1、华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师1高中数学必修 5 数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1. 研究通项的性质例题 1. 已知数列 na满足 11,3(2)na. （1）求 32,；（2）证明： n.解：（1） 2123,14,1aa. （2）证明：由已知nn，故 )()()( 12211ann233n， 所以证得32na. 例题 2. 数列 na的前 项和记为 11,(1)nnSS（）求 的通项公式；（）等差数列 nb的各项为正，其前 项和为 nT，且 35，又123,aba成等比数列，求 n. 解：（）由 12nS可得 12()aS，两式相减
2、得： 1,3nn，又 21aS 2 故 是首项为 1，公比为 3 的等比数列 3n（）设 b的公比为 d，由 315T得，可得 1235b，可得 2b故可设 135,，又 23,9a，由题意可得 ()(9)(，解得 12,0d等差数列 n的各项为正， 0 2()3nTn例题 3. 已知数列 na的前三项与数列 nb的前三项对应相同，且 213.a128na对任意的 *N都成立，数列 n1是等差数列. 求数列 n与 b的通项公式；是否存在 k，使得 (0,)ka，请说明理由. 点拨：（1） 2113.8na左边相当于是数列 12na前 n 项和的形式，可以联想到已知 nS求 的方法，当 时， 1
3、nnSa. （2）把 kb看作一个函数，利用函数的思想方法来研究 kb的取值情况. 华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师2解：（1）已知 213a 1na8(*N）2n时， 2 2)n）得， 8n，求得4n，在中令 ，可得得 11，所以4na(N*）. 由题意 1b， 2， 3b，所以 214b， 32b，数列 n的公差为 )(， 1n)1(46n，2321n()8 74(*N）. （2） kba7k4k，当 4时，2()f单调递增，且 (4)1f，所以 k时， 14fkk， 又 (1)2(3)0f ，所以，不存在 *N，使得 (,)kba. 例题 4. 设各项均为正数的
4、数列a n和b n满足：a n、b n、a n+1 成等差数列，b n、a n+1、b n+1成等比数列，且 a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项 an，b n 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 a n、b n 为正数， 由得 21211,nnn baba， 代入并同除以 1n得： 2 ， n为等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j b 1 = 2 ， a2 = 3 ， 9,21b则， 2)1(),1()9)( nnn，当 n2 时， 21bnn，又 a
5、1 = 1，当 n = 1 时成立， )(a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2. 研究前 n 项和的性质例题 5. 已知等比数列 n的前 项和为 nSab，且 13a. （1）求 a、 b的值及数列 a的通项公式；华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师3（2）设nba，求数列 nb的前 项和 nT.解：（1） 2时， aS12.而 n为等比数列，得 aa12，又 3a，得 ，从而 3na.又 13,b.（2） 12nnb， 2()n nT2311(n nT） ，得 21(1)32n nT，11)4()322nn n.例题 6. 数列 na是首项为 1000
6、，公比为 10的等比数列，数列 bn满足12(lglg)k kba*()N，（1）求数列 n的前 项和的最大值；（2）求数列 |n的前 项和 nS. 解：（1）由题意：410n， l4n，数列 lga是首项为 3，公差为的等差数列， 12()lglg32kaa，1()732nb由 10nb，得 67n，数列 n的前 项和的最大值为 6721S. （2）由（1）当 时， 0b，当 7时， 0n，当 7n时，212313()24nnS当 时，12789n nSbb 27121()4nSb23()41nn. 例题 7. 已知递增的等比数列 na满足 2348a，且 32a是 ， 4的等差中项. （1
7、）求 na的通项公式 ；（2）若12lognnb， 1nSb 求使230nS成立的 的最小值. 华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师4解：（1）设等比数列的公比为 q（q1） ，由 a1q+a1q2+a1q3=28，a 1q+a1q3=2（a 1q2+2） ，得：a 1=2，q=2 或 a1=32，q= 2（舍）a n=22（n1） =2n（2） 2lognb，S n=（12+22 2+323+n2n）2S n=（12 2+223+n2n+1） ，S n=2+22+23+2nn2 n+1=（n1）2 n+12，若 Sn+n 2n+1 30 成立，则 2n+132，故 n4
