1、1. 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集 R;由 2x知两函数的对应法则也相同; 所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集 R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数 ()fx的定义域是 ,1x,而函数 ()gx的定义域是实数集 R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2. 解: (1)要使函数有意义,必须 40x即 40x所以函数的定义域是 (,0)(,.(2)要使函数有意义,必须 30lg(1)x即 301x所以函数的定义域是-3,0) (0,1).(3)要使函数有意义,必须210x即 x所以函数的定
2、义域是 (,1)(,).(4)要使函数有意义,必须 2sinx即 1sin2x即266kxk或576kk,(k 为整数).也即 (k 为整数).所以函数的定义域是,6, k 为整数.3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+), 又当 0x时,1可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍-1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1.4. 解: 0()1f,()1(),xf1().xfx5.解: 0.(),2,3x6.解: ln2gxxf() (ln),xxgff()2(,lnln(l).xffxggx7. 证:由 31y解得31y,故函数 3()2fx的反函数是3()2xR,这与31(
3、)2xg是同一个函数,所以 31f和31()gx互为反函数.8. 解: (1)由y解得y,所以函数 1x的反函数为(1)x.(2)由 ln(2)y得 1e2y,所以,函数 的反函数为 1()x R.(3)由 253x解得 3(log5)所以,函数 y的反函数为(0)2yx.(4)由 31csx得 31,又 ,故 3arcos1xy.又由 o得 0cos,即 02y,故可得反函数的定义域为0,2,所以,函数 3,0x的反函数为 3arcs(2)x .9. 解: (1) )1()1()fxxf()f是偶函数 .(2) 222esin()esinesin()x xxxf函数 y是奇函数.10. 解:
4、 (1)函数的定义域为(-,+), 当 0x时,有 201,当 时,有211x,故 ()有 2y.即函数 21xy有上界.又因为函数 1x为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数 2y有界.又由11121222()xxxy知,当 12x且 1时, 12y,而当 12x且 1时, 12y.故函数y在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+), 10,Mx且 12;e0Mx,使 2lnx.取 2ma,则有 01ln,所以函数 ly在定义域内是无界的.又当 12x时,有 1212,lxx故 12 12(ln)()()(ln)0x.即当 0时,恒有 12
5、y,所以函数 y在 ,内单调递增.11. 解: (1) 4()x是由124,u复合而成.(2) 2siny是由 2sinvx复合而成.(3)51(0)x是由1 5,0,wy复合而成.(4) arcsi2是由 1,arcsin,2uvx 复合而成.12.证: (1)设 ()()Ffx,则 (),有 x故 f为偶函数.(2)设 ()(),Gf则 (,),有 ()xfxG故 fx为奇函数.13.解: 设年销售批数为 x, 则准备费为 103x;又每批有产品610件,库存数为6102件,库存费为610.52x元.设总费用为,则3.5yx.14. 解: 当 x 能被 20 整除,即20时,邮资0.825
6、y;当 x 不能被 20 整除时,即x时,由题意知邮资0.81x.综上所述有0;2520.8,2.10xy xx且且其中 20x, 分别表示不超过x,10的最大整数.15. 证: (1)由esinh2xy得 2e10xxy解方程 2e10xx得 1xy,因为 ,所以2,2ln()所以 sinhy的反函数是 arcsih().xx (2)由etax得21xy,得11l,ln2yy;又由10y得 y,所以函数 tanhx的反函数为 1arctnhl (1).2x16. 解: 01()(ot cot)2SADBCBCh从而 cotBh. 00()22cotsinsincos4iiLDAShhBSh
