=1，x 3=2，x 4=4。一般地，方程x 1+x2+x3+xn-1+xn=x1x2x3xn-1xn 有一个自然数解：x 1=1，x 2=1，x n-2=1，x n-1=2，x n=n。2.3508。解：仿例 3。当有 3n个数时，留下的数是 1 号。小于 8899 的形如 3n的数是 38=6561，故从 1 号开始按规则划数，划了 8899-6561=2338（个）数后，还剩下 6561 个数。下一个要划掉的数是 238823+1=3507，故最后留下的就是 3508。3.1024。解：质数 a1 有 2 个约数：1 和 a，从而 A（a 1）=2；2 个质数 a1，a
11、2 的积有 4 个约数：1，a 1，a 2，a 1a2，从而A （a 1a2）=4=22；3 个质数 a1，a 2，a 3 的积有 8 个约数：1，a 1，a 2，a 3，a 1a2，a 2a3，a 3a1，a 1a2a3，从而 A（a 1a2a3）=8=23；于是，10 个质数 a1，a 2，a 10 的积的约数个数为A （x）=2 10=1024。4.存在。提示：如果一个三角形内还有别的点，那么这个点与三角形的三个顶点还能连结，与已“不能再连结”矛盾。5.有。解：设 A 和 B 两人是距离最近的两个小朋友，显然他们应该互射。此时如果有其他的小朋友射向他们中的一个，即 A， B 中有一人挨了
12、两枪，那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果没有其他的小朋友射向 A 或 B，那么我们再考虑剩下的三个人 D，E，F：若 D，E 的距离是三人中最近的，则 D，E 互射，而 F 必然射向他们之间的一个，此时 F 身上是干的。6.假设没有 4 只猴子分的花生一样多，那么至多 3 只猴子分的花生一样多。我们从所需花生最少情况出发考虑：得 1 粒、2 粒、3 粒32 粒的猴子各有 3 只，得 33 粒花生的猴子有 1 只，于是 100 只猴子最少需要分得花生3（0+1+2+32）+33=1617 （粒），现在只有 1600 粒花生，无法使得至多 3 只猴子分的花生一样多，故至少有 4 只猴子分的花
13、生一样多。7.一样多。提示：从整体看，甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里有多少酒精，就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。所以，甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。8.奇数。解：黑板上开始时所有数的和为S=1+2+3+1998=1997001 ，是一个奇数，而每一次“操作”，将（a+b）变成了（a-b），实际上减少了 2b，即减少了一个偶数。因为从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，所以最后黑板上剩下一个奇数。例题答案：1分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。然后设想桌面变大，注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的中心，继而把硬币放在
14、后放者所放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。2分析：从最简单的情况考虑：如果中间的 1996 个点全部染成红色，这时异色线段只有 1 条，是一个奇数。然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。解：如果中间的 1996 个点全部染成红色，这时异色线段仅有 1 条，是一个奇数。将任意一个红点染成蓝色时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者增加 2 条（相邻的两个点同为红色），或者减少 2 条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变
15、颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色，则异色小线段的条数不变。综上所述，改变任意个点的颜色，异色线段的条数的改变总是一个偶数，从而异色线段的条数是一个奇数。3分析：这个问题与上一讲练习中的第 8 题非常相似，只不过本例是报 1 的离开报 2 的留下，而上讲练习中相当于报 1 的留下报 2 的离开，由上讲练习的结果可以推出本例的答案。本例中编号为 1 的学生离开后还剩 999 人，此时，如果原来报 2 的全部改报 1 并留下，原来报 1 的全部改报 2 并离开，那么，问题就与上讲练习第 8 题完全一样了。因为剩下 999 人时，第 1 人是 2 号，所以最后剩下的人的号码应比上讲练习中的大 1，是9751=976（号）。为了加深理解，我们重新解这道题。
