1、第 1 讲 课题：椭圆课 型：复习巩固 上课时间：2013 年 10 月 3 日教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历；（2）理解椭圆的定义；（3）理解椭圆的两种标准方程；（4）掌握椭圆离心率的计算方法；（5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点 的距离和等于常数21F、(大于 ）的点的轨迹叫做椭圆. a221F说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . c(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 ，当 时，点的轨迹是椭圆
2、. 椭圆上一点到e10焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：;02211 FaPF.,21M三、椭圆的标准方程：焦点在 轴: ；x02bay焦点在 轴: .y12x说明： 是长半轴长， 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足ab.22cb四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程 表示椭圆的条件：BACBAyx 均 不 为 零 ， 且、2上式化为 ， .所以，只有 同号，且112yxC、时，方程表示椭圆；当 时，椭圆的焦点在 轴上；当BABAx时，椭圆的焦点在 轴上.Cy五、椭圆的几何性质（以 为例）012bax1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标 都适合不等式y
3、x,，即 说明椭圆位于直线 和 所围成1,2byaxbyax, ab的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、 轴、 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： .,0B,0, 2121 baA、 4. 长轴、短轴： 叫椭圆的长轴， 是长半轴长； 叫1 aA,121B椭圆的短轴， 是短半轴长.bB,25.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比 ， （2）ace10,e, ，即 .这是椭圆的2FOBRt222OFB2cba特征三角形，并且 的值是椭圆的离心率 .（3）椭圆2cos的圆扁程度由离心率的大小确定，
4、与焦点所在的坐标轴无关.当接近于 1 时， 越接近于 ，从而 越小，椭圆越ea2cab扁；当 接近于 0 时， 越接近于 0，从而 越大，c椭圆越接近圆；当 时， ，两焦点重合，图形是e,圆. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ，通径长为 .ab27.设 为椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点，当 三点不在21F、 P21FP、同一直线上时， 构成了一个三角形 焦点三角形. 依椭圆21F、的定义知： .caP,1例题选讲 一、选择题1椭圆 的离心率为（ ）142yxA B C D32322设 是椭圆 上的点若 是椭圆的两个焦点，则p251612F，等于（ ）1PFA 4 B5 C 8 D10
5、 3若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，x12myx2则 m=（ ）A B C D3334已知 ABC 的顶点 B、 C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦x3点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是（ ）A2 B6 C4 D123 35如图，直线 过椭圆的左焦点02:yxlF1和 一个顶点 B，该椭圆的离心率为（ ）A B C D55526已知 F1、F 2是椭圆的两个焦点，过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A 3 B 3 C D 237已知以 F1（-2,0） ， F2（2,0）为焦点的椭圆
6、与直线 04yx有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A B C D2674二、填空题：8 在 中， ， 若以 为焦点的椭圆经过ABC 903tan4BAB，点 ，则该椭圆的离心率 e9 已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（2 ，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 10在平面直角坐标系 中，已知 顶点 和 ，顶点xOyABC(4,)(,)C在椭圆 上，则 .B1925yxsin11椭圆 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作一个内接42于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_ 三、解答题12已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值632myx m13已知椭圆的中心
7、在原点，且经过点 ， ，求椭圆03，Pba的标准方程14已知方程 表示椭圆，求 的取值范围1352kyxk15已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求cossin22)0(y的取值范围16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两)2,3(A)1,3(B点的椭圆方程导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数 在区间 上的平均变化率为： 。()fx12,x21()fxf2. 导数的定义：设函数 在区间 上有定义， ，若 无限趋近yf(,)ab0(,)xab于 0 时，比值 无限趋近于一个常数 A，则称函数 在 处可00()(fxxy f0x导，并称该常数 A 为函数
8、 在 处的导数，记作 。函数 在 处的导()f00()fx()f数的实质是在该点的瞬时变化率。3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量 ；（2）求平均00()(yffx变化率： ；（3）取极限，当 无限趋近与 0 时， 无00()(fxfxx00()(fxfx限趋近与一个常数 A，则 .0()f4. 导数的几何意义：函数 在 处的导数就是曲线 在点 处的切线的斜率。由此，()fx0 ()yfx0(,)fx可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出 在 x0处的导数，即为曲线 在点 处的切线的斜率；()yf()f0(,)f（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
9、 。00()yfx当点 不在 上时，求经过点 P 的 的切线方程，可设切点坐标，0(,)Pxy()fx()yfx由切点坐标得到切线方程，再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线 在()yfx点 处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0(,)xf。5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 ，则 表示瞬时速度， 表()St()VSt()avt示瞬时加速度。二、导数的运算1. 常见函数的导数：（1） (k, b 为常数)； （2） (C 为常数)；()kx0（3） ； （4） ； 2x（5） ； （6） ；32()x 21()（7） ；
10、 （8） （ 为常数） ；1 1x（9） ； （10） ；()ln(0,1)xaa(log)l(0,1)lnaaeax（11） ； （12） ；()xe 1(ln)x（13） ； （14） 。sincos cosinx2. 函数的和、差、积、商的导数：（1） ； （2） （C 为常数） ；()()fxgfxg()()fxf（3） ; （4）()()()fxgfxgfx 。2() 0()fg3. 简单复合函数的导数：若 ，则 ，即 。(),yfuaxbxuxyxuya三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 在区间 内可导，()yfx(,)ab（1）如果恒 ，则
11、函数 在区间 上为增函数；()0fx()yfx,ab（2）如果恒 ，则函数 在区间 上为减函数；ff(,)（3）如果恒 ，则函数 在区间 上为常数函数。()0fx()yfx,ab利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数 的定义域；求导数 ；()yfx()fx解不等式 ，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式 ，解()0fx 0f集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数 在区间 内可导，()yfx(,)ab(1)如果函数 在区间 上为增函数,则 (其中使 的 值不f()0fx()0fx构成区间)；(2) 如果函数 在
12、区间 上为减函数,则 (其中使 的 值不()yfx()ab)f()f构成区间)；(3) 如果函数 在区间 上为常数函数,则 恒成立。()f()()0fx2. 求函数的极值：设函数 在 及其附近有定义，如果对 附近的所有的点都有()yfx0 0（或 ） ，则称 是函数 的极小值（或极大值） 。0()fx()f0()fx()fx可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：（1）确定函数 的定义域；（2）求导数 ；（3）求方程 的全部实根，()fx()f ()0fx，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表： x 变化时， 和 值的12nx f()f变化情况：x 1(,)x1x12(,)x
13、nx(,)nx()f正负 0 正负 0 正负单调性 单调性 单调性（4）检查 的符号并由表格判断极值。()fx3. 求函数的最大值与最小值：如果函数 在定义域 I 内存在 ，使得对任意的 ，总有 ，则称()f 0xxI0()fx为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的0()fx最值是唯一的。求函数 在区间 上的最大值和最小值的步骤：()fx,ab（1）求 在区间 上的极值；f(,)（2）将第一步中求得的极值与 比较，得到 在区间 上的最大值与最(),fab()fx,ab小值。4. 解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。的值域是 时，不等式 恒成立的充要条件是 ，即()fxA,ab()0fxmax()0f；不等式 恒成立的充要条件是 ，即 。0b()0fminfa的值域是 时，不等式 恒成立的充要条件是 ；不等式()fx(,)()0fxb恒成立的充要条件是 。0fa（2）证明不等式 可转化为证明 ，或利用函数 的单调性，转化()0fxmax()0f()fx为证明 。0()fx5. 导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。
