1、高中函数大题专练、对定义在 0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数 ()fx称为 G函数。 对任意的 ,x，总有 ()0fx； 当 1212时，总有 1212()()fff成立。已知函数 ()g与 ()xha是定义在 ,上的函数。（1）试问函数 x是否为 G函数？并说明理由；（2）若函数 ()是 函数，求实数 的值；（3）在（2）的条件下 ，讨论方程 (21)(xghm)R解的个数情况。3.已知函数 |21)(xf.（1）若 ，求 的值；（2）若 0)(tmftf对于 2,3t恒成立，求实数 m的取值范围.4.设函数 )(xf是定义在 R上的偶函数 .若当 0x时，1,()0fx;.x（1）
2、求 )(f在 ,0)上的解析式.（2）请你作出函数 (xf的大致图像.（3）当 ab时，若 )(afb，求 a的取值范围.（4）若关于 x的方程 0(2cxf有 7 个不同实数解，求 ,bc满足的条件.5已知函数 ()(0)|bfxax。（1）若函数 f是 ,上的增函数，求实数 b的取值范围；（2）当 b时，若不等式 ()fx在区间 (1,)上恒成立，求实数 a的取值范围；（3）对于函数 ()gx若存在区间 ,mn，使 ,xmn时，函数 ()gx的值域也是 ,mn，则称 ()gx是 ,mn上的闭函数。若函数 ()fx是某区间上的闭函数，试探求 ab应满足的条件。6、设 xxf2)(，求满足下列
3、条件的实数 a的值：至少有一个正实数 b，使函数的定义域和值域相同。7对于函数 )(xf，若存在 R0 ，使 0)(xf成立，则称点 0(,)x为函数的不动点。（1）已知函数 )()(2abxf 有不动点（1 ，1）和（-3，-3）求 a与 b的值；（2）若对于任意实数 ，函数 )0(2abxf 总有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）若定义在实数集 R 上的奇函数 )(g存在（有限的） n 个不动点，求证： n必为奇数。8设函数 )0(1)(xxf， 的图象为 1C、 关于点 A（2，1）的对称的图象为 2C，2C对应的函数为 g. （1）求函数 )(xy的解析式；（2）若直线 b与 2
4、C只有一个交点，求 b的值并求出交点的坐标 .9设定义在 ),0(上的函数 )(xf满足下面三个条件：对于任意正实数 a、 b，都有 )()1abfb； (2)f；当 1x时，总有 ()1fx.（1）求 2)(f及 的值；（2）求证： ),0()在xf上是减函数.10 已知函数 )(xf是定义在 2,上的奇函数，当 )0,2x时，321)(xtf（ t为常数） 。（1）求函数 )(f的解析式；（2）当 6,t时，求 )(xf在 0,2上的最小值，及取得最小值时的 x，并猜想)(xf在 20上的单调递增区间（不必证明） ；（3）当 9t时，证明：函数 )(xfy的图象上至少有一个点落在直线 14
5、y上。11.记函数 27xf的定义域为 A， Rabaxxg,02l 的定义域为 B，（1）求 A： （2）若 ，求 a、 b的取值范围12、设 1,01axfx。（1）求 f的反函数 f： （2）讨论 x1在 .上的单调性，并加以证明：（3）令 galo，当 nmn,1,时， xf1在 nm,上的值域是mn,，求 的取值范围。13集合 A 是由具备下列性质的函数 )(xf组成的：(1) 函数 )(xf的定义域是 0,； (2) 函数 )(xf的值域是 2,4)；(3) 函数 在 0,上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数 1()()fx，及 21()46()0xfx是否属于集合 A？并
6、简要说明理由（）对于（I）中你认为属于集合 A 的函数 )(f，不等式 )1(2)()xffx，是否对于任意的 0x总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论14、设函数 f(x)=ax 2+bx+1（a,b 为实数）,F(x)= )0()xf（1）若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) 0成立，求 F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当 x 2,时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。（3） （理）设 m0,n0,a0 且 f(x)为偶函数，求证： F(m)+F(n)0。15函数 f(x)= bax(a，b 是非零实常数)，满足 f(2)=1
7、，且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。(1)求 a、b 的值； (2)是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(mx)=4 恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点 A(3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。函数大题专练答案、对定义在 0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数 ()fx称为 G函数。 对任意的 ,x，总有 ()0fx； 当 1212时，总有 1212()()fff成立。已知函数 ()g与 ()xha是定义在 ,上的函数。（1）试问函数 x是否为 G函数？并说明理由；（2）若函数 ()是 函数，求实数 的值；（3）在（2）的条件下 ，
8、讨论方程 (21)(xghm)R解的个数情况。解：（1） 当 0,1x时，总有 0，满足 ， 当 122x时， 21112gxgx() ()，满足 （2）因为 h（x）为 G 函数，由 得，h(0) ,由得，h(0+0) h(0)+h(0)0所以 h(0)=0,即 a-1=0,所以 a=1； （3）根据（）知： a=1，方程为 x42m， 由x021得 01, 令 xt,，则 22tt4() 由图形可知：当 m0,时，有一解；当 (,)()时，方程无解。 对于函数 )(xf，若存在 R0 ，使 0)(xf成立，则称点 0(,)x为函数的不动点。（1）已知函数 )()(2abxf 有不动点（1
