1、集合的概念与集合的表示概 念 把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性质 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性元素不重复元素无顺序列举法 元素间用“，” 隔开写清楚集合中元素的代号，如xR|x0 ，不能写成x2；说明该集合中元素的性质；集合表示方法描述法 所有描述的内容都写在大括号内。元素与集合的关系一般地，用大写拉丁字母如 A、B、C 表示集合，用小写拉丁字母a、b、c 表示集合中的元素，如果 a 是集合 A 中的元素就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a A。常用数集及其记法N 为零和正整数组成的集合，即自然数
2、集，N *或 N+为正整数组成的集合；Z 为整数组成的集合；Q 为有理数组成的集合，R 为实数组成的集合。例题 1 判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）R=R；（2）方程组 的解集为x=1，y=2；12xy（3）x|y=x 21=y|y=x 21= （x，y）|y=x 21；（4）平面内线段 MN 的垂直平分线可表示为P|PM=PN 。答案：（1）R=R 是不正确的，R 通常为 R=x|x 为实数，即 R 本身可表示为全体实数的集合，而R则表示含有一个字母 R 的集合，它不能为实数的集合。（2）方程组 的解集为x=1，y=2是不对的，因为解集的元素是有序实数对12xy（x，y） ，正确答案
3、应为（x ，y） | =（1，2）。x（3）x|y=x 21=y|y=x 21= （x，y）|y=x 21是不正确的。x|y=x21表示的是函数自变量的集合，它可以为x|y=x 21=x|x R=R。y|y=x21表示的是函数因变量的集合，它可以为y|y=x 21=y|y 1 。（x，y）|y=x 21 表示点的集合，这些点在二次函数 y=x21 的图象上。（4）平面上线段 MN 的垂直平分线可表示为P|PM=PN ，该命题是正确的。知识点拨：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为（x，y）| 的形式；对?yx描述法
4、表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。例题 2 已知 a1 ，1，a 2，则 a 的值为_。答案：a1，1，a 2，a 可以等于 1，1，a 2。（1）当 a=1 时，集合则为1，1，1 ，不符合集合元素的互异性。故 a1。（2）同上，a=1 时也不成立。（3）a=a 2 时，得 a=0 或 1，a=1 不满足，舍去，a=0 时集合为1，1，0 。综上，a=0。知识点拨：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。随堂练习：下列各组对象中不能构
5、成集合的是（ ）A. 高一（1）班全体女生 B. 高一（1）班全体学生的家长C. 高一（1）班开设的所有课程 D. 高一（1）班身高较高的男同学知识点拨：根据集合的概念进行判断。因为 A、B、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而 D 中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合。若将 D 中“身高较高的男同学”改为“身高 175 cm 以上的男同学”，则能构成集合。答案：D判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性， （2）互异性， （3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，
6、而不是模棱两可。例题 判断以下对象能否组成集合。（1）高一（1）班的身高大于 1.75 m 的学生；（2）高一（1）班的高个子学生。答案：（1）高一（1）班中身高大于 1.75 m 的学生是确定的，因此身高大于 1.75 m 的学生可以组成集合。（2）高一（1）班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合。（答题时间：15 分钟）1. 下列集合表示法正确的是（ ）A. 1，2，3，3B. 全体有理数C. 00D. 不等式 x32 的解集是x| x52. 下列语句集合x|00 且 y0。因此集合 M 表示第二、四象限内的点集。6. （0，6） ， （1，5） ， （2，4 ） ，
