1、 必修五知识点总结- 1 -必修五 知识点总结第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， ，则有CAabcAC2sinisinabcR( 为 的外接圆的半径)R2、正弦定理的变形公式： ， ， ；sinaA2sinbR2sincC ， ， ；R ；:sin:siabc3、三角形面积公式： 111nsinsin222CSbcabCacA4、余弦定理：在 中，有 ，推论：coaAbca2o，推论： Babs22，推论：Cbcco22abc2cos二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要
2、多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于 180；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；s必修五知识点总结- 2 -（3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC，其中 R 是ABC 外接圆半径.（5）在余弦定理中:2bc cosA= 22ac.（6）三角形的面积公式有:S = 1ah, S= 21absinC= bcsinA= 21acsinB
3、, S=)()(cPbaP其中，h 是 BC 边上高，P 是半周长.2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.（3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：化边为角；化角为边.4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在 ABC 中 ， A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC； cos(A
4、+B)= cosC； tan(A+B)= tanC。2sinco,2ssinCBACBA；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半（3）在ABC 中，熟记并会证明：A，B ， C 成等差数列的充分必要条件是 B=60；ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a， b， c 成等比数列.三、解三角形的应用必修五知识点总结- 3 -1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度 和水平宽度 的比叫做坡度，用 表示，根据hli定义可知：坡度是坡角的正切，即 .tanil h2.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂
5、面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 .注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。4. 方向角：相对于某一正方向的水平角.5.视角：由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角必修五知识点总结- 4 -第二章：数列知识要点一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成 ，简记为数列 ，其中第一
6、项 也成为首项； 是数列的第 项，也123,na na1ana叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集 （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应N的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列 的第 项 与项数 之间的函数关系可以用一个式子表示成 ，那么这个式nan naf子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列 ，na必修五知识点总结- 5 -如果从第二项起，每一项都大于它前
7、面的一项，即 ，那么这个数列叫做递增数列;1na如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做递减数列;如果数列 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.na5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即 （常数） ，这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.1nad2、等差数列的通项公式：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则通项公式为：na1d.1 ,nmdnN、3、等差中项：（1）若
8、成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且 ;aAb、 、 Aab=2abA（2）若数列 为等差数列，则 成等差数列，即 是 与 的等差中项，且n 12,n1n2n；反之若数列 满足 ，则数列 是等差数列.21=n 2=na4、等差数列的性质：（1）等差数列 中，若 则 ，若 则na,mnpqnpqN、 、 、 mnpqaa2mnp，；2mnpa必修五知识点总结- 6 -（2）若数列 和 均为等差数列，则数列 也为等差数列；nabnab（3）等差数列 的公差为 ，则d为递增数列， 为递减数列， 为常数列.0nd0n0nda5、等差数列的前 n 项和 ：nS（1）数列 的前 n 项和 = ；a 1
9、231,naaN（2）数列 的通项与前 n 项和 的关系：nnS1.,2nnS（3）设等差数列 的首项为 公差为 ，则前 n 项和na1,d1=.2nnad6、等差数列前 n 和的性质：（1）等差数列 中，连续 m 项的和仍组成等差数列，即a 12122, ,mmaaa ,仍为等差数列（即 成等差数列） ；223ma 23,mmSS（2）等差数列 的前 n 项和 当 时， 可看作关于 na21 1=,ndanan0dnS的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列 共有 2n+1（奇数）项，则 若等差数列na 11=,nSaSn奇奇 偶 偶中 间 项 且共有 2n（偶数）项，则na 1=.nSd
10、偶奇偶 奇且7、等差数列前 n 项和 的最值问题：nS设等差数列 的首项为 公差为 ，则a1,d（1） （即首正递减）时， 有最大值且 的最大值为所有非负数项之和；0d且 nSnS（2） （即首负递增）时， 有最小值且 的最小值为所有非正数项之和.且必修五知识点总结- 7 -三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示（ ）.q0即 ，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.1naq为 非 零 常 数2、等比数列的通项公式：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则通
11、项公式为：na1q.1,nmaqN、3、等比中项：（1）若 成等比数列，则 叫做 与 的等比中项，且 ;aAb、 、 Aab2=Aab（2）若数列 为等比数列，则 成等比数列，即 是 与 的等比中项，且n 12,n1n2n；反之若数列 满足 ，则数列 是等比数列.12=n =n4、等比数列的性质：（1）等比数列 中，若 则 ，若 则na,mnpqnpqN、 、 、 mnpqa2np，；2mnpa（2）若数列 和 均为等比数列，则数列 也为等比数列；nbnab（3）等比数列 的首项为 ，公比为 ，则na1q为递增数列， 为递减数列，110naq或 110naaq或为常数列.n必修五知识点总结-
12、8 -5、等比数列的前 n 项和：（1）数列 的前 n 项和 = ；anS1231,naaN（2）数列 的通项与前 n 项和 的关系：nn 1.,2nnS（3）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则na10q1,.nnaq由等比数列的通项公式及前 n 项和公式可知，已知 中任意三个，便可建立方程组求出另外1,naS两个.6、等比数列的前 n 项和性质：设等比数列 中，首项为 ，公比为 ，则a1a0q（1）连续 m 项的和仍组成等比数列，即 12122, ,mmaa ,仍为等比数列（即 成等差数列） ；223 3,SS（2）当 时， ，1q11111nnnnnaqaaaSqqq设 ，则 .1atn
13、t四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列 恒有：na必修五知识点总结- 9 -（1） 12132431n naaaa（2） 41231,0,nn N3、递推数列的类型以及求通项方法总结：类型一（公式法）：已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()naf na1,()2nnSa类型二（累加法）：已知：数列 的首项 ,且 ，求 .na1,nafnNna通 项给递推公式 中的 n 依次取 1,2,3，n-1,可得到下面 n-1 个
14、式子：1,nafN2132431, , .nf ff利用公式 可得：11243n naaa1 1.nafff类型三（累乘法）：已知：数列 的首项 ,且 ，求 .na1,nfNana通 项给递推公式 中的 n 一次取 1,2,3，n-1,可得到下面 n-1 个式子：1,nafN 2341231,.naffff利用公式 可得：41231,0,nnaN1 .nafff类型四（构造法）：形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用qpann1 nnqpa1pbk,待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。k 解法：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换qpann1 )(1taptnn pqt1元法转
15、化为等比数列求解。必修五知识点总结- 10 - 解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，nnqpa1 1nq得： 引入辅助数列 （其中 ） ，得： 再应用nn11 nbnqabpnn1的方法解决。qpann1类型五（倒数法）：已知：数列 的首项 ,且 ，求 .na1,0,nnparNqna通 项1111nnnnnnnnpaqrrqrpp设 ，1,.nnb则 1nnqb若 则 ，即数列 是以 为公差的等差数列.,rp11=nnqppnbqp若 则 （转换成类型四）.,1nnrb五、数列常用求和方法1.公式法直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.2.分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.
