1、试卷第 1 页，总 18 页高中数学解析几何复习题1已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程是 y x，它的一个焦点在抛物线 y224x 的准线上，则2xayb 3双曲线的方程为( )A. 1 B. 1C. 1 D. 1【答案】B236x08y29x7y208x36279【解析】由双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程是 y x，则 ，抛物线 y224x 的准线方2xayb 3ba3程为 x6，知c6，c6， 6，由得 a3，b3 ，则双曲线的方程为 1.2ab 29x72已知椭圆 1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB的中点坐标为2ayb(
2、1，1)，则 E的方程为 ( )A、 1 B、 1 C、 1 D、 1【答案】245x36y2x7y27x8y2x9yD；【解析】设 1(,)Axy、 2(,)B，所以212xyab，运用点差法，所以直线 AB的斜率为2bka，设直线方程为2(3)byxa，联立直线与椭圆的方程 2224()690abxba，所以2126xb；又因为29，解得 2,18ba.3椭圆 C： 43xy的左右顶点分别为 12,A，点 P在 C上且直线 2A斜率的取值范围是 2,1，那么直线1PA斜率的取值范围是（ ）A 3,4 B ,8 C 1, D 3,14【答案】B【解析】设 P点坐标为 0(,)xy，则201y
3、， 20PAykx， 102PAykx，于是 12200234PAkx，故 1234PAPAk. 2,k 13,84PAk.故选 B.4已知双曲线 C: 1(a0，b0)的离心率为 ，则 C的渐近线方程为 ( )2ay5A、y= x （B）y= x （C）y= x （D）y=x1132【答案】C；试卷第 2 页，总 18 页【解析】251cbea，故214ba，即 2，故渐近线方程为 12byxa.【学科网考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.5若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合,则 的值为（ ）2ypx21xypA B C D 【答案】C4抛物线 的焦点坐标为 ，
4、由双曲线 方程可得 ， ，故双曲线的右2(,0)222ab224cab焦点坐标为 ，所以 .(,0),4p6已知 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若 是正三角形，则这21F1F 2F个椭圆的离心率是（ ）A B C D 【答案】C232323由条件，得 ， ，即 ， ，1123|FbcaA2aac20ac，解得 （负值舍去） ，故选 C203ee7已知抛物线 的准线过双曲线 的左焦点且与双曲线交于 A、B 两点，O 为坐标原点，且24yx21(0,)xyabAOB 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）A B4 C3 D2【答案】D3解:抛物线 的准线方程为:
5、 ,由题意知,双曲线的左焦点坐标为 ,即2yxx 10c且 ,因为AOB 的面积为 ，所以， ，即：2,bbAcBaa3221ba2ba3所以， ，解得： ， 故应选 D.2131212cea8如图，抛物线 的焦点为 F，斜率 的直线 过焦点 F，与抛物线交于 A、B 两点，若抛物线的2(0)ypxkl准线与 x轴交点为 N，则 （ ）tanAA 1 B C D 【答案】C22 ， ， ， ， ，2pxy20ypyp(1)Ayp3(12)(2)Apx试卷第 3 页，总 18 页 ， .(2)Apdx12tanANF9已知双曲线 的一个焦点在圆 上，则双曲线的渐近线方程为19ym2450xyA
6、B C D 【答案】B34yx43x3324yx用 m表示在圆上的焦点坐标（ ，0） ，代入圆的方程，求出 m的值，然后即可求出双曲线的渐近线方程.+910设 F是双曲线 的右焦点，双曲线两渐近线分另。为 l1，l 2过 F作直线 l1的垂线，分别交 l1，l 2于21xyabA，B 两点若 OA, AB, OB成等差数列，且向量 与 同向，则双曲线的离心率 e的大小为( )BFAA. B. C. 2 D. 【答案】D32 52由条件知， ，所以 ，则 ，于是 .因为向量 与OAB2+OBA:3:4AB4tan3AOBBF同向，故过 作直线 的垂线与双曲线相交于同一支而双曲线 的渐近线方程分别
7、为 ，故F1l 21xyab0xyab，解得 ，故双曲线的离心率 .2431()ba2ab52cea11直线 过点，那么直线 倾斜角 的取值范围是（ ） 。llA、0, ) B、0, , )C、 , D、0, ( , )【答案】B42442【正解】 点 A 与射线 0) 上的点连线的倾斜角，选 B。),1(22m0yx(112已知直线 和直线 ，则直线 与 （ ） 。sin:xylcyl:2l2A.通过平移可以重合 B.不可能垂直 C.可能与 轴围成等腰直角三角形 D.通过 上某一点旋转可以重合【答案】Dx1l【正解】只要 ，那么两直线就相交，若相交则可得到（D）12sia13直线 的倾斜角是