7、 （3，3） ， （4，2） ， （5，1 ） ， （6，0）集合的运算子 集 真 子 集定 义对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，称集合 A 为集合 B 的子集若集合 A B，但存在元素 x B，且 xA，称集合 A 是集合 B 的真子集符号语言 若任意 xA，有 xB，则 A B。 若集合 A B，但存在元素 x B，且 xA，则 A B表示方法A 为集合 B 的子集，记作 A B 或 BA。A 不是 B 的子集时，记作 A B 或 BA。若集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB 或 B A。性 质 A A AA B，B C A CA B，且 B
8、 C A C子集个数 含 n 个元素的集合 A 的子集个数为2含 n 个元素的集合 A 的真子集个数为12空 集 不含任何元素的集合，记为 。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为A；若 A 非空（即 A ），则有 A。集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，或 xB。（3）图形语言（Venn 图）表示： 。2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，且
9、 xB。（3）图形语言表示（Venn 图）： 。3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素所组成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集。（2）符号语言表示： A=x|xU ，且 x A。（3）图形语言表示（Venn 图）： ，阴影部分表示 A。例题 1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。（1） 表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3不是3，2，1 ；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1 ；（5）如果 A B 且 AB，那么 B 必是 A 的真子集；（6）A B 与 B A 不能同时成立
10、。思路导航：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即答案：（1）不正确。应该改为： ，表示这个集合的元素是 。（2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。这是因为空集与空集相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。由此也发现了，如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等。（3）不正确。1，2，3与3，2，1 表示同一集合。（4）不正确。0，1的所有子集是0，1，0，1 ， 。（5）正确。（6）不正确。A=B 时，A B 与 B A 能同时成立知识点拨：结合本题，要注意以下几点：（1） 不表示空集，它表示以空集为
11、元素的集合，所以（1）不正确。空集有专用的符号“ ”，不能写成 ，也不能写成 。（2）分析空集、子集、真子集的区别与联系。（3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应，而不必考虑各元素的顺序。（4）不正确。注意到 是每个集合的子集。所以这个说法不正确。（5）正确。A B 包括两种情形： A B 和 A=B。（6）不正确。A=B 时，A B 与 B A 能同时成立。例题 2 已知集合 A=x|ax23x+2=0，aR ，若 A 中元素至多只有一个，求 a 的取值范围。知识点拨：对于方程 ax23x+2=0，a R 的解，要看这个方程左边的
12、二次项的系数，a=0 或 a0 时，方程的根的情况是不一样的。则集合 A 的元素也不相同，所以首先要分类讨论。答案：（1）a=0 时，原方程为3x+2=0 x= ，符合题意；32（2）a0 时，方程 ax23x+2=0 为一元二次方程，=9 8a0 a 。89当 a 时，方程 ax23x+2=0 无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。89综合（1） （2） ，知 a=0 或 a 。89例题 3 设集合 Ax|xa|1，xR ，B x|1x5，xR 。若 AB，则实数 a的取值范围是（ ）A. a|0a6 B. a|a2 或 a4C. a|a0 或 a6 D. a|2a4知识点拨：本题主要考查
