1、- 1 -高中数学选修 4-1 全套教案一 平行线分线段成比例定理教学目的：1使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；2使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；3通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。教学过程：（一）旧知识的复习利用投影仪提出下列各题使学生解答。1求出下列各式中的 x： y。（1）3 x=5y； （2） x= ； （3）3：2= ： ； （4）3： =5： 。2已知 。 3已知 。求,7 zyxz2,2求其中第 1
2、 题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第 2、3 题以学生各自解答，指定 2 人板演，而后共同核对板演所述，并追问理论根据的方式进行。（二）新知识的教学1提出问题，使学生思考。在已学过的定理中，有没有包含两条线段的比是1：1 的？而后使学生试答，如果答出定理过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF/BC，交 AC 于 F 点，则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 ，并指出此定理也可谓：如CAEB果 E 是ABC 的 AB 边上一点，且 ，EF/BC 交 AC 于 F 点，那么1EB。1FA2引导学生探索
3、与讨论。就着上述结论提出，在ABC 中，EF/BC 这个条件不变，但 不等于 ，譬EBA1如 = 时， 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜EBA3FC想”配合着黑板上画出的相应图观察、明确。而后使学生试证，如能证明，则让学生进行证明，并明确论证的理论根据，如果学生不会证明，那么以“可否类比着平行线等分线段定理的证法？”引- 2 -导，而后指定学生进行证明。继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2） ，并随即提出问题：在梯形 ABCD 中，EF/BC 的条件不变，但 E 不是 AB 的
4、中点，仍如 = ，那EBA3么是否 也等于 ？FCD32而后利用投影仪演示由三角形的一边“平移”后产生梯形的图（图 3） 。就图 3 的“平移”演示，使学生在各自的已经画出的图上“发展”出梯形（包含 EF 的延长线） ，也得到 = = （补足图 3 中的比例式） 。EBA32FC3引出平行线分线段成比例定理并作补步证明，首先引导学生就图 1、图 2 回忆：它们是哪个定量的特例？学生答出后，随即提出问题：对于图 3 的两种情况，是否也能有一个定量，使它们是这个定量的特例？而后延长图 3 中梯形的各线段，得出图 4，并使观察、试述出：三条平行线 在直线 、 上截出线段 、 、 、 ，/ll1k22
5、1A321B3如果 = ，那么 = ，即 = 。321A321B32A21B继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。进一步提出： = （ m、 n 为自然数） ，那么怎样证明 = ？并使学321A321Bnm- 3 -生试证，并概括为：三条平行线 在直线 、 上截出线段 、 、 、 ，3/21ll1k221A321B3那么 = 。321AB在此基础上，教师提出问题：由 = ，利用比例的性质还可得到哪些321A2B比例式？（ = ， = ，等）213AB312引导学生回忆平行线等分线段定理所包含的各种情况，并类比着使学生说出定理所包含的各种情况，而后投影出，并指出分类的标准。最后，使学生类比着平
6、行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应线段”的使用，并以正反之例予以明确。（三）应用举例例 1（1）已知：如图 5， ， AB=3， DF=2， EF=4，求 BC。3/21ll（2）已知：如图 6， ， AB=3， BC=5， DB=4.5，求 BF。/（3）已知：如图 7， ， AB=3， BC=5， DF=10，求 DE。3/21ll（4）已知：如图 8， ， AB=a， BC=b， DF=c，求 EF。其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）（4）则在学生充分思考的基础上，使其口答。例 2已知线段 PQ， PQ 上求一点 D，使 PD： DQ=4：1。先使学生讨论，
7、而后使他们答出求法，其中既肯定“量法” ，又指明“量法”的不足，最后使他们实践。（四）小结1本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况， “证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行线等分线段定理来解决的。2使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对应线段，否则就会产生错误。- 4 -（五）布置作业补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD： PQ=4：1；（2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ： DQ=4：1课题：平行线分线段成比例定理一、教学目的：1使
8、学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明；2使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法；3通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。二、教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。三、教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。四、教学过程：一、复习1求出下列各式中的 x：y。（1）3x=5y； （2）x=2/3y； （3）3：2=y：x； （4）3：x=5：y。2已知 x:y=7:2，求 x:(x+Y)3已知 x:2=y:3=z:4，求（x+y+z）:(2x+3y-z)二、新课学习1提出问题，使学生思考。如果两条线段的比是 1:1，则这两条线段什么关系？在前一章我们学
9、过的定理中，有没有包含两条线段的比是 1：1 的？ 而后使学生试答(学生可能答出平行线等分线段定理，师可顺势下去进行教学），如果答出定理过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF/BC，交 AC 于 F点，则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出，并指出此定理也可谓：如果 E是ABC 的 AB 边上一点,且 EF/BC 交 AC 于 F 点，如果 AE:EB=1:1，那么AE:EB=AF:FC=1:1。2引导学生探索与讨论。就着上述结论提出，在ABC 中，EF/BC 这个条件不变，但 AE:EB 不等于 1:1