8、（ ） 。A. B. C. ),2(,tnxy 2D. 【答案】D【正解】 由题意得：= 在0，内正切 )tan(t ),0(),2(值为 的角唯一 倾斜角为14设 F1 和 F2 为双曲线 的两个焦点，点在双曲线上且满足 ，则 的面积是142yx 921PF21PF试卷第 4 页，总 18 页A.1 B. C.2 D. 【答案】 A255【正解】 14yx,Ca4|21PF16|2| 2211 PF又 联立解得9021PF221)5(| |21PF21S15直线 ，当 变化时，直线被椭圆 截得的最大弦长是（ ）kxy 142yxA.4 B.2 C. D.不能确定【答案】C34【正解】直线 ，
9、恒过 P(0,1)，又是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆的弦长即为点 P 与椭圆上任意一1kxy点 Q 的距离，设椭圆上任意一点 Q 。)sin,co2( 5sin2i3)1(sin)co2(| 2PQ，故选 C36|3sin2maxP时 ，当 34|max16过点 A（ ，0 ）作椭圆 的弦，弦中点的轨迹仍是椭圆，记为 ,若 和 的离心率分别为1:21byC 2C12和 ，则 和 的关系是（ ） 。A. B. 2 C.2 D.不能确定【答案】Aeeeee【正解】设弦 AB 中点 P（ ，则 B（ 由 + =1， + =1*),yx),2yx2)(x24by2)(ax24by422bac=
10、22abe2e17已知 P为抛物线 21xy上的动点，点 P在 x轴上的射影为 M，点 A的坐标是 )217,6(，则 PMA的最小值是（ ）A、8 B、 9 C、10 D、 21【答案】B抛物线 yx2的焦点为 21,0F，点 P到准线的距离为 d。则 2121FdP，所以当 P，A，F 三点共线时最小为 9A.18在平面直角坐标系 xOy中， M为不等式组20138xy，所表示的区域上一动点，则直线 OM斜率的最小值为 A.2 B.1 C. 31 D. 2【答案】C【解析】画出可行域得该区域为点 ,0,1形成的三角形，因此 OMk的最小值为 10.3试卷第 5 页，总 18 页19过点（
11、，0）引直线 与曲线 21yx 交于 A,B两点 ，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 的斜率等于（ ）A. B.- C. D- 【答案】B【解析】画图可知过点（ ，0）的直线与曲线相切时斜率为-1,所以相交成三角形的直线斜率在（-1,0）之间20已知直线 ，若 ，则 的值为（ ）12:35,:(31)20lxaylaxy12/laA、 B、 C、 D、 或 【答案】D66 016【解析】 12/l，则 ，所以 或 .2()0621已知直线 l1： ,l2： ,若 ,则 a的值为)(ayx3)1(yax21lA0 或 2 B0 或一 2 C2 D-2【答案】B【解析】因为 ，所以
12、有 ，即 ，解得 或 ，故选 B.1l(1)()02022直线 y=kx+3与圆（x2） 2+（y3） 2 =4相交于 A，B 两点，若|AB|=2 ，则 k=（ ）3（A） （B） （C） （D） 【答案】B3 3【解析】由圆的方程可知圆心为 ，半径为 2。圆心到直线 3ykx的距离 。因为2,3 231kkd，所以 ，解得 。故 B正确。24ABd21kd3k23已知直线 1:0lxy与直线 :0lmxy平行，则实数 m的取值为（ ）A. 2B.C. 2 D. 【答案】A【解析】直线 斜率为 ，直线 斜率为 ，因为两直线平行所以 。故 A正确。1l2l 1224 “ ”是“直线 与直线 垂
13、直”的（ ）m0)1(ymx 03myxA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时，两直线方程分别为 ，满足两直线的斜率乘积为 ，直线互相垂132,x1直；反之，直线 与直线 垂直，则有 ，解得02)(yx 0y3(21)0m，故“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分而不必要条件，0m或 m)1(mxyx选 A.25直线 与圆 的位置关系为（ ）1yx21y试卷第 6 页，总 18 页A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心 D相离【答案】B【解析】圆心 为到直线 ，即 的距离 ，而 ，选 B。 (0,)1yx0y12d0126若
