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1、2014 高考数学总复习全套讲义共 12 章 通用版1/185高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑第 1 课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程

2、，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想【基础练习】1.集合 (,)02,xyyxZ用列举法表示 (0,)1,(),(20),12.设集合 1Ak， 2,Bk，则 AB3.已知集合 ,M， ,NxaM，则集合 N_4.设全集 3579I，集合 59A， 5,7IC，则实数 a 的值为_8 或 2_【范例解析】例.已知 R为实数集，集合 230x.若 RBA， 01RCx或 23x，求集合 B.分析：先化简集合 A，由 RBC可以得出 与 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1） 12x， 1Ax或 2.又 R， RA，可得 .而 0R或 3，1x或 2

3、x.B借助数轴可得 BA1或 2x03x.【反馈演练】1设集合 2,， 3,1， 4,2C，则 CBAU=_2设 P， Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q= ,520,|Pba若 6,1Q，则 P+Q 中元素的个数是_8_个3设集合 260x， 3x.（1）若 ，求实数 a 的取值范围；,2014 高考数学总复习全套讲义共 12 章 通用版2/185（2）若 PQ，求实数 a 的取值范围；（3）若 03x，求实数 a 的值.解：（1）由题意知： 2x， PQ， P.当 Q时，得 a，解得 当 时，得 3，解得 10a综上， (1,0)(,)（2）当 Q时，得 2a，解得 ；当 时，得3,

4、或，解得352a或综上， (,5,)2a（3）由 03PQx，则 0a第 2 课 命题及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系2. 了解逻辑联结词“或” ， “且” ， “非”的含义；能用“或” ， “且” ， “非”表述相关的数学内容3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定【基础练习】1.下列语句中： 230x；你是高三的学生吗？ 315； 36x其中，不是命题的有_ 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，则它

5、的逆命题可表示为若 q 则 p ，否命题可表示为 pq若 则 ，逆否命题可表示为若 则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题【范例解析】例 1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；2014 高考数学总复习全套讲义共 12 章 通用版3/185（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设 ,abcdR，若 ,abcd，则 acbd.分析：先将原命题改为“若 p 则 q”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否

6、命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设 ,abcdR，若 ,abcd，则 acbd；真命题；逆命题：设 ，若 ，则 ,；假命题；否命题：设 ,c，若 或 c，则 c；假命题；逆否命题：设 ab

7、dR，若 abd，则 a或 d；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式，找出其条件 p 和结论 q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题 p 的否定即 时，要注意对 p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或” ， “或”的否定为“且” ， “都是” 的否定为“不都是”等.例 2.写出由下列各组命题构成的“ p 或 q”， “p 且 q”， “非 p”形式的命题，并判断真假.（1） p：2 是 4 的约数， q：2 是 6 的约数；（2） p：矩形的对角线相等， q：矩形的对角线互相平分；（3） p

8、：方程 10x的两实根的符号相同， q：方程 210x的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1） p 或 q：2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数，真命题；p 且 q：2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数，真命题；非 p：2 不是 4 的约数，假命题.（2） p 或 q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p 且 q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非 p：矩形的对角线不相等，假命题.（3） p 或 q：方程 210x的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；p 且 q：方程 的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题； 非 p：方程 2x的两实根的

9、符号不同，真命题.2014 高考数学总复习全套讲义共 12 章 通用版4/185点评：判断含有逻辑联结词“或” ， “且” ， “非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题 p， q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例 3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1） p：所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除；（2） p：每一个非负数的平方都是正数；（3） p：存在一个三角形，它的内角和大于 180；（4） p：有的四边形没有外接圆；（5） p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“ ,()xMp”的否定是“ ,()xMp”，特称命题“ ,(

10、)xMp”的否定是“ ,()xMp” .解：（1） p：存在末位数字是 0 或 5 的整数，但它不能被 5 整除，假命题；（2） ：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（3） ：任意一个三角形，它的内角和都不大于 180，真命题；（4） ：所有四边形都有外接圆，假命题；（5） p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语 等于 大于 小于 是 都是否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 【反馈演练】1命题“若 aM，则 b”的逆否命题

11、是_.2已知命题 p： 1sin,xR，则 :p,sin1xR. 3若命题 m 的否命题 n，命题 n 的逆命题 p，则 p 是 m 的_逆否命题_. 4命题“若 ba，则 2ba”的否命题为_5分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假（1）设 ,R，若 0，则 或 0；（2）设 ，若 ,，则 解：（1）逆命题：设 ,ab，若 或 b，则 a；真命题；否命题：设 ，若 ，则 且 ；真命题；逆否命题：设 ，若 0且 ，则 0；真命题；（2）逆命题：设 ,R，若 ，则 ,；假命题；否命题：设 ，若 a或 ，则 ；假命题；逆否命题：设 b，若 ，则 或 b；真命题若 ，则bMa若

12、 ，则ab21ab2014 高考数学总复习全套讲义共 12 章 通用版5/185第 3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合 PQ，则 是 的充分条件；若集合 ，则 是 的必要条件；若集合 ，则 是 的充要条件3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【基础练习】1.若 pq，则 是 的充分条件若 qp，则 是 q的必要条件若 pq，则 是 的充要条件2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知 :2x，