13、绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。由|x a|1 得 1xa1 ，即 a1 xa1。AB可以分两种情况来讨论，一种是 A 集合在 B 集合的左边，一种是 A 集合在 B 集合的右边。如图，由图可知 a11 或 a15，所以 a0 或 a6。答案：C随堂练习：满足1，3A=1 ，3，5 的所有集合 A 的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4知识点拨：根据 AB 的定义可知，集合1 ，3，5应该是集合 1，3和 A 的元素并在一起构成的集合，所以 A 中必有元素 5，且其他元素只能从 1，3 中选出一个或两个或不选，因此 A 有四种可能：5，1，5，3 ，5，1 ，
14、3，5。答案：D（答题时间：15 分钟）1. 集合 A2，3，5，当 xA 时，若 x1A，x1A，则称 x 为 A 的一个“孤立元” ，则 A 中孤立元的个数为_个。2. 设5x| x2ax 50，则集合x|x 24xa0 中所有元素之和为_。3. 用另一种方法表示下列集合。（1）绝对值小于 2 的整数；（2）能被 3 整除，且小于 10 的正数 ；（3）x| x| x|， x5 且 xZ；（4）3，1，1，3，5。4. 下面三个集合x| yx 2 1；y|y x 21 ；（x，y）| yx 21。（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？5. 已知 M1，2，3，9，若 aM
15、 且 10a M，则集合 M 的个数为（ ）A. 29 B.30 C.32 D.316. 设集合 SA 0，A 1，A 2，A 3，在 S 上定义运算 为:A i AjA k，其中 k 为 i+j 被 4除的余数，i，j0，1，2，3，则满足关系式（x x） A2A 0 的 x（x S）的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 设全集 I1，2，3， ，9 ，A，B 是 I 的子集，若 AB1，2，3 ，就称集对（A，B ）为“好集” ，那么所有“ 好集”的个数为（ ）A. 6！ B. 62 C. 26 D. 361. 1解析：当 x2 时，x 11A，x13A，2 不是孤立元
16、；当 x3 时，x12A，x14 A，3 不是孤立元；当 x5 时，x14A，x 16A，5 是孤立元。2. 2解析：5x| x2ax 5 0，5 是方程 x2ax 50 的根。（5） 25a50，a4。x 24xa0 即 x24x40，x 1x 22。又集合中的元素是互异的，x|x 2 4xa02 。3. 解：（1）列举法表示为1，0，1 。（2）列举法表示为3，6，9。（3）列举法表示为0，1，2 ，3，4 。（4）描述法表示为x| x2n1，1n3，nZ。4. 解：（1）是互不相同的集合。（2）集合x| yx 21的代表元素是 x，满足条件 yx 21 中的 xR，x|y x21R；集合
17、y| yx 21的代表元素是 y，满足条件 yx 21 的 y 的取值范围是 y1。y|y x21y|y 1；集合（x，y）|y x 21的代表元素是（ x，y） ，是满足 yx 21 的数对（x，y）的集合；也可以认为是坐标平面内的点（x，y） ，由于这些点的坐标满足 yx 21，（x，y）|yx 21抛物线 yx 21 上的点。5. D解析：由题意，知 M且 1 与 9，2 与 8，3 与 7，4 与 6 这 4 组数都要满足：每组数的某一个数在集合 M 中，这组数的另一个也必定在集合 M 中，所以集合 M 的个数为。5453251 CC6. B解析：本题考查学生阅读理解能力与根据信息解决
18、问题的能力。xA 0 时， （x x）A2 A2A0；xA 1 时， （x x） A2A 2 A2A 0；xA 2 时， （x x） A2A 0 A2A 2A0；xA 3 时， （x x） A2A 2 A2A 0；所以选 B。7. D 解析：要使 AB1，2，3 ，必须满足集合 A，B 中都含有元素 1，2，3，且对全集中的其他 6 个元素中的每一个，要么在集合 A 中，要么在集合 B 中，或既不在 A 中也不在 B 中，于是这 6 个元素所在集合的不同情况有 3333333 6 种。而这 6 个元素所在集合的不同情况种数即为“好集”的个数。故选 D。集合的应用有关集合运算的性质（1）AB=B
