1、2、不等式恒成立常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元） ；（请同学们参看 2010 省统测 2）例 1：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间 D 上的导数为 ，若在区间 D()yfx()fxf ()gx上， 恒成立，则称函数 在区间 D 上为 “凸函数” ，已知实数 m 是常数，()0gx()yfx4326mf（1）若 在区间 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；()yf0,3（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数” ，求 的最()
2、fx,abba大值.例 2：设函数 ,10231)(2Rabxaxf （）求函数 f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的 不等式 恒成立，求 a 的取值范围. ,()f（二次函数区间最值的例子）第三种：构造函数求最值题型特征： 恒成立 恒成立；从而转化为第一、二种题)(xgf0)()(xgfxh型例 3；已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ，32()fa(1,)Pb326()10tgxxtt（）求 的值；,ab（）当 时，求 的值域；4()fx（）当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围。,x()g二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为 在给定区间上恒成
3、立， 回归基础题型0)()(xff或解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与 “函数的单调减区间是（a,b ） ”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知 ，函数 Raxaxxf )14(21)(3（）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值；fgf（）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围)(xf),a例 5、已知函数 321()()(1)0.fax（I）求 的单调区间；x（II）若 在0，1上单调递增，求 a 的取值范围。 子集思想()f三、题型二：根的个数问题
4、题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1） 求实数 的取值范围；k（2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围fg根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数 321()fxaxc（1）若
5、 是 的极值点且 ()f的图像过原点，求 ()fx的极值；（2）若 2()gxbxd，在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 ()gx的图像与函数f的图像恒有含 的三个不同交点？若存在，求出实数 的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2 网题 2：切线的条数问题=以切点 为未知数的方程的根的个数0x例 7、已知函数 在点 处取得极小值4，使其导数 的 的取值范围32()fxabc ()0fx为 ，求：（ 1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的(,3) (1,)Pmym取值范围题 3：已知 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数()fx解
6、法：根分布或判别式法例 8、例 9、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令231)(xaxf)0,(aR)(xf x4f（x） （xR）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围()g1其它例题：1、 （最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在 上的函数R在区间 上的最大值是 5，最小值是11.32()fxaxb）（ 0a2,1（）求函数 的解析式；()f（）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.1,t(txf） x2、 （根分布与线性规划例子）（1）已知函数 32()fxabc() 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求1(0,1)30xy的解析式；xf()
7、 当 在 取得极大值且在 取得极小值时, 设点 所在平面()(0,)(12)x(2,1)Mba区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.解： (). 由 , 函数 在 时有极值 ,2()fxaxb()f 0b ()1f1c又 在 处的切线与直线 平行,x,)30xy 故 (0)3fb2a . 7 分21xx() 解法一: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,()fb ()fx(0,1)(12)x 即 令 , 则 0(1)2f0248a()Mxybya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx06xy易得 , , , , , (2
8、0)A(1)B(2,)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 3DEABES四 边 形 所求一条直线 L 的方程为 : 0x另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 ,它ykx与 AC,BC 分别交于 F、G, 则 , k1四 边 形 DEGF由 得点 F 的横坐标为: 20ykx 2xk由 得点 G 的横坐标为: 46yx 641G 即 OEFDSS四 边 形 DEGF13221kk2650k解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 12k58kyx综上,所求直线方程为: 或 .12 分0x12yx
9、() 解法二: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,2()fab()f(0,1)(12)x 即 令 , 则 0(1)2f48()Mxybya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx026xy易得 , , , , , (20)A(1)B(,)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 所求一条直线 L 的方程为: 3DEABES四 边 形 0x另一种情况由于直线 BO 方程为 : , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 12yx由 得直线 L 与 AC 交点为: 120yx 1(,)2 , , 2ABCS12DECS1212HABOHSS 所求直线方程
10、为: 或 0xyx3、 （根的个数问题）已知函数 的图象如图所示。32f()ab(c3ab)xd (a0)（）求 的值；cd、（）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，f(x)(,f2)3xy10求函数 f ( x )的解析式；（）若 方程 有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。05,f()8a解：由题知： 2f()3xb+c-32（）由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且 = 01f得 32c0dabcd（）依题意 = 3 且 f ( 2 ) = 5f解得 a = 1 , b = 6 1486ab所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依题意 f
11、 ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由 = 0 b = 9a f 5f若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3 a3 1所以 当 a3 时，方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。 12 分14、 （根的个数问题）已知函数 32()xR（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 的值及 的单调区间；()fx12,x12a()fx（2）若 ，讨论曲线 与 的交点个数a()f25()(16gxax解：（1） 2(
12、)fxax212, 21 12()44xxx2 分0a22()1fxx令 得,或令 得()0fxx 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 5 分(,1)(,)(1,)（2）由题 得()fxg322156xaxax即 32106a令 6 分1()()(21)xxx2a令 得 或 7 分()0x1x12a当 即 时此时， ， ，有一个交点；9 分9802a当 即 时，21x(2,)a2(2,1)a () 0x982a2(3)6aa,21(3)06当 即 时,有一个交点；98a9a当 即 时，有两个交点；2， 且 016x2(,1)() xa当 时， ，有一个交点13 分102a980a综上可知，当 或 时，有一个交点；96当 时，有两个交点14 分15、 （简单切线问题）已知函数 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ，函数23)(axf 510223()bxgxfa（） 若函数 在 处有极值，求 的解析式；)(g1)(xg（） 若函数 在区间 上为增函数，且 在区间 上都成立，求实数,)(42xgmb1,的取值范围m