13、 :，那么 是 的_充分不必要_条件（2）已知 p两直线平行， q内错角相等，那么 p是 q的_充要_条件 （3）已知 :四边形的四条边相等， :四边形是正方形，那么 是 的_必要不充分_条件3.若 xR，则 1的一个必要不充分条件是 0x【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,.xy是4,.y的_条件；（2） (4)10是x的_条件；（3） 是 tant的_条件；（4） xy是 或 2y的_条件.分析：从集合观点“小范围 大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为,.y结合不等式性质易得4,.xy，反之不成立，若12x，

14、 0y，有4,.xy，但2,.x不成立，所以2,.x是4,.的充分不必要条件.（2）因为 ()10x的解集为 1,4， 0x的解集为 (1,4，故 ()10x是4x的必要不充分条件.2014 高考数学总复习全套讲义共 12 章 通用版6/185（3）当 2时， tan,均不存在；当 tant时，取 4，5，但 ，所以 是tant的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“ 1x且 2y是 3x的_条件” ，故 3xy是 1或 2y的充分不必要条件.点评：判断 p 是 q 的什么条件，实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q 则 p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则

15、 p 为 q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则 p 为 q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则 p 为 q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则 p 为 q 的既不充分也不必要条件.在判断时注意反例法的应用.在判断“若 p 则 q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若 q 则 p”的真假.【反馈演练】1设集合 30|xM， 20|xN，则“ Ma”是“ N”的_必要不充分条件2已知 p：1 x2， q： x(x3)0，则 p 是 q 的 条件3已知条件 2:1ARa，条件 2:30BRx若 q是 p的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围解： :1qBx，若 q

16、是 p的充分不必要条件，则 A若 A，则 240a，即 2a；若 ，则 22, 4,x解得52a综上所述，5a充分不必要2014 高考数学总复习全套讲义共 12 章 通用版7/1852012高中数学复习讲义 第二章 函数 A【知识导读】【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解1.活用“定义法”解题定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判

17、断函数的单调性和奇偶性等2.重视“数形结合思想”渗透 “数缺形时少直观，形缺数时难入微” 当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题3.强化“分类讨论思想”应用分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重” 4.掌握“函数与方程思想” 函数与方程思想是

18、最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题第 1 课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数映射 特殊化 函数 具体化一般化 概念图像表 示 方 法定义域 值域单调性 奇偶性基本初等函数幂函数指数函数对数函数二次函数指数对数互 逆函数与方程应用问题2014 高考数学总复习全套讲义

19、共 12 章 通用版8/185【基础练习】1设有函数组： yx， 2； yx， 3； yx， ；1(0),xy，xy；lgy， l10其中表示同一个函数的有_ 2.设集合 2Mx， 02Ny，从 M到 N有四种对应如图所示：其中能表示为 M到 N的函数关系的有_ 3.写出下列函数定义域：(1) ()13fx的定义域为_； (2) 21()fx的定义域为_；(3) fx的定义域为_； (4) 0)fx的定义域为_4已知三个函数:(1)()PyQ； (2) 2()nyx*)N； (3) ()logQxyP写出使各函数式有意义时， ()Px， Q的约束条件：(1)_； (2)_； (3)_5.写出下

20、列函数值域：(1) 2()fx， 1,3x；值域是 2,61(2) ； 值域是 )(3) ()fx， (,2 值域是 (,【范例解析】例 1.设有函数组：21()xf， ()1gx； ()1fx， 2()1gx； 2()fx， ； 2f， ()2gt其中表示同一个函数的有分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同解：在中， f的定义域为 1x， ()gx的定义域为 R，故不是同一函数；在中， ()fx的定义域为 1,)， (gx的定义域为(,1,)，故不是同一函数；是同一函数点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也

21、就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可122 xyOy122 xO122 xOy122 xOyR1x1,0),(,)(,0)()0()0Px且 且()0x()()1x2014 高考数学总复习全套讲义共 12 章 通用版9/185例 2.求下列函数的定义域： 21yx； 12()log()xf；解：（1） 由题意得： 20,1x解得 且 或 x且 ，故定义域为 (,)(,)(2,) 由题意得： 12log，解得 ，故定义域为 (1,2)例 3.求下列函数的值域：（1） 4yx， 0,3)x；（2）2()R；（3） 1分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求

22、函数值域（1） 解： 224()yxx， 0,3)x， 函数的值域为 2,；（2） 解法一：由1， 21，则10x， 1y，故函数值域为 0,1)解法二：由2yx，则 2y， x，y， y，故函数值域为 ,)（3）解：令 1t(0)，则 1t， 221()tt，当 0t时， ，故函数值域为 ,)点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围【反馈演练】1函数 f(x) x2的定义域是_2函数 )34(log12的定义域为_3. 函数 2)1yxR的值域为_4. 函数 3的值域为_5函数 )4(log25.0xy的定义

23、域为_6.记函数 f(x)= 1的定义域为 A，g(x )=lg(xa1)(2ax )(a0，得(x a1)( x2a)2a，B=(2 a，a+1) BA， 2a1 或 a+11，即 a 或 a2，而 a1，1a1 或 a2，故当 B A 时， 实数 a 的取值范围是(,2 21,1)第 2 课 函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式【基础练习】1.设函数 ()23fx， ()5gx，则 ()fgx_； ()gfx_2.设函数1f， 2,则 1_3_； 2f17； ()fgx2133.已知函数 ()fx是一次函数，且 (3)7f， (5)f,则 ()f_15_4.设 f(x) 2|1|,|, ，则 ff( 21)_5.如图所示的图象所表示的函数解析式为_【范例解析】例 1.已知二次函数 ()yfx的最小值等于 4，且 (0)26f，求 ()fx的解析式第 5 题664413(0x 2)|y