1、讲义：直线与方程 内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为 ，斜率为 ，则 .当 时，018ktan2斜率不存在.（2）当 时， ；当 时， .09k90（3）过 ， 的直线斜率 .1(,)Pxy2(,)xy2121()ykx2、两直线的位置关系：两条直线 ， 斜率都存在，则：11:lkb22:lxb（1） 且 ； （2） ；21212lk（3） 与 重合 且l12k13、直线方程的形式：（1）点斜式： （定点，斜率存在） 00ykx（2）斜截式： （斜率存在，在 轴上的截距）by（3）两点式： （两点） 1121222(,)yxx（4）一般式： 0CAB（5）截距式： （在
2、轴上的截距，在 轴上的截距）1xyabxy4、直线的交点坐标：设 ，则：1122:0,:0lAxByclAxByc（1） 与 相交 ；（2） ；（3） 与 重合l211l21122ABC1l2.1122ABC5、两点 ， 间的距离公式1(,)Pxy2(,)xy221211()()Pxy原点 与任一点 的距离0Oy6、点 到直线 的距离0(,)xy:0lxyCA02AxBCd（1）点 到直线 的距离0(,)P:l0（2）点 到直线 的距离0(,)xy:0lyC0ByCd（3）点 到直线 的距离,:lxA2A7、两条平行直线 与 间的距离10yC20y12CdB8、过直线 与 交点的直线方程为11
3、:lAxBc22:lxBc2()()0yyR9、与直线 平行的直线方程为:0lxC0xyDCA与直线 垂直的直线方程为yA10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点 关于点 对称，则12(,)(,)PxyE0(,)Mxy120xy（2）轴对称：设 关于直线 对称，则：12(,)(,):lCAa、 时，有 且 ； b、 时，有 且0B2xCA12y012yCB12xc、 时，有0AB12120yBxAyC典型例题例 1. 已知直线(2m 2m3)x(m 2m)y4m1 当 m 时，直线的倾斜角为 45当 m 时，直线在 x 轴上的截距为 1 当 m 时，直线在 y 轴上的截距为 23 当 m
4、时，直线与 x 轴平行当 m 时，直线过原点变式训练 1.（1）直线 3y x2=0 的倾斜角是 （ ）3A30 B60 C120 D150（2）设直线的斜率 k=2，P 1（3，5） ，P 2（x 2，7） ，P（ 1，y 3)是直线上的三点，则x2，y 3 依次是 （ ）A3，4 B2，3 C4，3 D4，3（3）直线 l1 与 l2 关于 x 轴对称，l 1 的斜率是 ，则 l2 的斜率是 （ ）7A B 7 C D7 7（4）直线 l 经过两点（1， 2） ， （3，4） ，则该直线的方程是 例 2. 已知三点 A（1，-1） ，B （3，3） ，C（4，5）. 求证：A、B、C 三点
5、在同一条直线上.变式训练 2. 设 a，b，c 是互不相等的三个实数，如果 A（a ，a 3） 、B （b，b 3） 、C（c，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例 3直线 yx绕原点逆时针旋转 09，再向右平移个单位，所得到的直线为( )（） 13 （） 13yx （） 3yx （）3yx例 4 （全国文）若直线 m被两平行线 12:0:30lxylxy与 所截得的线段的长为 2，则 的倾斜角可以是 5 3 45 6 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）例 5.已知三角形的顶点是 A(5,0) 、B(3,3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例
6、6.一条直线从点 A(3,2)出发 ,经过 x 轴反射,通过点 B(1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例 7、已知点 A(3,5) 和 B(2,15) , 在直线 l： 3x4y+4=0 上找一点 P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例 8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为 2x-y=0,斜边的中点为 A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例 9、求过点 P(5,4)且与坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程.例 10、已知点 A(2,5)与点 B(4,7),试在 y 轴上求一点 P,使及 的值为最小.PBA例 11、过点 A(0,1)做一直线 ,
7、使它夹在直线 :x-3y+10=0 和 :2x+y-8=0 间的线段被 A 点l1l2l平分,试求直线 的方程.l巩固训练1、直线(2m 2-5m-3)x-(m2-9)y4=0 的倾斜角为 ，则 m 的值是 （ 4）A、3 B、2 C、-2 D、2 与 32、点(a,b)关于直线 x+y=0 对称的点是 ( )A、 (a,b) B 、 (a,b) C、 (b,a) D、 (b,a)3、已知 l 平行于直线 3x+4y5=0, 且 l 和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是 24,则直线 l 的方程是 ( )A、3x+4y12 =0 B、 3x+4y+12 =0 C、 3x+4y24=0 22
8、D、 3x+4y24=04、 若 直 线 l 经 过 点 (1,1),且 与 两 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 2,则 直 线 l 的 条 数 为 ( )A、 1 B、 2 C、 3 D、 45、 已 知 菱 形 的 三 个 顶 点 为 （ a,b） 、 （ b,a） 、 （ 0， 0） ， 那 么 这 个 菱 形 的 第 四 个 顶 点 为 （ ）A、(ab,ab) B、(ab, ab) C、(2a,0) D、(0,2a)6、若点(4，a)到直线 4x-3y=1 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是（ ）A、 B、(0，10)01，C、 D、(-，0 10，)3，
9、 7、过定点 P(2,1)作直线 l,交 x 轴和 y 轴的正方向于 A、B，使ABC 的面积最小，那么 l的方程为 （ ）A、x-2y-4=0 B、x-2y+4=0 C、2x-y+4=0 D、x+2y-4=08、若直线 AxByC=0 与两坐标轴都相交，则有（ ）A、AB0 B、A0 或 B0 C、C0 D、A 2B 2=09、已知直线 1：3x4y=6 和 2：3x-4y=-6，则直线 1和 2的倾斜角是（ ）lllA、互补 B、互余 C、相等 D、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m2-9)y4=0 的倾斜角为 ，则 m 的值是（ ）4A、3 B、2 C、-2 D、2 与
10、311、ABC 的一个顶点是 A(3,-1),B、C 的平分线分别是 x=0,y=x，则直线 BC 的方程是 （ ） A、y=2x+5 B、y=2x+3 C、y=3x+5 D、y=-25x12、直线 kxy=k1 与 kyx=2k 的交点位于第二象限，那么 k 的取值范围是( )A、k1 B、0k C、k D、 k1212113、直线(m+2)x+ 在 x 轴上的截距是 3,则实数 m 的值是( )my)3(2A、 B、6 C、- D、-6525214、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，4),则第四个顶点坐标为 。15、平行线 3x4y7=0 与 3x4y8=0 截直线 x7y19=0 所得线段的长度等于_.16、已知点 在直线 上，则 的最小值为 (,)Mab1543yx2ba17、 一直线被两直线 截得线段的中点是 点，当0653:,064:21 yxlyxl P点为 时，求此直线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j P(0,)
