高中数学解析几何总结(非常全).doc

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1、1高中数学解析几何第一部分 :直线1、 直线的倾斜角与斜率1.倾斜角 (1)定义:直线 l 向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角 。(2)范围: 1802.斜率:直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.tank( 1) .倾斜角为 的直线没有斜率。9( 2) .每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于 轴x时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 (3)设经过 和 两点的直线的斜率为 ,),(1yxA),(2yBk则当 时, ;当 时, ;斜率不存在;2121tanxk21xo90二

2、、直线的方程1.点斜式:已知直线上一点 P(x 0,y0)及直线的斜率 k(倾斜角 )求直线的方程用点斜式:y-y0=k(x-x0)注意: 当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 ;0x2.斜截式:若已知直线在 轴上的截距(直线与 y 轴焦点的纵坐标)为 ,斜率为 ,则y bk直线方程: ;特别地,斜率存在且经过坐标原点的直线方程为:bkxy xy注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。3.两点式:若已知直线经过 和 两点,且( 则直线的方程:),(1y),(2x2121,x;1212xy注意:不能表示与 轴和 轴垂直的直线;y当两点式方程写成如下

3、形式 时,方程可以适应在0)()(1212 xyx于任何一条直线。4 截距式:若已知直线在 轴, 轴上的截距分别是 , ( )则直线方程:yab,;1byax注意:1).截距式方程表不能表示经过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。2).横截距与纵截距相等的直线方程可设为 x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为 x-y=a5 一般式:任何一条直线方程均可写成一般式: ;( 不同时为零);0CByAxBA,2反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意:直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数 是否为 0 才能确定。CBA,指

4、出此时直线的方向向量: , , ),(),(AB22,BA(单位向量);直线的法向量: ;(与直线垂直的向量),6(选修 4-4)参数式 ( 参数)其中方向向量为 ,btyax0 ),(ba单位向量 ; ; ;22,aak2|tPo点 对应的参数为 ,则 ;21,P21,t2121|bt( 为参数)其中方向向量为 , 的几何意义为 ;sinco0tyxt )sin,(cot|oP斜率为 ;倾斜角为 。a)0(3、两条直线的位置关系位置关系 2211:bxkyl 0:2211CyBxAl平行 ,且11(A1B2-A2B1=0)2重合 ,且21k21b2121CA相交 2121B垂直 21k 01

5、A设两直线的方程分别为: 或 ;当 或221:bxyl:02211CyBxAl 2k时它们相交,交点坐标为方程组 或121BA21bk解;02211Cyx3注意:对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如: ),(),(21BA对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如 0,),(21BA若两直线的斜率都不存在,则两直线 平行 ;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0 ,则两直线垂直。对于 来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。因此,此公式使用021BA起来更方便斜率相等时,两直线平行(或重合);但两直线平行(或重合)时,斜率不一定相等,因为斜率有可能不存在。四、两直线的交

6、角(1) 到 的角:把直线 依逆时针方向旋转到与 重合时所转的角;它是有向角,其范l21l 2l围是 ; 0注意: 到 的角与 到 的角是不一样的;旋转的方向是逆时针方向;绕“定点”1l22l1是指两直线的交点。(2)直线 与 的夹角:是指由 与 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角),1l21l2它的取值范围是 ;0(3)设两直线方程分别为: 或2211:bxkyl0:2211CyBxAl若 为 到 的角, 或 ;1l212tan21tan若 为 和 的夹角,则 或 ;1l2 12tk21tBA当 或 时, ;021k021BAo9注意:上述与 有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,

7、而且两直线互不垂直;当有一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理。直线 到 的角 与 和 的夹角 : 或 ;1l21l2)2()2(5、点到直线的距离公式:1.点 到直线 的距离为: ;),(0yxP0:CByAxl 20|BACyxd42.两平行线 , 的距离为: ;0:11CByAxl 0:22CByAxl 21|BACd六、直线系:(1)设直线 , ,经过 的交点:11yxl 0:222l 21,l的直线方程为 (除去 );)(CyBxACBAl如: ,即也就是过 与 的交点 除去 0kxykxy 1x),(0x的直线方程。直线 恒过一个定点 。5)12()(: mml注意:推广到过曲线

