1、1第 3 讲 导数与微分高等数学基础课程的主要研究对象是函数，函数是变量之间的对应关系，怎样研究函数的变化是这一讲的主要问题。3.1 导数的概念一、函数的变化率对于函数 ，我们要研究 怎样随 变化，进一步我们还要研究变化的速率，)(xfyyx可以先看看下面这个图我们可以看出，对于相同的自变量的改变量 ，所对应的函数改变量 是不同的。xy可以表示变化的速率，但这是一个平均速率，怎样考虑函数 在一点 的变化xy )(xf0率呢？二、导数的概念根据前面的介绍，我们给出下面的定义。定义 3.1 设函数 在点 及其某个邻域 内有定义，对应于自变量 在 处)(xfy0Ux0的改变量 ，函数相应的改变量为
2、，如果当 时极限x)(00xfxfyxlim存在，则此极限值称为函数 在点 处的导数，或在点 处函数 关于自变)(fy00x)(xf量 的变化率，记作x，或)(0x)(0f这时，称函数 在点 处是可导的。)(xfy0根据导数定义，我们来求一些基本初等函数的导数。例 1 根据导数定义求 在点 处的导数。cx解 根据定义求导数通常分三步：2（）求 ：)(00xfxfycy（）求 ：x0x（）求 ：xy0limlimli00xxy因此得出 。)(y如果函数 在其定义域内每一点都可导，那么我们就得到了一个新的函数 ，xf )(xf称 为 的导函数。 在点 的函数值 就是 在点 的导)(f )(xf0)
3、(0xf)(f0数。例 2 根据导数定义求 在点 处的导数。2)(f解 按照由定义求导数的步骤： 2)()( xxfxfy22xxxy22xx )(limli00因此得出 。xf2)(例 3 根据导数定义求 （ 为自然数）在点 处的导数。nf)( x解 按照由定义求导数的步骤： nxfxfy )()( nnn x213xxnxnn 21)(ynxxnxnn121)( 112100 )(limli nnxx xy因此得出 。1)(nf可以看出上例的结果与本例的结果是一致的。例 4 根据导数定义求 在点 处的导数。xf)(解 按照由定义求导数的步骤： fxfy1)()(x2xxy21200)(li
4、mlix因此得出 。这个结果可以写成 。21)(f 11)(x例 5 根据导数定义求 在点 处的导数。f)(x解 按照由定义求导数的步骤： fxfy)( )()(limlimli 000 xxxxyx )(li0x4xxx21lim0因此得出 。这个结果可以写成f21)( 121)(从这两个例子可以看出公式 不仅在 为自然数时成立，而且当 和1)(nnx 1n时也成立。因此我们不妨认为对任意实数 ，有 。21n 1)(x下面再来看一下利用重要极限求基本初等函数导数的例子，为此先给出第 2 个重要极限的另一种形式 e)1(limxx的另一种形式是 e)1(li0xx另外，记 lnloge称为自然
5、对数。例 6 根据导数定义求 在点 处的导数。xfl)(解 按照由定义求导数的步骤： xfxfy ln)l()( ln)1(x)1ln(l xy)l(1xxln注意到，当 时有 ，设 ，第 2 个重要极限公式有0xtxe)1(lim)1(li00ttx5且 是连续函数，所以有xfln)( xxxxxy )1(limn)1ln(imli 000el因此得出 。xf)(例 7 根据导数定义求 在点 处的导数。xfsin)(解 按照由定义求导数的步骤： xfxfy sin)i()( 2sncos2xi)(x2sin)cos(sc xxy 注意到，当 时有 ，设 ，据第 1 个重要极限公式有0x2xt
6、sinlmsil00txt且 是连续函数，所以有xfcos)(2sin)cos(limli00 xxyxx sil)cs(li00xxo因此得出 。fcs)(下面我们给出基本初等函数的导数公式0)(61)(xaxlnxe)(al)(log 1lnxcssiin)(x2cos1tain)(21arcsix2)(ro21actnx三、导数的几何意义从下面这个图中我们可以看出，函数 在点 处的导数 ，就是函数曲线 在过点)(xfy0)(0xf )(xfy处的切线的斜率。这样便可得到切线的方程 )(,0xf )()(00xfxfy例 8 求函数 在点 处的切线方程。xfsin)(23,7解 ，所以 。
7、由此得切线方程xfcos)( 213cos)(f)xy即 。6231xy定理 3.1 若函数 在点 处可导，则 在 连续。)(xfy0)(xfy0证 由于 )(lim00fx由定理 2.1，有 )(0fy其中 是无穷小量。上式可写成xf)(0由此得lim0yx定理 3.1 的结论是不可逆的，例如函数 在点 连续，但在该点不可导。0x3.2 求导法一、导数的四则运算法则我们可以看出，由定义求导是很复杂的，有了基本导数公式后也并未使求导的范围扩大多少，为此我们给出下面的运算法则：设函数 和 在点 处可导，则有)(xfgx)()( xgfgf x)()()( xfff )()(2gxxg上述公式我们
8、称为导数的四则运算法则。根据第 3 个公式还可以得到，若函数 在点)(xf8处可导， 为任意常数，则有xc )()(xfcf对于导数的四则运算法则，我们仅就加法和乘法法则加以验证：因为 xxggffxgfgxf )()()()()( x)所以xgfgxfx )()()(lim0 xgxfx )(limlim00)(gf即 )()(xfgxf 又因为 xgff )( xgfxgfxgx )()()()( xff (xfxgxf )()()(所以 xgffx ()(lim0 xgfxxxx )(lim)(lim(li 00)(gff即 ()( fg例 9 求下列函数的导数 ：y xyxlncose
9、 xysin24 25ta9解 利用导数四则运算法则和基本导数公式进行计算： )(lncose(xyx1cse)xxicsexffy sin)si()( sin2)4xx)(si(3 xxcoil4 22)()(5tan5(tanxxy 4)(t)(tx32 )5(tan2)5lcos1(xx322tlsxx二、复合函数导求导法则有了导数四则运算法则以后，可以求导的函数类型被大大地扩充了。但仍有我们无法解决的类型，如 ， 等函数。2exyxsinl定理 3.5 设函数 ， ，且 在点 处可导， 在相应的点)(uf)(g)(x)(ufy处可导，则复合函数 在点 处可导，且uxy)()(xguff简单验证这个定理。由于 yx在 点 处可导，则在点 处连续，因此有 。故有)(ufyu0limux10xuyxu000limlili由导数定义得到 )()(gfgf称定理 3.5 为复合函数求导法则，也称为链锁法则。例 10 求下列函数的导数 ：y 2exyxysinl sin2co解 利用复合函数求导法则进行计算：设 ，有2xuuye)(2uxe2设 ，有xusinuyl)(ilyxucos1tin设 ，有2xysi)(i2ucos2x设 ，有usuy)(co2xysin2si