14、过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为（ ） A 4,l2() l 3,B C D 【答案】C(3,)3,3(,)【解析】设直线方程为 ，即 ，直线 与曲线 有公共点，(4)ykx40kyl2()1xy圆心到直线的距离小于等于半径 ，21d得 ，选择 C2214,3k另外，数形结合画出图形也可以判断 C 正确。27圆 与直线 没有公共点的充要条件是（ ）2xy2ykxA B C D 【答案】:C.()k， ()() ， ， (3)k， (3)()k ， ， 【解析】:1. （数形结合） 是过定点 P（0，2）的直线，与单位圆相切（临界值）时，其斜率为 ，由ykx 3此不难判
15、断，选 C.2.（特值法）令 k=0，直线 y=2 与单位圆无交点，淘汰选项 B、D；令 k= ，此时，直线与单位圆相切，选项 A 有“漏”.3.（待定系数）将 带入圆的方程 ，无交点的充要条件是其判别式小于ykx21xy0，解之 .4.依题圆 与直线 没有公共点(3)k， 21x 21dk(3).，28直线 绕原点逆时针旋转 ，再向右平移个单位，所得到的直线为 ( yx09（） （） （） （） 【答案】A1313yx3yx13yx【解析】直线 绕原点逆时针旋转 的直线为 ，从而淘汰（） ， （D）yx01又将 向右平移个单位得 ，即 故选 A；yx3yx29如图， 和 分别是双曲线 的两个
16、焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的1F2 )0,(12barxBO1F圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为ABF（A） （B） （C） （D） 【答案】D352531试卷第 7 页，总 18 页【解析】如图， 和 分别是双曲线 的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半1F2 )0,(12barxABO1F径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，连接 AF1，AF 2F1=30，|AF 1|=c，|AF 2|= c， ABF2 3，双曲线的离心率为 ，选 D。2(31)ac3130已知 、 为双曲线 C： 的左、右焦点，点 P 在 C 上， P = ，则
17、 P 到 x 轴的距离为F22xy1206（A） （B） （C） （D） 【答案】B636【解析】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.不妨设点 P 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 ，0()xy 21000|()12aPFexexc.由余弦定理得 cos P = ，即 cos22000|)21aFeexc12221121|FP6，解得 ，所以 ，故 P 到 x 轴的距离为 .200(1(1()xx205203yx0|y31椭圆 的左右焦点分别为 ,焦距为 ，若直线 与椭圆的一个交点满足:2bay 21F
18、ccy,则该椭圆的离心率等于_【答案】121FM3【解析】注意到直线过点 即为左焦点 ，又斜率为 ，所以倾斜角为 ，即 。又(,0)c1 060126MF故 ，那么 。 ，02130219FM， 。1231ccea32已知过点 )2,1(P的直线 l与 x轴正半轴、 y轴正半轴分别交于 A、 B两点，则 AO的面积最小为【答案】4【正解】设直线方程为 1bya,代点得: 1ba.由于 ab2,所以 8,41ab即 ,所以421bSAOB33若直线 和 平行，则实数 的值为 .【答案】-3 或 21:0lxy2:310lxay【解析】由两直线平行的充要条件得： .()63,2a34经过点 A(5
19、,2)且在 x轴上的截距等于在 y轴上的截距的 2倍的直线方程是【答案】2x5y0 或 x2y10.【解析】分截距为 0或不为 0两种情况可求 2x5y0 或 x2y10.试卷第 8 页，总 18 页35定义：曲线 上的点到直线 的距离的最小值称为曲线 到直线 的距离，已知曲线 到直线Cl Cl 21:Cyxa的距离等于曲线 到直线 的距离，则实数 _.【答案】 .:lyx22:4xy:lyxa94由新定义可知，直线 与曲线 相离，圆 的圆心到直线 的距离为 ，此时直线 与圆l2l2041l相离，根据新定义可知，曲线 到直线 的距离为 ，对函数2C2:4Cxy:lyx2求导得 ，令 ，故曲线
20、在 处的切线方程为 ，yxayx112x1C22114yax即 ，于是曲线 到直线 的距离为 ，则有 ，解得2104xy21:Cyxa:lyx241a2或 ，当 时，直线 与曲线 相交，不合乎题意；当 时，直线 与曲线 相离，合乎题意.9a7al1 9l1C综上所述， .436若直线 平分圆 的周长,则 的取值范围是 .【答案】10xby2:4Cxy0ab1(,8，即 ；依题意直线 经过圆心 ，所以有2:4Cxy22(1)()xy10xy(1,2)C， 或 ； 时， ，所以 ，当且仅当 时，1ab0ab0,0ab212()8ababab“=”成立.故答案为 .1(,837已知圆 O： ，由直线
