1、高中数学解题基本方法换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换
2、元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 2 20，先变形为设 2 t（t0），而变x x为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y 的值域时，易发现 x0,1，x1设 xsin ，0, ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，22其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件x y r （r0）时，则可作三角代换
3、 xrcos、yrsin 化为三角问题。22均值换元，如遇到 xyS 形式时，设 x t，y t 等等。S2我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和 0, 。2、再现性题组：1.ysinxcosxsinx+cosx 的最大值是_。2.设 f(x 1)log (4x ) （a1），则 f(x)的值域是_。2a43.已知数列a 中，a 1，a a a a ，则数列通项nn1n1a _。n4.设实数 x、y 满足 x 2xy10，则 xy 的取值范围是_。25.方程 3
4、的解是_ 。1x6.不等式 log (2 1) log (2 2)2 的解集是_。22x1【简解】1 小题：设 sinx+cosxt , ，则 y t ，对称轴221t1，当 t ，y ；2max12 小题：设 x 1t (t1)，则 f(t)log -(t-1) 4，所以值域为a2(,log 4；a3 小题：已知变形为 1,设 b ，则 b 1,b 1(n1)(-1)1nan1a1nn，所以 a ；4 小题：设 xyk，则 x 2kx10, 4k 40,所以 k1 或 k1；225 小题：设 3 y，则 3y 2y10,解得 y ，所以 x1；36 小题：设 log (2 1)y，则 y(y
5、1)0，求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 的最大值和最小值。2【解】 设 sinxcosxt，则 t- , ，由(sinxcosx) 12sinxcosx 得：sinxcosx2 t21 f(x)g(t) (t2a) （a0），t- , 21t- 时，取最小值：2a 2 a2当 2a 时，t ，取最大值：2a 2 a ；1当 00241()a21a2()a142恒成立，求 a 的取值范围。（87 年全国理）y, , x2【分析】不等式中 log 、 log 、log 三项有何联系？进行241()a21a2()a142对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】 设
6、log t，则21alog log 3log 3log 3t，log 241()a281()a2a121a2()422log 2t，2代入后原不等式简化为（3t）x 2tx2t0，它对一切实数 x 恒成立，所以：2，解得 t0 恒成立，求 k 的范围。()192()y62【分析】由已知条件 1，可以发现它与 a b 1 有相似之处，()2()22于是实施三角换元。【解】由 1，设 cos， sin，()x192()y62x3y4即： 代入不等式 xyk0 得：y34cosin 3cos4sink0，即 k0 (a0)所表示的区域为直线 axbyc0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分。
7、此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上 xyk0 的区域。即当直线 xyk0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组yxxyk0k 平面区域有相等的一组实数解，消元后由0 可求得 k3,所以16914022()()xykk0)，则 f(4)的值为_。3A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4123232. 函数 y(x1) 2 的单调增区间是_。4A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 设等差数列a 的公差 d ，且 S 145，则 a a a a 的值为n101359_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知 x 4y 4x，则 xy 的范围是_。25. 已知 a0，b0，ab1，则 的范围是_。a12b6. 不等式 ax 的解集是(4,b)，则 a_，b_。327. 函数 y2x 的值域是 _。x8. 在等比数列a 中，a a a 2，a a a 12，求n12101230a a a 。312609. 实数 m 在什么范围内取值，对任意实数 x，不等式 sin x2mcosx4m10,y0)上移动，且AB、AD 始终平行 x 轴、y 轴，求矩形 ABCD的最小面积。 y D CA BO x
