1、1高考重难点专题突破之不等式一、 综述（内容、地位、作用）：在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章不等式 。另外，在实际教学过程中，在学到必修 5不等式之前的某些章节（如集合、函数的值域等） ，无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修 4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修 5第三章不等式以及选修系列 4-5不等式选讲 。综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。不等式是中学数学的主干内
2、容之一， 它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外） ，但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值） ，试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。在高考命题趋势上，不等式的考查极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚
3、点主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。二、 考试要求与教学建议：2（一） 必修 5 部分新课标在对“必修 5”不等式一章的说明中指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的
4、重要内容掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。 ”由此，我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及高考的考查要点。本部分的课标建议课时为大约 16 课时。相应的说明与建议主要有：1、 一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。2、 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工
5、具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。3、 线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。（二） 不等式选讲部分此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”部分有所讲解，次不赘述。本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。从文理科学习之间的异同的角度，我们可以将本专题内容分为两部分：前半部分，文理科同等要
6、求，且均在必修过程中已基本讲解到位；后半部分，只对理科生做简单要求，即高考时所考题目难度不大，基本上可直接套用公式，或只需经简单并行即可套用公式，同时，也不是必做题。下面，我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此，以供诸位师生探讨，同时也作为本部分内容的一个基本总结，后文将不再详细展开。1、 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等。32、 认识柯西不等式的几种不同形式。3、 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。4、 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。5、 通过一些简单问题了解证明不
7、等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 三、 考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”（一） 、不等式的性质1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。2、两个实数的大小：； ；ba0ba0ba03、不等式的基本性质： (1)不等式的两边都加上(或减去 )同一个数或同一个整式不等号的方向不变如果 ，那么 .abcb(2)不等式的两边都乘以(或除以 )同一个正数，不等号的方向不变如果 ，那么 （或 ）.,0cacb（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变如果 , ,那么
8、 （或 ）bacc由上面三条可以衍生出如下的性质： （1） （对称性）a（2） （传递性） cba,（3） （加法单调性）（4） （同向不等式相加）dbdc,（5） （异向不等式相减）ab（6） c0,4（7） （乘法单调性）bcac0,（8） （同向不等式相乘）dd（异向不等式相除）(9),bc（倒数关系）110aab（11） （平方法则）)1,(nZn且（12） （开方法则）,b且4例题：（1）已知 1xy， 3xy，则 xy的取值范围是_（答： 37） ；（2）已知 cba，且 ,0cba则 a的取值范围是_（答：1,2）（二）解一元一次不等式（组）1一元一次不等式1.1 定义： 只含有
9、一个未知数，且未知数的次数是 1系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式注：一元一次不等式的一般形式是 ax+bO 或 ax+bb）不等式组 图示 解集xabb a xa（同大取大）xabb a xb（同小取小）xabb abxa（大小交叉取中间）xabb a 无解（大小分离解为空）24.解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集3例题讲解【例 1】 解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来.2(1)35x解:解不等式得 ，解不等式得 ，不等式和的解集在数轴上x5x表示如下：原不等式组的解集是 .15-1 0
10、 1 2 3 46（三）解一元二次不等式（组）1：一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： .任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或 .2：一般的一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解集可以联系二次函数 的图象，图象在 轴上方部分对应的横坐标 值的集合为不等式的解集，图象在 轴下方部分对应的横坐标 值的集合为不等式 的解集.设一元二次方程 的两根为 且 ，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：(a0)的图象有两相异实根 有两相等实根无实根|21xx或注：表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，可先利用不等式
11、的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； 3：规律方法指导73.1解一元二次不等式首先要看二次项系数 a 是否为正；若为负，则将其变为正数；3.2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3.3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；3.4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；3.5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数（四） 解分式不等式1. 形如 f(x)/g(x)0 或 f(x)/g(x)0”,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在 x
12、 轴下方的区间.说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；3.例题讲解：例 1.解不等式： .032x解：32x00)32)(2xx，用穿根法（零点分段法）画图如下：0)1(3)(xx原不等式的解集为x| -1x 1 或 2 x3.例 2 解不等式： .0)(3)(2xx解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为：-1， 2，3（注意：2 是二重根，3 是三重根） ；在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始） ，如下图：原不等式的解集为：x|-1x2 或 2x3.说明：3 是三重根，在 C 处穿三次，2 是二重根，在 B 处穿两21 3-1+-+- x1
13、 x2 x3 xn-1 xn10次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧 f(x)有相同因式(x-x1)n 时，n 为奇数时，曲线在 x1 点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在 x1 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”.（六）解无理不等式1.基本概念：根号下含有未知数的不等式。2、无理不等式的类型（高考对这方面的要求不太高） 0)()4(3)()(1xgff3.根式不等式的解法3.1 类型一： )(f)(0xgf)(0xgf例：解不等式 34解：原不等式可化为 x，根据根式的意义及不等式的性质，得： 340x解得|所以，原不等式的解集 为3.2 类型二： )(xgf0)()(02fxfg或注：第一个花括号内的 f(x)大于等于 0 可以省略。例 2 解不等式 373|