21、 上一点 P作圆 O的两条切线，切点为 A，B，若在直线 上至少存2xy:lxyk l在一点 P，使 ，则 k的取值范围是 .【答案】06AB2,【解析】如图所示，PA，PB 为圆 O的两条切线，则 OP连线平分 ，设 ，则APBO， .当 时， 最短，此时， 最大.假设直线 上只有一个点 P满足2APB1sinOPl|Pl， ，即 ，即 ，当 减少时，直线上才会出现多于一个的点 P，所以062|2kd2|P满足条件的直线夹在 ： 和 ： 之间，即 .1l0xy2l0xy22k试卷第 9 页，总 18 页38圆 的圆心到直线 的距离 .【答案】32:40Cxy:340lxyd【解析】由已知圆心
22、为 ，由点到直线的距离公式得，(1,) 2|14|3.d39设双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则296xyAFB 的面积为 。 【答案】 3215【解析】容易求得： ，则 ， A(3,0)，F(5,0) 。双曲线的渐近线方程是 ，则过3,4abcab 43yxF(5,0)，且与渐近线 平行的直线方程是 ，解方程组 得 B .yx4(5)3yx21,964(5)3xy72(,)15。1132|25AFBBS40在直角坐标系 xOy中,有一定点 A（2，1） 。若线段 OA的垂直平分线过抛物线 的焦点，则该抛物线2(0)ypx的准线方
23、程是_;【答案】 4x【解析】依题意我们容易求得直线的方程为 4x+2y-5=0，把焦点坐标( ，0)代入可求得焦参数 ，从而得到准2p52线方程 。54x三、解答题（题型注释）41如图，直线 l：yxb 与抛物线 C：x 24y 相切于点 A. (1)求实数 b的值； (2)求以点 A为圆心，且与抛物线 C的准线相切的圆的方程【解析】解：(1)由 ，得 x24x4b0，(*)24yx因为直线 l与抛物线 C相切，所以 (4) 24(4b)0.解得 b1.(2)由(1)可知 b1，故方程(*)为 x24x40.解得 x2，代入 x24y，得 y1，故点 A(2,1)因为圆 A与抛物线 C的准线
24、相切，所以圆 A的半径 r就等于圆心 A到抛物线的准线 y1 的距离即 r|1(1)|2.所以圆 A的方程为(x2) 2(y1) 24.42已知 A、B、C 是椭圆 W： 14y上的三个点，O 是坐标原点.(1)当点 B是 W的右顶点，且四边形 OABC为菱形时，求此菱形的面积.(2)当点 B不是 W的顶点时，判断四边形 OABC是否可能为菱形，并说明理由.【答案】(1) (2)当 B不是 W的顶点，四边形 OABC不可能是菱形，理由见解析3试卷第 10 页，总 18 页【解析】利用椭圆的对称性，结合图形完成第(1)小题.设出直线方程，把直线方程和椭圆方程联立，设而不求，结合菱形的特点进行判断
25、.(1) 椭圆 W：214xy的右顶点 2,0B，因为四边形 OABC为菱形，所以 AC和 OB互相垂直平分.所以可设 ,Am，代入椭圆方程得 214m，解得 32.所以菱形 OABC的面积为11|2|32OBC. (2)假设四边形 OABC为菱形.因为点 B不是 W的顶点，且直线 AC不过原点，所以可设 AC的方程为 y=kx+m,k0,m0.由 2,14ykx消去 y并整理得 2214840kxm.设 12,AxyC,则 122x， 121224yxmkk，所以 AC的中点 224()kmM.因为 M为 AC和 OB的交点，所以直线 OB的斜率为 1.因为 ()k，所以 AC和 OB不垂直
26、.所以四边形 OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当 B不是 W的顶点，四边形 OABC不可能是菱形.43已知圆 M：(x1) 2y 2=1，圆 N：(x1) 2y 2=9，动圆 P与圆 M外切并与圆 N内切，圆心 P的轨迹为曲线 C（1）求 C的方程；（2）l 是与圆 P，圆 M都相切的一条直线，l 与曲线 C交于 A，B 两点，当圆 P的半径最长时，求|AB|.【答案】 （1）21(2)43xx（2） 187【解析】 （1）根据椭圆的定义求出方程；（2）先确定当圆 P的半径最长时，其方程为 2()4xy，再对直线 l进行分类讨论求弦长.（1）依题意，圆 M的圆心，圆 N的圆心 (1,0)，故 42MN，由椭圆定理可知，曲线 C是以 M、N 为左右焦点的椭圆（左顶点除外） ，其方程为2(2)43xyx；（2）对于曲线 C上任意一点 (,)P，由于 PR（R 为圆 P的半径） ，所以 R=2，所以当圆 P的半径最长时，其方程为 2(xy；若直线 l垂直于 x轴，易得 3AB；若直线 l不垂直于 x轴，设 l与 x轴的交点为 Q，则 1PRMr，解得 (4,0)Q，故直线 l： (4)ykx；有 l与圆M相切得 231k，解得 24k；当 k时，直线 2yx，联立直线与椭圆的方程解得 187AB；