8、，n 的最小值为 5. 例题 8. 已知数列 na的前 n 项和为 Sn，且 1,na成等差数列， *1,Na. 函数3()logfx. （I）求数列 n的通项公式；（II）设数列 nb满足1(3)(2nnfa，记数列 nb的前 n 项和为 Tn，试比较5213nT与的大小. 解：（I） 1,nSa成等差数列， 1nS 当 2时， 1nSa. 得： 12()nn， 3a，13.n当 n=1 时，由得 12Sa， 又 1,221,aa是以 1 为首项 3 为公比的等比数列， 1.n（II） xlogf， 33()loglnnf， ()()(212nnbf，111)2435673Tnn()n5,1
9、2()3比较 123与的大小，只需比较 2()n与 312 的大小即可. 2()(56)510n2(5)10n *,Nn当 *9N与时，(3,;3T与当 10时，22()312,;1nT与当 *n与时，5(),3nn与. 3. 研究生成数列的性质例题 9. （I ） 已知数列 nc，其中 nn2，且数列 npc1为等比数列，求常数 p；华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师5（II） 设 na、 b是公比不相等的两个等比数列， nnbac，证明数列 nc不是等比数列. 解：（）因为c n+1pc n是等比数列，故有（c n+1pc n） 2=（ cn+2pc n+1） （c
10、 npc n 1） ，将 cn=2n3 n 代入上式，得2n1 +3n1 p（2 n3 n） 2=2n2 +3n2 p（2 n+13 n+1） 2n+3np（2 n1 3 n 1） ， 即（2p）2 n+（3p）3 n2=（2p）2 n+1+（3p）3 n+1 （2p）2 n 1+（3p）3 n 1，整理得 6（2p） （3p）2 n3n=0，解得 p=2 或 p=3. （）设a n、b n的公比分别为 p、q，pq，c n=an+bn. 为证c n不是等比数列只需证 2c 1c3. 事实上， 2=（ a1pb 1q） 2= p2 bq22a 1b1pq，c1c3=（a 1b 1） （a 1
11、p2b 1q2）= 1p2 q2a 1b1（p 2q 2） . 由于 pq，p 2q 22pq，又 a1、b 1 不为零，因此 c1c3，故c n不是等比数列. 例题 10. n2（ n4）个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 a24=1， 163,8442a 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求 S=a11 + a22 + a33 + + ann 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解： 设数列 1k的公差为 d， 数列 ik（i=1 ，2，3， ，n）的公
12、比为 q 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j则 1k= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dq k1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j依题意得： 163)2(8)(14324qda，解得：a 11 = d = q = 21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j又 n2 个数都是正数， a 11 = d = q = ， a kk = k 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j nS 213212 ， 142，两式相减得： nS21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j华师大教育 祈福分校电话：020-347
13、74470 钟老师6例题 11. 已知函数 3()log()fxab的图象经过点 )1,2(A和 ),5(B，记()*3,.fnaN（1）求数列 na的通项公式；（2）设 nbTb21,，若 )(ZmT，求 的最小值；（3）求使不等式12)1()(21 paan对一切 *Nn均成立的最大实数 p.解：（1）由题意得 )5(log3b，解得 1b，)12(l)(3xf*)12(log,3nann（2）由（1）得 nb， nnT21325311 1132 225nnnT 得 )212(12 n 1n1n23. nn2nn3T，设*,)(Nf，则由 15231)32(5)(11 nnnfn得*,Nf