7、由0,cothBCh得定义域为 0(,tan)S.17. 解: 1(),nx当 时, 1nx.2cos2,当 n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于 ,趋向于 0,趋向于 .1(3)nx,当 n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于 1,-1.18. 解: (lim0ax, ,要使10sin2nx,只须1n.取1N,则当 nN时,必有 n.当 0.时,10.或大于 1000 的整数.(2)limnax, ,要使212nxnnn只要1即 2即可.取 21N,则当 nN时,有 0nx.当 0.时, 821.或大于 108 的整数.19. 证: ()0,要使 22n,只要1.取N,则当 nN 时,恒
8、有 21n.故 21limn.(2) 0,要使53,(21)4nn只要5,取 ,则当 nN时,恒有12n.故3lin.(3) 0,要使2221()aann,只要2a,取2an,则当 nN 时,恒有2n,从而2lim1n.(4)因为对于所有的正整数 n,有10.9个,故 0,不防设 ,要使1,0.90nn个只要l,1取lnN则当 N时,恒有,.n个故 lim.9nn个.20.证: linx,由极限的定义知, 0,当 时,恒有 nxa.而 nnxa0,N,当 时,恒有 ,由极限的定义知 li.nx但这个结论的逆不成立.如 (1),lim,nx但 linx不存在.21. 解: 1(1)0()1()k
9、kkk kn而 limn,当 k时, 1li0kn().(2)记 12ax,m则有 12n nnmaa即 1而 1lim, li,nnaa故 12nm即 12li x,nmn a .(3)111(3)23)()n n即 3n而 1lim,linn 故 (12)n.(4)1n而 1lim10,li()nn 故 li.22. 证: (1) 12x,不妨设 2kx,则12.故对所有正整数 n 有 ,即数列 n有上界.又 12(2)n nxxx显然有 0,又由 得 ,从而 10nx即 1nx,即数列 n是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列 nx有极限.设 limnxa,则 2,于是 2a, 0a
10、(不合题意,舍去), lim2nx.(2) 因为 10,且1nnx,所以 nx, 即数列有界又 111 ()nnnn xx由 10,nx知 1n与 1n同号，从而可推得 1n与 2同号，而 1213,0xx故 10nx, 即 n所以数列 nx单调递增，由单调有界准则知， nx的极限存在 .设 limna, 则1a，解得 5,2(不合题意，舍去).所以 1li.nx23. 证：(1) 0,要使 1sisin0xx,只须1x,取X，则当 X时，必有 sin0x,故sinlm0x.(2) ,要使 2221331|4xx,只须13x,取X，则当 X时，必有2314x,故231lim4x.(3) 0,要
11、使 24()2xx,只要取 ，则当 02x时，必有2()x,故4limx.(4) ,要使 21142xx,只须12x，取，则当102x时，必有214x故124limx.(5) 0,要使 1sin0sixx,只要取 ，则当 0x时，必有six,故 01limnx.24. 解：2233li93()li 15xx.22 214441223 33422424li()()li .()limli.11lim()lili 0.1(5xxxxxxx2221li)limli 01xxx由无穷大与无穷小的关系知， 1limx.3(1)() 36)li55112lililim.15n nnn(7)因为221()()
12、()xaxbb由已知1limx知，分式的分子与分母的次数相同，且 x 项的系数之比为12，于是 10a且 ()12ab解得 31,2ab.25.解： 2()(1)1()limlimli.2n nn2211124441()lili.()(3)limlilim()0.682.5()3nnxxxxxx333 332222000 4()li li lim2.1(1)(6)limlili(1).1x x xxx x x3332355 235323363253 557lili()li 52lim.xxxx xxx44 24241cot1cot(8)lili2()()ttclicot1ot3lim.24x
13、xxxxxx1222(9)lim)()()1li.nnnxxxx 311 13122321432232141()()0)lim( ()li)()li(1.234!nx nnnnx nnxxxxxxxn 222311122()limlimlim()()() .x x xx x x122121li()()li 0lim.()xxx1og(3)l()axa而10li.xxe而1ilogllnaauee().lna(14)令 1,xu则 (1),a当 0x时， u.所以000limli lnlog(1)ogimxu aau(利用(13) 题的结果).1 12 20 00336ln()ln()sinsi si0lim6l()6limli()snsn1le(15)li2)e.x xx xxxxxx (16)令sinu， 则 0iixxu而 1liu 所以snl.26. 解：23200mixx当 时， 3是比 2x高阶的无穷小量.27.解： 211()lilixx
