1、1高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总编者：邬小军【知识汇编】参数方程：直线参数方程： 为直线上的定点， 为直线上任一0cos()inxty为 参 数 0(,)xyt点 到定点 的数量；(,)xy0(,)x圆锥曲线参数方程：圆的参数方程： (a,b)为圆心，r 为半径；cos()inxaryb为 参 数椭圆 的参数方程是 ；21abcs()i为 参 数双曲线 的参数方程是 ；2-xyetanxyb为 参 数抛物线 的参数方程是2p2()pt为 参 数极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点 P 的极坐标为 ，直(,)角坐标为 ，则 , ,
2、, 。(,)ycosxsiny22xytanyx【题型 1】参数方程和极坐标基本概念1点 的直角坐标是 ，则点 的极坐标为（ C ）M(1,3)MA B C D (2,)322(,)(,2),(3kZ2圆 的圆心坐标是（ A ）5cosinA B C D 4(,)(5,)3(5,)35(,)3已知 P 为半圆 C： （ 为参数， 0）上的点，点 A 的坐标为（1,0） ，O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 的长度均为 3。1）以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标；2）求直线 AM 的参数方程。解：1）由已知，M 点的极角为 3，且
3、 M 点的极径等于 3，故点 M 的极坐标为（ ， ）. 2）M 点的直角坐标为（ ,6） ，A（0,1） ，故直线 AM 的参数方程为21()63xty（t 为参数） 4已知曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)，sin51co2yx以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。1)求曲线 c 的极坐标方程2)若直线 的极坐标方程为 (sin+cos)=1，求直线 被曲线 c 截得的弦长。ll解：(1)曲线 c 的参数方程为 ( 为参数)sin51co2yx曲线 c 的普通方程为(x-2) 2+(y-1)2=5将 代入并化简得： =4cos+2sin sinoyx即曲线 c 的极坐
4、标方程为 =4cos+2sin(2) 的直角坐标方程为 x+y-1=0l圆心 c 到直线 的距离为 d= = 弦长为 2 =2 . l2535极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴已知曲线 C1的极坐标方程为 2 sin（ ） ，曲线 C2 的极坐标方程为4sina（a0） ，射线 ， ， ， 与曲线 C1 分2别交异于极点 O 的四点 A，B，C，D（1）若曲线 C1 关于曲线 C2 对称，求 a 的值，并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程；（2）求OAOCOBOD的值解：（1） ： ， ： ， 1C2)1()(2yxy因为曲线 关于
5、曲线 对称， ， ： aC1（2） ；)4sin(2|OAcos2i| B，sin2|C)4cs()43(OD324| ODBCOA【题型 2】直线参数方程几何意义的应用1已知直线 与直线 相交于点 ，又点 ，则 。13:()2xtly为 参 数 2:5lxyB(1,2)AB522直线 被圆 所截得的弦长为（ C ）()t为 参 数 22()(1)xA B C D 9814089343在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 与曲线xOyl123xtyl： 交于 ， 两点.C2()1yAB（1）求 的长；AB（2）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点 的
6、极坐标为 ，Ox P32,4求点 到线段 中点 的距离.PM解：（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，123xty， ，代入曲线 C 的方程得 2410t设点 A，B 对应的参数分别为 ，则 ， ，2t， 124t120t所以 12|4t（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点 P 的直角坐标为 ，()，所以点 P 在直线 l 上，中点 M 对应参数为 ，12t由参数 t 的几何意义，所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 |2P4已知直线 经过点 ,倾斜角 ，l(1)6（1）写出直线 的参数方程。（2）设 与圆 相交与两点 ，求点 到 两点的距离之积。l42yx,AB,AB解：（1
7、）直线的参数方程为 ，即1cos6inxty312xty4（2）把直线 代入 得312xty42yx2231()(4,(31)20ttt，则点 到 两点的距离之积为12tP,AB5设经过点 的直线 交曲线 C： ( 为参数)于 A、B 两点(,0)l2cos3inxy（1）写出曲线 C 的普通方程；（2）当直线 的倾斜角 时，求 与 的值l60|PA|P解：（1） ： 2143xy（2）设 ： （t 为参数）l联立得： 2510t，216|45PABtt12|5PABt6以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐Ox P标为 ，点 的极坐标为 ，若直线 过点
8、，且倾斜 角为 ，圆 以 为圆心， 为(1,2)M(3,)2l 6CM3半径 （1）求直线 的参数方程和圆 的极坐标方程；lC（2）设直线 与圆 相交于 两点，求 ,ABPAB解：（1）直线 的参数方程为 ， （答案不唯一，可酌情给分）l31,2xty为 参 数 ）(圆的极坐标方程为 . sin6（2）把 代入 ，得 ，31,2xty22(3)9xy2(31)70tt，设点 对应的参数分别为 ， 则 , 17t,AB12,12,PABt7.PAB7以平面直角坐标系的坐标原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系Ox的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线 的参数方程为 （ 为参数）
9、 ，曲线 的l3xtyC极坐标方程为 .2sin4cos(1)求曲线 的直角坐标方程； (2)设直线 与曲线 相交于 两点，求 .ClCAB、 A5解：(1) 由 ，既 曲线 的直角坐标方程为 .cos4sin2cos4sin2Cxy42(2) 的参数方程为代入 ，整理的 ，所以 ，l 2yx078t12t127t所以 .4373)(13)3( 2121 ttAB【题型 3】两类最值问题1已知曲线 ： ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C29xyx的极坐标方程为 .lsin()4（1）写出曲线 的参数方程，直线 的直角坐标方程；l（2）设 是曲线 上任一点，求 到直线 的
10、距离的最大值.PPl解：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，C3cosinxy直线 的直角坐标方程为 l 20（2）设 ，(3cos,in)P到直线 的距离 （其中 为锐角，且 ）l1cos()2si2d 1tan3当 时， 到直线 的距离的最大值 cos()1Plmax5d2已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 （ 为参数） C2sincos1013cos:2inxCy（1）求曲线 的普通方程；1（2）若点 在曲线 上运动，试求出 到曲线 的距离的最小值M1M解：（1）曲线 的普通方程是： 1C2194xy（2）曲线 的普通方程是： 0设点 ，由点到直线的距离公式得：(3cos,2in)其
11、中 4105cos()15d34cos,in5时， ，此时 mind98,M63在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，以原点 O 为极点，2xy以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为 .42cos()（1）将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，点 P 的坐标为 ，试求 的值.(2,0)1PAB解：（1）由 ，展开化为42cos()， 2in4(cosin)将sixy代入,得 ，20xy所以，圆 C 的直角坐标方程是 . 24xy（2）把直线 的参数方程 （t 为参数）代入圆的方程并整
12、理，l 2y可得： . 240tt设 A，B 两点对应的参数分别为 ，12,t则 ，1212,tt所以 . 12()46t . 121PABtt4已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极1C)(3siny2cox为 参 数 x轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，2ABCD2且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为,ABDA(2,)3（1）求点 的直角坐标；,C（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围.P122PBCP解：（1）点 的极坐标为,ABD541(,),(,),336点 的直角坐标为,C1,)(3,)7（2）设 ；则0(,)Pxy02cos()3inx为 参 数222416tABCDy230sin3,5