14、随 的增大而减小当时， nT又 )(Zmn恒成立， 3min（3）由题意得*21)1(2Naap 对恒成立记)(1)(2nnF，则1n2)1()n(42)32(1n )a()(a1132)(1 ,0)FF即是随 的增大而增大 华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师7)(nF的最小值为 32)1(F， 32p，即 32maxp.（二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比数列.例题 12. 数列 na中， 2,841a且满足 nnaa12， *N.求数列 的通项公式；设 |21nnS ，求 nS；设 b= ()na* *12(), ()NnnTb ，是否存在最大的整数 m，使
15、得对任意 *，均有 3m成立？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意， nna12， n为等差数列，设公差为 d，由题意得 28d， 82()102.（2）若 50则 ， |, nnaS时 212192naa6n时， naaS 76555()40nn故 4092（3）11()()2()nnban，nT 1 ()234n .2(1)n若 3m对任意 *Nn成立，即 16mn对任意 *N成立，*()1n的最小值是 2，,的最大整数值是 7. 即存在最大整数 ,7使对任意 *n，均有.32nT例题 13. 已知等比数列 nb与数列 a满足 ,nabN*. （1）判断 na是何
16、种数列，并给出证明；（2）若 813120,m与. 解：（1）设 n的公比为 q， 3na， qlog1na3q3na1nan。所以 n是以 3log为公差的等差数列. （2） 81,a所以由等差数列性质可得 120813,m1312020()am120()1ab华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师82. 由简单递推关系证明等差等比数列例题 14. 已知数列 na和 b满足：1a， 2， 0na， 1nnba（ *N） ，且 nb是以 q为公比的等比数列. （I）证明：2nq；（II）若 21nc，证明：数列 nc是等比数列；（III）求和： 123421naaa. 解法
17、 1：（I）证：由1nbq，有21nnq， *Nnqa2n. （II）证： 2na，22131naq， 2n2n2qa.a，21()5ncq. n是首项为 5，公比为 的等比数列. （III）解： 由（ II）得221nna，22nqa，于是12213212421()()nn na a 421 2()()nqqaqq 2123()n. 当 q时， 242122131()nnaaqq 3. 当 时， 242122()nn 23()nq23(1)nq. 故2122 11.()nn qqaa ， ，华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师9解法 2：（I）同解法 1（I）. （II
18、）证： 222*2211 ()Nnnnncaqaq，又 125ca，n是首项为 5，公比为 2的等比数列. （III）由解法 1 中（II）的类似方法得 22211()3nnnaaq，34221221 nnaa ，24213kkkkq， 1， ， ， . 2n2n221 q.a.a . 例题 15. 设数列 0,1,)1(, 其 中且项 和 为的 前 nnn aS（1）证明：数列 是等比数列；（2）设数列 na的公比 ()qf，数列 nb满足 1，b n=f （b n1 ） （nN *， n2） ，求数列 nb的通项公式；（3）设 1，(1)nnCb，求数列 nC的前 n 项和 n. （1）证
19、明：由 11()(2)SaSa相减得：1,2,nna数列 n是等比数列（2）解： 1nb是首项为 12b，公差为 1 的等差数列，12()1nb. nb. （3）解： 时1,(),()(nnaCa 21()3nT得：nnn2112T所以：4()()nnn. 华师大教育 祈福分校电话：020-34774470 钟老师10例题 16. OBC的各个顶点分别为 (0,)1,(2)，设 1P为线段 BC的中点， 2P为线段OC 的中点， 3P为线段 1的中点 . 对每一个正整数 3n为线段 1n的中点. 令 n的坐标为 (,)nxy， 22nnay. （1）求 321,a及 ,()Nn；（2）证明：
20、4y（3）记 ,()nnb，证明： nb是等比数列 . （1）解：因为 y1=y2=y4=1， y3=12，y 5= 4，所以 得 a1=a2=a3=2. 又由 3n，对任意的正整数 n 有an+1= 123n=112n= 122nny=an 恒成立，且 a1=2， 所以a n为常数数列， an=2， （n 为正整数）（2）证明：根据124ny， 及 12=an=2， 易证得 yn+4=1 4n（3）证明：因为 bn+1= 4n84=（14ny）（14y）=1b，又由 b1= 48y=1 y4= ， 所以b n是首项为1，公比为 的等比数列. 【模拟试题】一、填空题1. 在等差数列a n中，已知 a 1=2，a 2+a 3=13，则 a 4+a 5+a 6等于= . 2. 已知数列的通项 5，则其前 n项和 nS . 3. 首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差 d的取值范围是 . 4. 在等比数列 n中， 3和 5 是二次方程 20xk 的两个根，则 642a的值为 .
