1、第一章 函数 极限 连续问题 1. 上岸点的问题有一个士兵 P，在一个半径为 R 的圆形游泳池（图 11）内游泳，当他位于点（ ）时，听到紧急集22xyR,02合号，于是得马上赶回位于 A=（2R，0）处的营房去，设该士兵水中游泳的速度为 ，陆地上跑步的速度为 ，求赶回营房1v2v所需的时间 t 与上岸点 M 位置的函数关系。图 1-1解：这里需要求的是时间 t 与上岸点 M 位置的函数关系，所以一定要先把上岸点 M 的位置数字化，根据本题特点可设 (cos,in)R其中 为 M 的周向坐标（即极坐标系中的极角） ，于是本题就成为了求函数关系的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，
2、即先确定函数()tf的定义域为 。0该士兵在水中游泳所花的时间为 2211 1(cos)sin54cosPRRtv v而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论： 当 时，有 ；032254cosMAtv 当 时，要先跑一段圆弧 ，再跑一段且线段 ，所以=BBA。221()(3)RtAvv综上所述，可得 1254cos54cos,02 3(),3Rvvt R问题 2 外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加 12%，回国BAO xyPM 后他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少 12%。把这两个函数表示出来，并证明这两个
3、函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。解：设 为将 x 美元兑换成的加拿大元数， 为将 x 加拿大元兑换成的美元数，1()ft 2()ft则 1()%1.,0ftx28x而 故 ， 不互为反函数。21()0.80.9856,ftxx1()ft2ft思考题：设一美国人准备到加拿大去度假，他把 1000 美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？（14.4 美元）问题 3 黄山旅游问题一个旅游者，某日早上 7 点钟离开安徽黄山脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午 7 点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上 7 点钟，他从山顶沿原路下山
4、，在当天下午7 点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。证明：设两个旅馆之间的路程为 L，以 表示在时刻 该旅游者离开山脚()ft(7,19)t下的旅馆的路程，则可知 是区间 上的连续函数，且有 ， 。()ft7,19 0f()fL以 表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程，则可知()gt是区间 上的连续函数，且有 ， 。7,19()fL(19)f于是原问题可转化为：证明存在 ，使 。7,g作辅助函数 ，则 在区间 上连续，且有()()tfgt()t,，271919()0fL根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在 ，使
5、 。就得到了所7,()需要证明的结论。问题 4 利润与销量之间的函数关系收音机每台售价 90 元，成本为 60 元。厂家为鼓励销售商大量采购，军队凡是订购量超过 100 台以上的，每多订购一台，售价就降低 1 分（例如，某商行订购了 300 台，订购量比 100 台多 200 台，于是每台就降价 0.01 200=2（元） ，商行可以按 88 元/台的价格购进 300 台） ，但最低价为 75 元/台。1） 把每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数；2） 把利润 P 表示成订购量 x 的函数；3） 当一商行订购了 1000 台时，厂家可获利多少？解：1）当 时售价为 90 元/台。10x
6、现在计算订购量 x 是多少台时售价降为 75 元/ 台，90-75 =15，15 0.01=1500所以，当订购量超过 1500+100 台时，每台售价为 75 元。当订购量在 1001600 时，售价为 90-（x-100）*0.01，因而实际售价 p 与订购量之间的函数关系为90, 10(1).,675, xpx2）每台利润是实际售价 p 与成本之差P=（p-60）x3）由 1）先计算出 p=90-（1000-100）*0.01=81。再有 2）可知P=（81-60）*1000=21000（元）问题 5 Fibonacci 数列与黄金分割问题“有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小