19、A；AA=A；A =A。 A B A B A (B) A B （2）AB=BA ；AA=A；A = 。 A B A B A (B) A B （3） （ A） A=R；（ A） A= ； （ A）=A。（4）AB=A A B；A B=B A B；AB=A AB=B。（5） （AB）= （ A）（ B） ， （AB）=（ A）（ B） 。例题 1 设 A、 B、I 均为非空集合，且满足 A B I，则下列各式中错误的是（ ）A. （ A）B=I B. （ A）（ B）=IC. A（ B）= D. （ A） （ B）= B答案：对 A 选项， （ A）B= （A（ B） ）=I；对 B 选项， （
20、A）（ B）= （AB）= A；对 C 选项，A（ B）= （ AB）= ；对 D 选项， （ A）（ B）= （A B）= B。综上所述，应选 B。知识点拨：（1）可根据题意画出韦恩图，借助于图形的直观性，对照选项A、B 、 C、D 即可求解。（2）根据题意 A B I 构造集合 A、B、I，不妨设 A=1 ，B=1，2 ，I= 1，2，3 ，利用特殊值代入法可求解。（3）根据集合的反演律求解，即 （AB）=（ A）（ B） ； （AB ）=（ A）（ B） 。例题 2 已知集合 A=a，b，B=x|xA ，C=x|x A，试判断 A、B、C 之间的关系。知识点拨：B 中元素 x 的取值来源
21、于 A，C 中元素是 A 的子集。集合 B 中的代表元素是 x，x 满足的条件是 xA，因此 x=a 或 x=b，即 B=a，b=A ，而集合 C 则不然，集合C 的代表元素虽然也是 x，但 x 代表的是集合，x A，因此， x=a或 x=b或 x=a，b或 x= ，即 C= ，a，b，a，b，此时集合 C 中的元素是集合，故BC ，AC。A=B，B C，AC。答案：A=B，BC，AC。知识点拨：对于元素与集合、集合与集合之间的、 关系要理解透彻， “”用于描述元素与集合之间的关系，即只要元素 a 是构成集合 A 的一个元素，则 aA ，如1 与1，2，尽管1 是一个集合，但 1是构成集合1
22、，2的一个元素，故11 ，2，“ ”用于描述集合与集合之间的关系，如 1，2，3 1，2，3，4。例题 3 某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有 27 人，参加物理竞赛的有 25 人，参加化学竞赛的有 27 人，其中参加数学、物理两科的有 10 人，参加物理、化学两科的有 7 人，参加数学、化学两科的有 11 人，而参加数、理、化三科的有4 人，画出集合关系图，并求出全班人数。思路导航：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化成符号语言，借助于韦恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解。设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为 A、
23、B、C，由题意可知A、B 、 C 三集合中元素的个数分别为 27、25、27，AB 、BC、AC、ABC 的元素个数分别为 10、7、11、4。画出韦恩图：可知全班人数为 10+13+12+6+4+7+3=55（人） 。答案： 全班人数 55 人。点评：能正确使用一些集合符号把文字语言转化成符号语言、图形语言，是我们把实际问题转化成数学问题的关键，它实现了实际问题向数学问题的转化。1. 解有关集合的交、并、补集时，可根据题设条件构造出一些新的数学形式（韦恩图或符合题设条件的集合 A、B、I） ，并借助它认识和解决原问题，这种构造法对解好选择题有很大的帮助。2. 一般来说，元素与集合之间应该用“
24、 ”或“” ；而“ ， ”应该出现于集合与集合之间； 作为特殊集合应遵从 A， A（非空） 。但这不是绝对的，选择的关键在于具体分析二者的关系。例1， 21，2，1，而 ，1 ， ，1 都是对的。（答题时间：15 分钟）1. 若 A、B、C 为三个集合， ABBC ，则一定有（ ）A. AC B. CA C. AC D. A 2. 若集合 A1，2，x，4，B x 2，1，AB1，4 ，则满足条件的实数 x 的值为（ ）A. 4 B. 2 或2 C. 2 D. 23. 设集合 S2，1，0，1，2，Tx R|x+12 ，则 （ST）等于（ ）A. B. 2 C. 1，2 D. 0，1，24. 设 U 为全集，M、P 是 U 的两个子集，且（ M）P P ，则 MP 等于（ ）A. M B. P C. P D. 5. 设集合 M x|xR 且1x2 ，N x|xR 且|x| a，a0，若 MN ，那么实数 a 的取值范围是（ ）A. a1 B. a1 C. a2 D. a26. 设满足 y|x1| 的点（x，y）的集合为 A，满足 y|x|+2 的点（x，y）的集合为B，则 AB 所表示图形的面积是_。7. 设 Ax|x 2+4x0 ，B x|x 2+2（a+1）x+a 210，若 ABB，求 a 的值。