9、，1）和（-3，-3）求 a与 b的值；（2）若对于任意实数 ，函数 )0(2abxf 总有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）若定义在实数集 R 上的奇函数 )(xg存在（有限的） n 个不动点，求证： n必为奇数。解：（1）由不动点的定义： 0)(f， 0)1(2bxa代入 x知 1a，又由 3x及 1知 3b。 ， b。（2）对任意实数 ， )0()(2af 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数 ，方程 0xf总有两个相异的实数根。 )1(2bax中 4)1(2b，即 4b恒成立。故 0)(2a， 1a。故当 0时，对任意的实数 ，方程 xf总有两个相异的不动点。 .1（3） )(
10、xg是 R 上的奇函数，则 0)(g，（0，0）是函数 )(xg的不动点。若 有异于（ 0，0）的不动点 ,x，则 0)(。又 0)()(xx， )(0是函数 x的不动点。 g的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， 所以有 k2个（ N） ，加上原点，共有 12kn个。即 n必为奇数 设函数 )0(1)(xxf， 的图象为 C、 关于点 A（2，1）的对称的图象为 2C， 2C对应的函数为 g. （1）求函数 )(xy的解析式；（2）若直线 b与 2C只有一个交点，求 b的值并求出交点的坐标 .解 （1）设 ),(vup是 xy1上任意一点， uv1 设 P 关于 A（2 ，1）对称的点为
11、yvxyxQ24),( 代入得 124xyxy);,4(),(412)( xxg（2）联立 ,09)6(2bxxyb04)94()6(22 b或 ,4（1）当 0b时得交点（ 3，0） ； （2）当 时得交点（ 5，4）.9设定义在 ),(上的函数 )(xf满足下面三个条件：对于任意正实数 a、 b，都有 )()1abfb； (2)0f；当 1x时，总有 ()1fx.（1）求 2)(f及 的值；（2）求证： ),0(在x上是减函数.解（1）取 a=b=1，则 1.(1)fff故 又 ()(2)f. 且 20.得： f（2）设 ,021x则： 222111()()()(xxffff1()fx21
12、()f依 ,1221可 得再依据当 x时，总有 ()fx成立，可得 21()xf 即 0)(12ff成立，故 ,0在f上是减函数。10 已知函数 )(x是定义在 2,上的奇函数，当 )0,2x时，32)(xtf（ t为常数） 。（1）求函数 )(f的解析式；（2）当 6,t时，求 )(xf在 0,2上的最小值，及取得最小值时的 x，并猜想)(xf在 20上的单调递增区间（不必证明） ；（3）当 9t时，证明：函数 )(xfy的图象上至少有一个点落在直线 14y上。解：（1） ,x时， 0,2x， 则 332)(21) xtxtf ， 函数 )(f是定义在 ,上的奇函数，即 fx， f，即 32
13、xt，又可知 f，函数 )(的解析式为 31)(xt ，,x；（2） 21xtf， 6,t， 0,2x， 012xt， 2783123222 tttxtxf ， 221xt，即 36,2tx)0,(时， tf96min 。猜想 )(f在 ,0上的单调递增区间为 3,t。（3） 9t时，任取 221x，0212121 xtxfxf， f在 ,上单调递增，即 ,ff，即 42,txf，9t， 142,4tt， ,1，当 9时，函数 )(xfy的图象上至少有一个点落在直线y上。11.记函数 27xf的定义域为 A， Rabaxxg,012l 的定义域为 B，（1）求 A： （2）若 ，求 a、 b的
14、取值范围解：（1） ,32,023027xx ，（2） 1abx，由 BA，得 a，则 aorxb1，即,2,B， 0123ab62b。12、设 ,01axfx。（1）求 f的反函数 f1： （2）讨论 x1在 .上的单调性，并加以证明：解：（1） 11logxfa或 （2）设 21x， 021221 x 0a时， xff， f在 .上是减函数： 1a时，211xf， 1在 .上是增函数。13集合 A 是由具备下列性质的函数 )(xf组成的：(1) 函数 )(xf的定义域是 0,； (2) 函数 的值域是 24)；(3) 函数 )(xf在 ,上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数 1(0
15、)x，及 21()46()0xfx是否属于集合 A？并简要说明理由（）对于（I）中你认为属于集合 A 的函数 )(xf，不等式 )1(2)()xffx，是否对于任意的 0x总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论解：（1）函数 2)(1f不属于集合 A. 因为 1()f的值域是 ,),所以函数2)(xf不属于集合 A.(或 490,54x当 时 ，不满足条件.)x)(6420在集合 A 中, 因为: 函数 2()fx的定义域是 0,)； 函数 f的值域是 ,4； 函数 2()fx在 ,)上是增函数（2） 0416)1(2)() xfxf ，不 等 式对于任意的 x总成立14、设函数 f
16、(x)=ax 2+bx+1（a,b 为实数）,F(x)= )0()xf（1）若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) 0成立，求 F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当 x 2,时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。（3） （理）设 m0,n0,a0 且 f(x)为偶函数，求证： F(m)+F(n)0。解：（1） f(-1)=0 1ab由 f(x)0 恒成立 知=b 2-4a=(a+1) 2-4a=(a-1) 20 a=1 从而 f(x)=x 2+2x+1 F(x)= )()(2x，（2）由（1）可知 f(x)=x 2+2x+1 g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1，由于 g(x)在 2,上是单调函数,知- k或- k，得 k-2 或 k6 ，（3） f(x)是偶函数，f(x)=f(x)，而 a0 )(xf在 ,0上为增函数对于 F(x)，当 x0 时-x0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，F(x)是奇函数且 F(x)在 0上为增函数，m0,n-n0 知 F(m)F(-n)F(m)-F(n)