7、兔一对，以后每月生产一对小兔，以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对?”解：这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，L）在 1202 年所著“算法之书” （又译算盘书 （Liberabaci） ）中的一个题目。他是这样解答的：若用 “” 、 “”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔） ，则根据题设有：从上图可知，六月份共有兔子 13 对；还可看出，从三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按这规律可写出数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233 可见一年后共有兔子 233 对
8、。这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做 Fibonacci 数列，其中的每一项称为 Fibonacci 数。若设 F0=1，F 1=1，F 2=2，F 3=3，F 4=5，F 5=8，F 6=13，则此数列应有下面的递推关系：Fn+2 = Fn+1 + Fn（n = 0，1，2，）这个关系可用数学归纳法来证明，其中的通项 1115522nnn是由法国数学家比内（Binet）求出的。与 Fibonacci 数列紧密相关的一个重要极限是（1）15lim0.6182nF或者 （2）li.n下面我们先来说明（2）式的含义并证明之（至于（1）式的含义见后面的说明） 。记 ，则（ -1）1
9、00%就是第（n+1 ）月相对于第 n 月的兔子对数增长率1nFbnb（n = 0，1，2 ，） ，例如：,001%b32,.5n053,10.6%nb若 存在，则（ -1）表示许多年后兔子对数的月增长率（同时也是成兔对limnlinb数及仔兔对数在许多年后的月增长率因为成兔对数、仔兔对数各自从今年 1 月、2 月开始算起，也是 Fibonacci 数列） 。存在的证明及求法如下：linb证： 01111(,2)nnnFbb用数学归纳法容易证明：数列 是单调增加的；数列 是单调减少的。2n 21n又，对一切 成立。即数列 、 是有界的。30,nb2nb21n根据“单调有界数列必有极限”的准则，
10、知数列 、 的极限存在，分别记b为 与 b*，即 ，*2limn*21lin分别对 及 的两边取极限，得221nn21nb与 *b*1b两式相减，得 *由此得 ，即 。若不然，则有 *0b221limlinnb*1b而由 ，得 *1*这是不可能的（因为 ）因此 存在，记作 b，即 2nlinlimn对 的两边取极限，得1nnb1b解此方程，得 ，因为 ，故152b1nb51.682即 1limli.68nnF从而 li0.nb可见许多年以后兔子总对数，成兔对数及仔兔对数均以每月 61.8%的速率增长。问题 6 巧分蛋糕妹妹小英过生日，妈妈给做了一块边界形状任意的蛋糕（如图所示） 。哥哥小明见了
11、也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你。小明苦想了半天，终于用刚刚学过的高等数学知识初步解决了这个问题。你知道他用的是什么办法吗？图 1-2（1）能切成相等的两块吗？ 图 1-2（2） 时 S1 和 S20PxlS2S1分析：问题归结为如下一道几何证明题。已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状） ，P 是曲线所围图形上任一点。求证：一定存在一条过 P 的直线。将这图形的面积二等分。xl图 1-2（4） 时 S1 和 S2000S1（ 0）S2（ 0）xlS2（ ）S1（） 0图 1-2（3）旋转成 角P证明：1. 过 P
12、点认作一直线 l，将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为 S1 和 S2。若S1 =S2（此情况很难办到） ，则 l 即为所求；若 S1 S2，则不妨设 S1S2 (此时 l 与 x 轴的正向的夹角记为 ，见图 1-2（2 ） ） ，下面对此情况证明之。02. 以 P 点为旋转中心，将 l 按逆时针方向旋转，面积 S1 和 S2 就连续地依赖角 变化，记为 、 ，并设 。如图 1-2（3）所示。1()S212()()fS3. 函数 在 上连续，且在端点异号：f0,012()()002010()()fSS（旋转 1800 后的情况如 1-2（ 4） ）根据零点定理，必存在一点 ，使(,)，即使