8、与 的交点的方程为: ;0,yxf 0),(2yxf 0)()21xff(2)与 平行的直线为 ;:CBAl 1CBA(3)与 垂直的直线为 ;yxyx七、对称问题:(1)中心对称:点关于点的对称:该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点 关于 的对称),(baA),(dcC点 )2,(bdac直线关于点的对称:、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程;、求出一个对称点,在利用 由点斜式得出直线方程;21/l、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如:求与已知直线 关于点 对称的直线 的方程。063:1yxl )1,(P2l(2)轴对称

9、:点关于直线对称:、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。如:求点 关于直线 对称的坐标。)5,3(A043:yxl直线关于直线对称:(设 关于 对称)ba,l、若 相交,则 到 的角等于 到 的角;若 ,则 ,且 与 的距ba,l la/lb/a,l5离相等。、求出 上两个点 关于 的对称点,在由两点式求出直线的方程。aBA,l、设 为所求直线直线上的任意一点,则 关于 的对称点 的坐标适合),(yxPPlP的方程。如:求直线 关于 对称的直线 的方程。042:a014

10、3:yxl b八、简单的线性规划:(1)设点 和直线 , ),(0yxP:CByAxl若点 在直线 上,则 ;若点 在直线 的上方,则00Pl;)(0CByAx若点 在直线 的下方,则 ;Pl )(0CByAx(2)二元一次不等式表示平面区域:对于任意的二元一次不等式 ,)(当 时,则 表示直线 上方的区域;0B0CByAx 0:ByAxl表示直线 下方的区域 ;yAx:l当 时,则 表示直线 下方的区域;yx:Cyxl表示直线 上方的区域 ;0CByx 0:BAl注意:通常情况下将原点 代入直线 中,根据 或 来表示二元一次),(yx0不等式表示平面区域。(3)线性规划:求线性目标函数在线性

11、约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生),(yx产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意:当 时,将直线 向上平移,则 的值越来越大; 0B0BAByAxz直线 向下平移,则 的值越来越小 ;yAxyxz当 时,将直线 向上平移,则 的值越来越小; yxyxz直线 向下平移,则 的值越来越大 ;0ByxByAxz6如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),目标函数取得最小值的最优解有无数个,则 为 ;ayxza第二部分:圆与方程2.1 圆的标准方程: 圆心 ,半径22)()(rbyax

12、),(bCr特例:圆心在坐标原点,半径为 的圆的方程是: .22yx2.2 点与圆的位置关系:1. 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r:(1)点在圆上 d=r;(2) 点在圆外 dr;(3)点在圆内 dr 2.给定点 及圆 .),(0yxM22)()(:byaxC 在圆 内 在圆 上 0rMC2020)()rbyax( 在圆 外 22)(yx2.3 圆的一般方程: .0FED当 时,方程表示一个圆,其中圆心 ,半径 .042FED2,EDC24FEDr当 时,方程表示一个点 .22,当 时,方程无图形(称虚圆).04注:(1)方程 表示圆的充要条件是: 且 且022 FEyDxCyBxA 0

13、B0CA.2FED圆的直径系方程:已知 AB 是圆的直径 0)()(),(),( 212121 yxyxA2.4 直线与圆的位置关系: 直线 与圆 的位置关系BA22)()(rbyax有三种,d 是圆心到直线的距离,( 2Cbad(1) ;(2) ;(3)0交r 0交r。d2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为 O1,O 2,半径分别为 r1,r 2, 。dO21(1) ;(2) ;交交421rd 交交3rxyO A(1,1) B(5,1)C(4,2)7(3) ;(4) ;交交22121 rdr 交交121rd(5) ;交交210r外离 外切 相交 内切 内含2.6 圆的切线方程:1.直线与圆