10、，譬如 AE:EB=2:3 时，AF:FC 应等于“几比几”？并使学生各自画图、进行度量，得出“猜想”配合着黑板上画出的相应图观察、明确。而后提示学生能否利用“平行线等分线段定理”进行证明。继而再问学生，是否还有包含线段的比是 1：1 的定理，学生答出定理过梯形一腰的中点与底平行的直线，平分另一腰后，画出相应的图（图 2），并随即- 5 -提出问题： 如果 E 不是 AB 的中点，如 AE:EB=2:3，那么 AE:EB=?（让生填空）进一步问，如果 AE：EBm:n，结论成立吗？如何说明？引导学生得出 AE:EB=AF:FC 之后，提问3、得出平行线分线段成比例定理强调对应线段：问 AE:C
11、F=AF:EB 成立吗？4、例 1 讲解（略)变式：已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10，求 DE。已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c，求 EF。5、例 2 讲解：(略）分析：已知是给出了“上：下“的比的形式，而结论是求“上：全“，故考虑运用合- 6 -比性质。三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证明，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段的第一个端点来定左、右四、作业平行线分线段成比例定理目的与要求
12、：1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别，理解其实用价值。重点与难点：重点：三角形一边的平行线的性质定理及其应用难点：体会该定理特殊使用价值，区分两个类似定理。主要教法：综合比较法一、 复习引入：1、 平行线分线段成比例定理及推论2、 ABC 中，若 DEBC，则 它们的值与 相等吗？为什么？,ACEBDBCDE二、 新课：例 1：已知：如图，DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E求证： AEB分析： 中的 DE 不是ABC 的边 BC 上，但从CD比例 可以看出，除 DE 外，其它线段都在ABC 的边上，因此我们只要,A将 DE
13、 移到 BC 边上去得 CF=DE，然后再证明 就可以了，这只要过 D 作BCFADDFAC 交 BC 于 F，CF 就是平移 DE 后所得的线段。结论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线。所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。例 2：已知：ABC 中，E、G、D、F 分别是边AB、CB 上的一点，且 GFEDAC，EFAD求证： .BC例 3、已知：ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，过 C 任作一直线交 AD 于 E，交 AB于 F。- 7 -求证： FBAED2例 4：如图，已知：D 为 BC 的中点，AGBC，求证：CG（DC=BD）例 5：已知：ABC 中，A
14、D 平分BAC，求证： ，过 C 作 CEAD 交 BA 的延长线DBA于 E.例 6：ABC 中，AD 平分BAC，CMAD 交 AD 于 E，交 AB 于 M，求证： AMBDCFB再证：MEFCED（由三线合一：ME=EC）三、 练习：四、 小结：1、 今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形，可得这两个三角形的三对对应边成比例，特别注意与平行线分线段成比例定理的区别。2、 如果平行于三角形一边的直线，与三角形两边的延长线相交也可以用这个定理。五、 作业六、 弹性练习：1、已知：如图，EFFD，ABFD，CDFD，EF=1.5，AB=2.5，FB=2.2BD=3.6求 CD 的长
15、。过 E 作 EHCD 于 H，交 AB 于 G2、已知：如图，四边形 AEDF 为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，求：BD、DC 及 AF 的长。- 8 -6 4 523、 已知：如图，B 在 AC 上，D 在 BE 上，且 AB:BC=2:1，ED:DB=2:1求 AD:DF过 D 作 DGAC 交 FC 于 G（还可过 B 作 EC 的平行线）32EBCGC322BC= A1A9DFF从而 AD= 故 AD:DF=7:2974、 ABC 中，DEBC，F 是 BC 上一点。AF 交 DE 于点 G，AD:BD=2:1,BC=8.4cm求(1)DE 的长(2) (3)AADEBCS
16、平行线分线段成比例定理 教学目标1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.能初步应用定理及推论进行解题.教学重点 定理及推论的内容及应用.教学难点 定理结论的推理过程.教学过程一、复习提问：1. 什么是平行线等分线段定理？2.如图（1）中，ADBECF,且 AB=BC,则的比值是多少？二、新课讲解： 1.平行线分线段成比例定理 - 9 -从图（1）可知，当 ADBECF,且 AB=BC 时，则 DE=EF,也就是=1 接着象教材一样，说明=时，也有=.要向学生解释：这只是说明，并不是证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，因此就不证明了.然后再强调：事实上，对于是任何实数，当 ADBECF
17、 时，都可得到=.接着应用比例的性质。举例得到：=，=，=，=，=.从而得到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.注意：（1）同一个比中的两条线段在同一条直线上.（2）强调对应的意义，并说明上述 6 个比例式中的任何一个都可推导出其他 5 个来.（3）用形象化的语言描述如下：=，=，=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：- 10 -图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.定理的应用（1） 课本例 1已知：如图，l 1l 2l 3,AB=3,DE=2,EF=4.求 BC.练习一 (1)如图（6）如果 AE:EB=AF:FC,那么 EF 与 BC 的关系是
18、 若 AE:EB=AF:FC=EF:FD 则四边形 EBCD 是 形。（2）如图（7），若 DEBC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则 EC= .若AD=3,DB=7,AC=8,则 EC= .若 AD:DB=2:3,EC-AE=2,则 AE= ,EC= .（3）如图（8），DEAB,那么 AD:DC= ,BC:CE= 。（4）如图（9），在梯形 ABCD 中，ADBC,E 是 AB 上一点，EFBC 交 CD 于 F，若 AE=2,CD=7,则 FC= ,DF= .(2)课本例 2。说明：这类问题事实上是数形结合问题，看图证题，同时要利用比例的基本性质。练习二1，已知，如图（10），D,E,F 分别在ABC 的边 AB,AC,BC 上，且 FCED 是平行四边形，若 BD=7.2,BF=6,AC=8AD=4,求的周长。