13、。过 P 作直线，使之与 x 轴正向的夹角为 ，该直线即为()f12()所求。注：实际上小明只证明了这样的直线一定存在，究竟如何找到角 还有待研究，留给大家思考！问题 7第二章 导数与微分问题 1 人在月球上能跳多高某人身高 2 米，在地面上可跳过与其身高相同的高度。假设他以同样的初速度在月球上跳，请问能跳多高？又，为了能在月球上跳过 2 米，他需要多大的初速度？解：在地面上跳高，就是克服地球引力把身体“抛”到高处。这里跳过了 2 米，是指把人体的重心提高到了 2 米。粗略地讲，人体的重心约在身高的一半偏上一点处，故，若把人体当作质点来看，则可视跳高为以初速 把位于（身高 ）处的一质点铅直上抛
14、。为0v1了求出所跳高度与时间 t 的函数关系，建立如图所示的坐标系。由 及 得dgt0()0vtgv（1）由 及 得()dxvt102 0()1x()xtx o201()xtgtv（2）在月球上跳高的情况与此类似，不同的只是这里的 g 由月面上的重力加速度 gm 所代替，若记月球上的速度与位置函数分别为 vm、x m（因题设初速相同，故仍记月球上的初速为v0） ，则有0()mvtgt（3）201()mmxttv（4）由（4）式知，为求此人在月球上能跳多高，需分别求出初速 及跳到最高处所需时0v间。现初速 与地球上的相同，故可由（1） 、 （2）式求之：0v因跳到最高处时 ，故 ，于是 。又，
15、此人在地球上跳了 2 米高，()0tvgt0vt故有 2001()()1由此得（5）20,4.28/gvgms（于是此人在地面上跳到 2 米高所用时间为 ）0.45vt再求在月面上以初速 跳到最高处所用的时间 tm：0v由（3）式及 ，得 ，即 ，由此可得()mt0mgt2gt2mgt将（5） 、 （6）两式代入（4）式，便有 21()()19.80547.38mmmxgg即，在月球上能跳过的高度约为 7.3078 米。用与上面完全类似的推导可以得出，在月球上跳 2 米高所需初速为（见（5）式） ，所用时间为 。21.763/mgs 1.3msg比较 t =0.45s 与 t =1.13s 不
16、难看出，同样是跳 2 米高，在月球上所需时间比在地面上要慢一个因子 0.4（ ） ，这个结论具有普遍性，可用下面的地月定理来证0.41.398明。地月定理：设 是“地面上的运动” ，则()xt（7）()mtxkt是在“月面上的运动” ，这里 0.398g证：对（7）式两端求导，则有 ()()mxtvtkt再对 t 求导，且利用 得dvgt22()()m mmgkakgtt 因此， 满足月面运动方程。 证毕。()x公式（7）揭示了地、月两种运动之间的内在联系：地面运动改变到月面运动时，时间变慢了一个因子 0.4.据此原理，如果我们想看看模拟的月面运动，只需用正常速度的 0.4倍放映地面运动的电影
17、即可。注：地面运动系指一质点在接近地面处，在重力影响下，且仅有重力作用的垂直运动。月面运动的概念与此类似，不再重述。问题 2 油层在海面上的扩散问题从一艘破裂的油轮中渗漏出去的油，在海面上逐渐形成油层。设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变。已知其厚度 h 的减少率与 h3 成正比，试证明其半径 r 的增加率与 r3 成反比。证明：在等式 两边同时对 t 求导，由于 和 V 都是常数，所以有2Vr20drhtt将题意条件 代入上式子，可得31dhkt21,krhdrtt再将 代入上式，又可得2Vhr2123,kVdrtr=这就是得到了所需要证明的结论。问题 3
18、 人影移动的速率某人高 1.8 米，在水平路面上以每秒 1.6 米的速率走向一街灯，若此街灯在路面上方5 米，当此人与灯的水平距离为 4 米时，人影端点移动的速率为多少？解：这是一个相关变化率的问题，一般地，设 x = x ( t )及 y = y ( t )都是可导函数，而变量 x 与 y 间存在某种关系，从而变化率 与 间也存在一定关系，这两个相互依赖的dty变化率称为相关变化率。如果我们有几何学或物理学等方面的知识，得到 x 与 y 间的一个函数关系 y= f ( t )，且f ( t )可导，那么由复合函数的求导法则，有 ()dyxftt=这说明变化率 可以通过变化率 得到。dt对于所给问题，如图所示，以 DE 和 BC 分别表示人高和灯高，以 DB = x 和 AB = y 分别表示人和人影端点到灯的水平距离。因为ADEABC，所以 ADEBC从而 ，即 1.85yx2516yx于是 dtt=又依题 ，故 1.6dxt 25.(/)16ymsd即人影端点移动的速率为 2.5m/s。思考题：有一圆锥形容器，高度为 10m，底半径 4m，今以每分钟 5m3 的速度把水注ECBA D
