1、1摘要 ：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目 Limit methods summarizeAbstract:The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:Higher math
2、ematics, sequence limit, definition, los than amounting to law,一.引言高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位 ， 特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去， 没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换,展开、约
3、分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、 洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有2一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。二. 研究问题及成果一、 极限定义、运算法则和一些结果1定义：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述） 。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：； ；)0,(0limaban为 常 数 且 5)13(lim2x；等等时当不 存 在 ， 时当， 1|qq（2）在
4、后面求极限时， （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2极限运算法则定理 1 已知 ， 都存在，极限值分别为 A，B，则下)(limxf)(lixg面极限都存在，且有 （1） xgf)(（2） BAxf)(li（3） )0,)(li 成 立此 时 需 g说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3两个重要极限（1） 1sinlm0x3（2） ； exx10)(limexx)1(lim说明：( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。 一定注意两个重要
5、极限成立的条件。 例如： ， ， ；等等。13sinlm0xx exx210)(li exx3)1(lim4洛比达法则定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0） 。定理 3 当 时，下列函数都是无穷小（即极限是 0） ，且相互等0x价，即有： 。xsinxtaxrcsinxarctn)1l(x1xe说明：当上面每个函数中的自变量 x 换成 时（ ） ，仍有g0上面的等价关系成立，例如：当 时， ； 0x13xex3)1ln(2x。2x定理 4 如果函数 都是 时的无穷小，且)(,),(1xgfxf 0x ， ，则当 存在时， 也存在且)(xf)(1fxg1)(lim10x)(
6、lim0gfx等于 ，即 = 。 )(f)(lim10fx)(li0gfx)(li10fx5洛比达法则定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 和)(xf4满足：（1） 和 的极限都是 0 或都是无穷大；)(xg)(xfg（2） 和 都可导，且 的导数不为 0；fg)(x（3） 存在（或是无穷大） ；)(limx则极限 也一定存在，且等于 ，即 = )(ligf )(limxgf)(lixgf)(limxf。说明：定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“ ”
7、型或0“ ”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6连续性定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 是函0x数 的定义去间内的一点，则有 。)(xf )()lim00fxfx7极限存在准则定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。定理 8（准则 2） 已知 为三个数列，且满足：,nnzyx（1） )321(zyn（2） ，alimanli则极限 一定存在，且极限值也是 a ，即 。nx axnlim二、求极限方法举例51 利用函数的连续性（定理 6）求极限例 4 xxe12lim解：因
8、为 是函数 的一个连续点，0xef12)(所以 原式= 。e4212 利用两个重要极限求极限例 5 203cos1limxx解：原式= 。61)2(sinlmsinl 2020 xxxx注：本题也可以用洛比达法则。例 6 xx20)sin31(lim解：原式= 。6sin6si310sin6i310 )in1(lm)i(li exxxxx例 7 nn)12(lim解：原式= 。31313 )(lim)(li ennnnn注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim (1 + ) x = e ，对第一个而言是 x0 x x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值
9、。第 2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 6的时候要特别注意可能是用第 2 个重要极限。3 利用定理 2 求极限例 8 xx1sinlim0解：原式=0 （定理 2 的结果） 。4 利用等价无穷小代换（定理 4）求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替). 3设 、 且 ；则： 与 是等价无穷小的充分必要条件为：limli0()常用等价无穷小：当变量 时，0x21sin
10、,ta,rcsin,arct,1,ln(),cos,xx exx1,(1)x例 1 求 0oslimarctnx解 ，2,arctnxx时故，原式 201lix例 2 求 130()limcosx解 ,因此:122231,(),cosxx时原式 2013lix例 3 求 301limtanx7解 ，故:原式= 0,x时 31,tanxx013limx例 4 求 20lim()xe解 ,故:,1,lnxx时原式 20lix例 5 试确定常数 与 ，使得当 时， 与 为等价无穷小an0xnax3l(1)x解 而左边 ，30l(1)imnxx2531100limlinnxxa故 即 560li62x
11、a5.利用洛比达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为 0 比 0 型或者 型等未定式类型.洛必达法则分为 3 种情况：（1）0 比 0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0 乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0 的 0 次方，1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成 0 与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当 时，函数 及 都趋于 0；在点 的某去心xa()fxFa邻域内， 的导数都存在且 的导
12、数不等于 0； 存在，那么()fxF()F()limxaf. 1limli()()xaxaff求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. 3例 12 （例 4）203cos1lixx8解：原式= 。 （最后一步用到了重要极限）61sinlm0x例 13 12coslix解：原式= 。2sinlim1xx例 14 30silix解：原式= = 。 （连续用洛比达法则，最后20co1lixx 61sinl0x用重要极限）例 15 xxsincolim20解： 31sinlm3)sin(coslimco20 20xxx xx原 式例 18 )l(1li0x解：错
13、误解法：原式= 。01li0xx正确解法：9。原 式 21)(lim21li )ln(i)ln(i0000 xxxxxxx应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例 19 xxcos3inlim解：易见：该极限是“ ”型，但用洛比达法则后得到：0，此极限xxsin3c21li不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= （分子、分母同时除以 x）xxcos3i21lim= （利用定理 1 和定理 2）注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0 比 0 和无穷比无穷时候直接分子分母求导； （2） 0 乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷
14、大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都 写成了无穷小的倒数形式了。 通项之后这样就能变成 1 的形式； （3） 的 0 次方， 0 1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取 对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了， （这就是为什么只有 3 种形式的原因， ）6.利用极限存在准则求极限10例 20 已知 ，求),21(,2,11 nxxn nxlim解：易证：数列 单调递增，且有界（0 2） ，由准则 1 极限nx存在，设 。对已知的递推公式 两边求nxlimaxnlimnnx21极限，得：，解得： 或 （不合题意，舍去）a2
15、2a1所以 。linx例 21 )21(lim22 nn 解： 易见： 11122222 nn因为 ，1li2n1lim2n所以由准则 2 得： 。1)(li 222 nn 7.直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你 时， 的导数等于 0 的时候，就是暗示你一定要用导数定义：0)(F)(x（1）设函数 在点 的某个领域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点yfx0 x0x仍在该领域内）时，相应的函数取得增量 ；如果 与 之0x 0yffy比 时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数yfx0在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记作 ，即 yfx0 f0x0fx；0000limlixxffxyf（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例 36 ，求 .1fexf
