1、复 数1复数的概念：（1）虚数单位 i；（2）复数的代数形式 z=a+bi，(a, bR)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集 (0) (,)(-) (0 () babiRa 3复数 a+bi(a, bR)由两部分 组成， 实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部，1 与 i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0 时，a+bi 就是实数，当 b0 时，a+bi 是虚数，其中 a=0 且 b0时称为纯虚数。应特别注意，a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则 a+bi=0 是实数。4复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i，z2=a2+b2
2、i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1 z2=(a1a2)+(b1b2)i；（3）乘法：z1z2=(a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：121212()()zababi；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算： ni(n 为整数)的周期性运算； (1i)2 =2i； 若 =- 21+3i，则 3=1，1+2=0.5共轭复数与复数的模（1）若 z=a+bi，则 zabi，z为实数， z为纯虚数(b0).（2）复数 z=a+bi 的模|Z|= 2, 且 2|=a2+b2.6.根据两个复数相等的定
3、义，设 a, b, c, dR，两个复数 a+bi 和 c+di 相等规定为 a+bi=c+diacbd. 由这个定义得到 a+bi=00b.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4复数 a+bi 的共轭复数是 abi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0，则实数 a 与实数 a 共轭，表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=1 结合到 实际运算过程中去。如(a+bi)(abi)= a 2+b26复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的复数 x+yi
4、 叫做复数a+bi 除以复数 c+di 的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即 2()()abiicdabcadicd.7复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi 的点到原点的距离。（二）典型例题讲解1复数的概念例 1实数 m 取什么数值时 ，复数 z=m+1+(m1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点 Z 在第三象限？解：复数 z=m+1+(m1)i 中，因为 mR，所以 m+1，m1 都是实数，它们分别是 z 的实部和虚部， （1）m=1 时， z 是实数； （2）m1 时，z 是虚数；（3）当0m时，即 m=1 时，z 是纯虚数；（4）当 1时，即 m0，则 u2223=1 ，当 a+1=1, 即 a=0 时，上式取等号，所以 u2 的最小值为 1.例 7证明：iz1解：此题考查复数的运算、模的定义，共 轭复数的性质等设 zabi，(a, bR)， 则i=22(1)()1abiiabi.解 2： iziz， i=()1izi.