14、相切:(1)圆心到直线距离等于半径 r;(2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜率互为负倒数)2.圆 的斜率为 的切线方程是 过圆 上一点2ryxkrkxy2102FEyDx的切线方程为: .),(0P 0200 FyEDx一般方程若点(x 0 ,y0)在圆上,则( x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2.特别地,过圆 上一点 的切线方程为 .2rx),(P0ryx若点(x 0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b) 则 ,联立求出 切线方程.1)(2001Rakybxk2.7 圆的弦长问题:1.半弦 、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形,满足勾股定理:2L22dRL2.弦长公式(设而不

15、求): 4)(121212xxkyAB)( )(第三部分:椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义:平面内与两定点 F1,F 2距离的和等于常数 的点的轨迹叫21Fa做椭圆,即点集 M=P| |PF1|+|PF2|=2a,2a|F 1F2|=2c;这里两个定点 F1,F 2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。( 时为线段 , 无轨迹)。ca2221ca212标准方程: 2ab8焦点在 x 轴上: (ab0); 焦点 F(c,0)12ya焦点在 y 轴上: (ab0); 焦点 F(0, c) 2x注意:在两种标准方程中,总有 ab0, 并且椭圆的焦点总在长轴上;22cb一般形式表示: 或者

16、 21xymn),0(1nmnyx二椭圆的简单几何性质:1.范围(1)椭圆 (a b0) 横坐标-axa ,纵坐标-bxb12yx(2)椭圆 (ab0) 横坐标-bxb,纵坐标-axa22.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点(1)椭圆的顶点:A 1(-a,0),A 2(a,0),B 1(0,-b),B 2(0,b)(2)线段 A1A2,B 1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4离心率(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比 ,即 称为椭圆的

17、离心率,2ca记作 e( ), 奎 屯王 新 敞新 疆 10221()bee 越接近于 0 (e 越小),椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1 (e 越大),椭圆越扁;注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0e1)的点的轨迹为椭圆。( )edPF|9焦点在 x 轴上: (ab0)准线方程:12y cax2焦点在 y 轴上: (ab0)准线方程:2xy2小结一:基本元素(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量), 特征三角形(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点)(3)基本线:对称轴(共

18、两条线)5椭圆的的内外部(1)点 在椭圆 的内部 .0(,)Pxy21(0)xyab201xyab(2)点 在椭圆 的外部 .0(,)2()206.几何性质 (1) 焦半径(椭圆上的点与焦点之间的线段): caMFca(2)通径(过焦点且垂直于长轴的弦) bAB2(3)焦点三角形(椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形): 其中2tan21bSFM21MF7 直线与椭圆的位置关系:(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消 y(或 x)得到关于 x 的一元二次方程,根据判别式的符号判断位置关系:没 有 交 点相 离 有 一 个 交 点相 切 相 交有 两 个 交 点0联立 消 y 得:012CBy

19、Axba2212212 0BbAaCxbax10联立 消 x 得:012CByAxba2212212 0BbAaCybay(2)弦中点问题:斜率为 k 的直线 l 与椭圆 交于两点),0(12nmnymx是 AB 的中点,则:),(),(21yxBA、 )( 0,M02yxkAB(3)弦长公式: 4)(121212xxky)( )(第四部分:双曲线双曲线标准方程(焦点在 轴) )0,(12bayx标准方程(焦点在 轴)y)0,(12baxy第一定义:平面内与两个定点 , 的距离的差的绝对值是常数(小于 )的点的1F2 12F轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。aMF2121定义第二定义:平面内与一个定点 和一条定直线 的距离的比是常数 ,当 时,动点Fle1的轨迹是双曲线。定点 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 ()叫做双曲线的离心率。1exyP12xyP 1F2

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