高中数学集合知识点.doc

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1、 第 1 页高中知识点之集合一、集合的有关概念定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。2.表示方法:集合通常用大括号 或大写的拉丁字母 A,B,C表示,而元素用小写的拉丁字母 a,b,c表示。3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有 “属于 ”及 “不属于 两种)若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a A;若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a A。5.常用的数集及记法:非负整数集(或自然数集) ,记作 N;正整数集,记作 N*或 N+;N 内排除 0 的集.整数集

2、,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R;6.关于集合的元素的特征确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如:“地球上的四大洋” (太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋) 。 “中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数” , “平面点 P 周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的.互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程(x-2)(x-1) 2=0 的解集表示为 1,-2 ,而不是 1,1,-2无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。7.元素与集合的关

3、系:(元素与集合的关系有 “属于 ”及 “不属于 ”两种)若 a 是集合 A 中的元素,则称 a 属于集合 A,记作 a A;若 a 不是集合 A 的元素,则称 a 不属于集合 A,记作 a A。二、集合的表示方法列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法。如:1,2,3,4, 5,x 2,3x+2 ,5y 3-x,x 2+y2,;说明:书写时,元素与元素之间用逗号分开;一般不必考虑元素之间的顺序;在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;集合中的元素可以为数,点,代数式等;第 2 页列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法

4、比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集用列举法表示为 1,2345,.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。 。方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式: ()xAp如:x|x-32,(x,y)|y=x 2+1,x|直角三角形 ,;用符号描述法表示集合时应注意:、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是

5、其他形式?、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑。三、集合的分类集合的分类: ()emptys有 限 集 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合无 限 集 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合空 集 不 含 有 任 何 元 素 的 集 合四、集合的基本关系子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集( subset) 。 记作: 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A()或当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 AB(或 BA)用

6、 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:集合相等定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B中的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 ,则 。且 如:A=x|x=2m+1,m Z,B=x|x=2n-1,n Z,此时有 A=B。真子集定义:若集合 ,但存在元素 ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 ,x且记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A)4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: 5.几个重要的结论:空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 A。空集是任何非空集合的真子集;任何

7、一个集合是它本身的子集;对于集合 A,B,C,如果 ,且 ,那么 。ABCB A 表示: 第 3 页五、集合间的基本运算五、集合间的基本运算;1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分,记作 AB, 读作:A 并 B 即 AB=x|xA 或 xB。Venn 图表示:2.3.交集定义:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的交集(intersection set) ,记作:AB 读作:A 交 B 即:AB x|xA,且 xBVenn 图表示:常见的五种交集的情况:4

8、.全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。5.补集的定义:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,叫作集合 A 相对于全集 U 的补集,记作: ,读作:A 在 U 中的补集,即UC,Cx且Venn 图表示:(阴影部分即为 A 在全集 U 中的补集)补充:集合中元素的个数在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合 A叫做有限集,用 card(A)表示集合 A 中元素的个数。例如:集合 A=a,b,c中有三个元素,我们记作 card(A)=3. 结论:已知两个有限集合 A,B ,有:card(A B)=card(A)+card(B)-card(AB). 一个集合当中有 N 个元素,那么该集合的子集有 2N 个真子集有 2N-1 个非空真子集有 2N-2 个A BA(B) A B BAB A(阴影部分即为 A 与 B 的交集)

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